第五節(jié)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)一、基礎(chǔ)知識(shí)直線與平面垂直直線和平面垂直的定義：直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說(shuō)直線l與平面α互相垂直.文字語(yǔ)言一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都判定定理

圖形語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言a，?α⊥a∩b＝O?l α⊥垂直，則該直線與此平面垂直垂直于同一個(gè)平面的性質(zhì)定理

l⊥a l⊥b⊥兩條直線平行

?a∥b⊥?如果一條直線與平面內(nèi)再多（即無(wú)數(shù)條） 但這些直線不相交就不能說(shuō)明這條直線與此平面垂. 平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平

圖形語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言判定定理 面的垂則這兩

?β

α⊥β個(gè)平面垂直

?⊥兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線性質(zhì)定理

α⊥βl?β

?l⊥α的直線與另一個(gè)平面垂直[?要求一平面只需過(guò)另一平面的垂線．]

∩＝l⊥a1二、常用結(jié)論直線與平面垂直的五個(gè)結(jié)論(1)(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面．(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這一條直線與另一個(gè)平面也垂直．(5)兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面．考點(diǎn)一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)[典例] 如圖，在四棱錐PABCD中底面60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn)．求證：CD⊥AE；(2)PD[證明] (1)在四棱錐PABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，∴PA⊥CD，又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.∵AE?平面PAC，∴CD⊥AE.∵E是PC的中點(diǎn)，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.∵PD?平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，∵PD?平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.[解題技] 證明線面垂直的4種方法2(1)線面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α.(2)面面垂直的性質(zhì)定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.(3)性質(zhì)：①a∥b，b⊥α?a⊥α，②α∥β，a⊥β?a⊥α.(4)α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l?l⊥γ.(客觀題可用)[口訣歸納]..[題組訓(xùn)練]1 1 1 1 ABCA1B1C1中，AB＝BC＝BB，AB∩AB＝E，DACCABD1 1 1 1 1求證：BDA1ACC；1AB＝1AC·AD＝1ABCB1的體積．解：(1)證明：如圖，連接ED，∵平面AB1C∩平面A1BD＝ED，B1C∥平面A1BD，∴B1C∥ED，∵EAB1的中點(diǎn)，∴DAC的中點(diǎn)，∵AB＝BC，∴BD⊥AC.∵A1A⊥平面ABC，BD?平面ABC，∴A1A⊥BD.又∵A1A，AC是平面A1ACC1內(nèi)的兩條相交直線，∴BD⊥平面A1ACC1.1(2)由AB＝1，得BC＝BB＝1，11由(1)知AD＝2AC，又AC·AD＝1，∴AC2＝2，∴AC2＝2＝AB2＋BC2，∴AB⊥BC，1 1∴S ＝AB·BC＝，△ABC 2 2∴V

ABC＝1S

·BB

11 1＝××1＝.ABCB1 1

3△ABC

1 32 632.如圖，S是Rt△ABC所在平面外一點(diǎn)，且SA＝SB＝SC，D為斜邊AC的中點(diǎn)．求證：SDABC；AB＝BCSAC.證明：(1)ABERt△ABC中，D，EAC，AB的中點(diǎn)．∴DE∥BC，∴DE⊥AB，∵SA＝SB，∴SE⊥AB.又SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE.又SD?平面SDE，∴AB⊥SD.在△SAC中，∵SA＝SC，DAC又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.(2)∵AB＝BC，∴BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥平面ABC，又BD?平面ABC，∴SD⊥BD，又SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.考點(diǎn)二面面垂直的判定與性質(zhì)1[典例] (2018·江蘇高)在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AB，AB⊥B1C1.求證：(1)AB∥平面A1B1C；111 (2)ABBAA11 [證明] (1)在平行六面體ABCDA1B1C1D1中AB∥A1B1.ABA1B1C，A1B1?A1B1C，AB∥A1B1C.(2)在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，四邊形ABB1A1為平行四邊形．1 1 1又因?yàn)锳A＝AB，所以四邊形ABBA為菱形，因此AB1 1 111 1 1 1 因?yàn)锳B⊥BC，BC∥BC，所以AB⊥BC11 1 1 1 1 A1B∩BC＝B，A1B?A1BC，BC?A1BC，AB⊥ABC1 1因?yàn)锳B1?平面ABBA111 所以平面ABBA⊥11 4[解題技] 證明面面垂直的2種方法利用面面垂直的定義，即判定兩平面所成的二面角為直二面角，將證定義法定理法[題組訓(xùn)練]

明面面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問(wèn)題條垂線，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成證明線線垂直加以解決1．(2019·PABCABC2PC，PB＝2.求證：平面PAC⊥平面ABC.ACOBO，PO.因?yàn)椤鰽BC2的正三角形，BO⊥AC，BO＝3.1因?yàn)镻A⊥PC，所以PO＝2AC＝1.PB＝2OP2＋OB2＝PB2PO⊥OB.AC∩OP＝O，BO⊥OB?ABC，所以平面PAC⊥平面ABC.2.(2018·)如圖，四棱錐PABCDABCD，E，F(xiàn)AB，PDAD.求證：(1)AF∥平面PEC；(2)平面PEC⊥平面PCD.證明：(1)取PC的中點(diǎn)G，連接FG，EG，∵F為PD的中點(diǎn)，G為PC的中點(diǎn)，∴FG為△CDP的中位線，1∴FG∥CD，F(xiàn)G＝2CD.∵四邊形ABCD為矩形，E為AB的中點(diǎn)，1∴AE∥CD，AE＝2CD.∴FG＝AE，F(xiàn)G∥AE，∴四邊形AEGF是平行四邊形，∴AF∥EG，又EG?平面PEC，AF平面PEC，5∴AF∥平面PEC.(2)∵PA＝AD，F(xiàn)為PD中點(diǎn)，∴AF⊥PD，∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵CD⊥AD，AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，∵AF?平面PAD，∴CD⊥AF.又PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD.由(1)知EG∥AF，∴EG⊥平面PCD，又EG?平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD.[課時(shí)跟蹤檢測(cè)]A級(jí)1．設(shè)a，b是兩條不同的直線是兩個(gè)不同的平面，則能得出a⊥b的( A．a(chǎn)⊥α，b∥β，α⊥β B．a(chǎn)⊥α，b⊥β，α∥βC．a(chǎn)?α，b⊥β，α∥β D．a(chǎn)?α，b∥β，α⊥β解析選C 對(duì)于C項(xiàng)，由α∥β，a?α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故選C.2．(2019·湘東五校聯(lián)已知直線m，l，平面α，β，且m⊥α，l?β，給出下列命題：①若α∥β，則m⊥l；②若α⊥β，則m∥l；③若m⊥l，則α⊥β；④若m∥l，則α⊥β.其中正確的命題( )①④C．①②

③④D．①③解析選A 對(duì)①，若α∥β，m⊥α，l?β，則m⊥l，①正確，排除B.對(duì)④，若m∥l，m⊥α，則l⊥α，又l?β，所以α⊥β.故④正確．故選A.已知垂直于以AB為直徑的圓所在的平面為圓上異于A，B兩點(diǎn)的任一點(diǎn)則下列關(guān)系不正確的( )C．AC⊥PB

B．BC⊥平面PACD．PC⊥BC6CABC⊥PCD顯然不成立，故C符合題意．如圖，在四面體ABCD中，已知，那么點(diǎn)DABC內(nèi)的射影H必( )AAB上CAC上

B．直線BC上D．△ABC內(nèi)部解析選A 因?yàn)锳B⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，所以平央ABD，又AC?平面ABC，所以平面平面ABD，所以點(diǎn)D在平面ABC內(nèi)的射影H必在直線AB上．如圖，在正四面體PABC中分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，則下面四個(gè)結(jié)論不成立的( )A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面CPDFD．平面PDE⊥平面ABC解析選D 因?yàn)槠矫嫫矫鍼DF，所以平面PDF，故選項(xiàng)A正確．在正四面體中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，DF∥BCDF⊥PDF⊥因此選項(xiàng)BC均正確．如圖已知平面ABC，則在的邊所在的直線中與PC垂直的直線個(gè)與AP垂直的直線 個(gè)．解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直線AB，BC，AC.∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥又∵AP?∴AB⊥AP，與AP垂直的直線是AB.答案：3 1αβ為不重合的兩個(gè)平面，給出下列命題：①若α內(nèi)的兩條相交直線分別平行于β內(nèi)的兩條直線，則α∥β；②若α外的一條直線l與α內(nèi)的一條直線平行，則l∥α；③設(shè)α∩β＝l，若α內(nèi)有一條直線垂直于l，則α⊥β；7④直線l⊥α的充要條件是l與α內(nèi)的兩條直線垂直其中所有的真命題的序號(hào)．解析：①正確；②正確；滿足③的α與β不一定垂直，所以③錯(cuò)誤；直線l⊥α的充要條件是l與α內(nèi)的兩條相交直線垂直，所以④錯(cuò)誤．故所有的真命題的序號(hào)是①②.答案：①②11 1 1ABCA1B1C1αAB，AC，AC，ABE，F(xiàn)，G，HAAα.EFGH11 1 11平面BCCB；③平面平面BCFE.其中正確命題的序號(hào)11 11 AA∥αAABB＝EHAA∥1 11 1 11 AA∥GF，所以EH∥GF，又ABCABC是直三棱柱，易知EH1 11 1 1 1 1 11 1 11 11 1 1 AA1，所以四邊形EFGH①正確；若平面α∥平面BC1C平面ABCCB平面ABCBC，GH∥BCGH∥BC1 1 1 1 11 1 11 11 1 1 1結(jié)合AA∥EH知EH⊥平面BCFE，又EH 平面所以平面平BCFE，③正確．1答案：①③)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是MPCPM＝2MC，N為AD的中點(diǎn)．求證：ADPNB；ABCDPNBM的體積．解：(1)證明：連接BD.∵PA＝PD，N為AD的中點(diǎn)，∴PN⊥AD.又底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴△ABD為等邊三角形，∴BN⊥AD，又PN∩BN＝N，∴AD⊥平面PNB.(2)∵PA＝PD＝AD＝2，∴PN＝NB＝3.ABCD，∴PN⊥NB，∴S

＝1× 3× 3 3.＝B 2 2＝∵AD⊥平面PNB，AD∥BC，8∴BC⊥平面PNB.又PM＝2MC，∴V ＝V

2 213 2＝V ＝×××2＝.＝PNBM

MPNB

3CPNB

332 310.如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱B1B1 上，且B1D⊥A1F，AC⊥A1B11 求證：(1)直線DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.1 1 證明：(1)ABCA1B1C1C，在△ABCD，EAB，BC的中點(diǎn)．DE∥ACDE∥A1 1 DEA1C1F，A1C1?A1C1F，DE∥A1C1F.11 11 1 1 1 (2)ABCA1B1C1中，AA1⊥ABC，A1C1?11 11 1 1 1 1 1 11 1 11 11 1 1 1 11 11 1又因?yàn)锳C⊥AB，AB∩AA＝A，AA?平面ABBA，1 1 11 1 11 11 1 1 1 11 11 111 1 B1D?ABBAAC⊥11 1 1B1D⊥A1F，A1C1∩A1F＝A，A1C1?A1C1F，A1F?A1C1F，B1D⊥A1C1F，1B1D?B1DE，B1DE⊥B級(jí)全國(guó)Ⅱ)如圖在三棱錐PABC中O為AC的中點(diǎn)．證明：POABC；MBCMC＝2MBCPOM的距離．解：(1)證明：因?yàn)闉锳C的中點(diǎn)，所以PO⊥AC，且PO＝2 3.連接OB，2因?yàn)锳B＝BC＝2AC，1所以△ABC為等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝2AC＝2.9所以PO2＋OB2＝PB2，所以PO⊥OB.AC∩OB＝OPO⊥ABC.(2)CH⊥OMH，又由(1)可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM.故CH的長(zhǎng)為點(diǎn)C到平面POM的距離．1 2 4 2由題設(shè)可知OC＝2AC＝2，CM＝3BC＝3，∠ACB＝45°，

2 5，CH

OC·MC·sin∠ACB 4 5.＝3

OM ＝5CPOM

4 5.的距離為5PABCD，平面⊥底面分別CD，PC的中點(diǎn)．求證：(1)BE∥平面PAD；(2)平面BEF⊥平面PCD.證明：(1)∵AB∥CD，C