29/292021北京高二（上）期中數(shù)學(xué)匯編空間直線、平面的垂直一、單選題1．（2021·北京市第五十七中學(xué)高二期中）如圖，直二面角，，，，且，，，，，，則的面積最大值為（

）A．6 B．12C．18 D．242．（2021·北京市八一中學(xué)高二期中）在空間直角坐標(biāo)系中，已知長方體的頂點，，，，則直線與平面之間的距離為（

）A． B． C． D．3．（2021·北京·人大附中高二期中）二面角為，異面直線、分別垂直于、，則與所成的角為（

）A． B．C． D．4．（2021·北京景山學(xué)校遠洋分校高二期中）已知長方體中，，，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．5．（2021·北京市昌平區(qū)前鋒學(xué)校高二期中）如圖，設(shè)，分別是正方體的棱上兩點，且，，其中正確的命題為（

）A．直線與所成的角為B．異面直線與所成的角為C．平面D．三棱錐的體積為定值6．（2021·北京交通大學(xué)附屬中學(xué)高二期中）將一塊邊長為的正三角形鐵皮沿各邊的中位線折疊成一個正四面體，則這正四面體某頂點到其相對面的距離是（

）A． B． C． D．7．（2021·北京·北師大二附中未來科技城學(xué)校高二期中）已知長方體中，，，則直線和平面所成角的正弦值等于（

）A． B． C． D．8．（2021·北京市第四十三中學(xué)高二期中）已知向量，是平面α內(nèi)的兩個不相等的非零向量，非零向量在直線l上，則“，且”是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．（2021·北京交通大學(xué)附屬中學(xué)高二期中）《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為“鱉臑”.在如圖所示的四棱錐中，平面，底面是正方形，且，點，分別為，的中點，則圖中的鱉臑有A．2個 B．3個 C．4個 D．5個10．（2021·北京市第二十二中學(xué)高二期中）如圖,在棱長為的正方體中,點、是棱、的中點,是底面上（含邊界）一動點,滿足,則線段長度的取值范圍是A． B． C． D．11．（2021·北京交通大學(xué)附屬中學(xué)高二期中）在下列命題中：①存在一個平面與正方體的12條棱所成的角都相等；②存在一個平面與正方體的6個面所成較小的二面角都相等；③存在一條直線與正方體的12條棱所成的角都相等；④存在一條直線與正方體的6個面所成的角都相等．其中真命題的個數(shù)為A．1 B．2C3 C．4二、雙空題12．（2021·北京八十中高二期中）在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為1的正方形，D1B與平面ABCD所成的角為60°，則棱AA1的長為_____________；點C1到平面BDD1的距離為_____________．13．（2021·北京·中關(guān)村中學(xué)高二期中）正方體的棱長為1，動點M在線段CC1上，動點P在平面上，且平面.（Ⅰ）當(dāng)點M與點C重合時，線段AP的長度為_______；（Ⅱ）線段AP長度的最小值為_______.三、填空題14．（2021·北京·北理工附中高二期中）圓錐的側(cè)面展開圖恰好是一個半圓，則該圓錐的母線與底面所成的角的余弦值是______________.15．（2021·北京八中高二期中）在棱長為6的正方體中，是的中點，是該正方體側(cè)面上的點，且滿足，則三棱錐的體積最大值是__________.四、解答題16．（2021·北京·北理工附中高二期中）如圖，在直三棱柱中，，，點D，E，F(xiàn)分別為棱，，的中點.(1)求證：平面DEF；(2)在線段上是否存在一點P，使得直線DP與平面所成的角為30°？如果存在，求出線段AP的長；如果不存在，說明理由.17．（2021·北京·北理工附中高二期中）在四棱錐中，平面平面，底面為梯形，，，且，，.(1)求證：平面；(2)求直線與所成角的余弦值；(3)求四棱錐的體積.18．（2021·北京交通大學(xué)附屬中學(xué)高二期中）如圖，三棱柱中，底面，，是的中點.(1)求證：平面；(2)若，，求三棱柱的體積.19．（2021·北京·北師大二附中未來科技城學(xué)校高二期中）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱底面，為棱的中點，．(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．20．（2021·北京市八一中學(xué)高二期中）如圖，四邊形是邊長為的正方形，平面，，，平面所成角為.(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)求三棱錐的體積.21．（2021·北京·昌平一中高二期中）如圖，在四棱錐中P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，BC⊥平面PAB，PA⊥AB，PA＝2．(1)求證：PA⊥平面ABCD；(2)求平面PAD與平面PBC所成角的余弦值．22．（2021·北京市朝陽區(qū)北京教育學(xué)院朝陽分院高二期中）如圖，在三棱錐中，底面為等邊三角形，，且平面平面．（1）求三棱錐的體積；（2）求二面角的余弦值；（3）判斷在線段上是否存在點Q，使得為直角三角形？若存在，找出所有符合要求的點Q，并求的值；若不存在，說明理由．23．（2021·北京景山學(xué)校遠洋分校高二期中）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點，.（1）求三棱錐的體積；（2）已知D為棱上的點，證明：.24．（2021·北京景山學(xué)校遠洋分校高二期中）如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長為的正方形，.再從條件①?條件②?條件③中選擇兩個能解決下面問題的條件作為已知，并作答.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.條件①：；條件②：；條件③：平面平面.25．（2021·北京一七一中高二期中）在如圖所示的幾何體中，面CDEF為正方形，面ABCD為等腰梯形，，，，.（1）求證：平面FBC；（2）線段ED上是否存在點Q，使平面平面QBC？證明你的結(jié)論.26．（2021·北京·匯文中學(xué)高二期中）如圖，四棱錐中，底面為菱形，底面，，，是上的一點，．（1）證明平面；（2）設(shè)二面角為，求與平面所成角的大小27．（2021·北京·昌平一中高二期中）如圖，在三棱柱ABC?中，平面ABC，D，E，F(xiàn)，G分別為，AC，，的中點，AB=BC=，AC==2．（1）求證：AC⊥平面BEF；（2）求二面角B?CD?C1的余弦值；（3）證明：直線FG與平面BCD相交．

參考答案1．B【解析】由題意可得，進而得出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，作，垂足為M，如圖，令，根據(jù)勾股定理得出，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得，結(jié)合三角形面積公式計算即可.【詳解】由得，又，所以，有，即，作，垂足為M，令，則，在中，，在中，，所以，整理得，所以，所以，故面積的最大值.故選：B2．A【解析】根據(jù)題意可知，，，直線與平面之間的距離可轉(zhuǎn)化為點到平面的距離，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)與三角形面積公式，即可求解.【詳解】由，，，，得，，且.如圖所示，連接，過點作，垂足在上.由長方體的性質(zhì)易得，又因且，所以平面，因此直線與平面之間的距離為線段的長.因，所以，因此直線與平面之間的距離為.故選：A.3．B【解析】根據(jù)二面角的定義和線面垂直的性質(zhì)可得選項.【詳解】解：因為二面角為，異面直線、分別垂直于、，則與所成的角為，故選：B.4．C【解析】根據(jù)平面找到線面角，進而求出答案.【詳解】如圖，根據(jù)題意，平面，所以是與平面所成的角，由勾股定理易得：，所以.故選：C.5．D【解析】利用，可得（或補角）就為異面直線與所成的角可判斷A；由，可得或其補角即為異面直線與所成的角可判斷B；先假設(shè)平面成立，可得出直線，與題設(shè)不一致，可判斷C；利用計算出體積可判斷D，進而可得正確選項.【詳解】對于A：在正方體中，四邊形為矩形，所以，所以（或補角）就為異面直線與所成的角，在中，因為，所以，即異面直線與所成的角為，故選項A不正確；對于B：因為，所以或其補角即為異面直線與所成的角，在中，，所以異面直線與所成的角為，故選項B不正確；對于C：若平面，則，即異面直線與所成的角為，因為異面直線與所成的角為，故選項C不正確；對于D：因為，故三棱錐的體積為定值，故選項D正確；故選：D.6．A【解析】依題意可得正三棱錐，取的中點連接，過作底面的射影，根據(jù)正三棱錐的性質(zhì)及勾股定理計算可得；【詳解】解：依題意可得如圖所示正三棱錐，且棱錐的所有棱長為，取的中點連接，過作底面的射影，根據(jù)正三棱錐的性質(zhì)可知為的重心，所以，，所以故選：A7．C【解析】取的中點，連接，可證平面，則即為和平面所成角，在中即可求出結(jié)果.【詳解】由題意，四邊形為正方形，如下圖所示：取的中點，連接，則由于平面，平面故，平面所以平面所以即為和平面所成角；由勾股定理可知，；所以在中，.故選：C8．B【解析】由線面垂直的定義和判定定理即可得到答案.【詳解】由題意，，.若與方向相反，且，在平面α內(nèi)，則向量，所在的直線要么重合，要么平行，因此根據(jù)線面垂直的判定定理，由，且無法得到.若，根據(jù)線面垂直的定義，可以得到，且.所以“，且”是的必要不充分條件.故選：B.9．C【解析】根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，分別判定得出四面體，，，都是鱉臑，即可得到答案．【詳解】由題意，因為底面，所以，，又四邊形為正方形，所以，所以平面，，所以四面體是一個鱉臑，因為平面，所以，因為，點是的中點，所以，因為，所以平面，可知四面體的四個面都是直角三角形，即四面體是一個鱉臑，同理可得，四面體和都是鱉臑，故選C.【點睛】本題主要考查了幾何體的線面位置關(guān)系的判定及應(yīng)用，其中解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，根據(jù)題意合理判定是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力，以及推理與運算能力，屬于中檔試題．10．D【解析】因為平面，平面，所以，又因為所以可得平面，當(dāng)點在線段上時，總有，所以的最大值為，的最小值為，可得線段長度的取值范圍是，故選D.【方法點晴】本題主要考查正方體的性質(zhì)、線面垂直的判定定理的應(yīng)用，屬于難題.解答空間幾何體中垂直關(guān)系時，一般要根據(jù)已知條件把空間中的線線、線面、面面之間垂直關(guān)系進行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化時要正確運用有關(guān)的定理，找出足夠的條件進行推理；證明直線和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推論；（3）利用面面平行的性質(zhì)；（4）利用面面垂直的性質(zhì)，當(dāng)兩個平面垂直時，在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面.11．D【解析】試題分析：①②都對，平面為：正方體三個相鄰平面的面對角線構(gòu)成的平面；③④都對，直線為：正方體的體對角線．考點：立體幾何綜合．12．

【解析】由題意知∠D1BD是D1B與平面ABCD所成的角，利用直角三角形的邊角關(guān)系求出DD1的值，即可得出棱AA1；由CC1∥平面BDD1，求出點C到平面BDD1的距離，即是點C1到平面BDD1的距離．【詳解】如圖所示，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，所以∠D1BD是D1B與平面ABCD所成的角，所以∠D1BD＝60°；在中，BDAB，所以DD1＝BDtan∠D1BDtan60°，所以棱AA1＝DD1；由CC1∥平面BDD1，連接AC，交BD于點O，則CO⊥BD；又DD1⊥底面ABCD，CO?平面ABCD，所以DD1⊥CO，且BD∩DD1＝D，所以CO⊥平面BDD1，所以CO是點C到平面BDD1的距離；又COAC，所以點C1到平面BDD1的距離為．故答案為：；．13．

【解析】（Ⅰ）當(dāng)點M與點C重合時，可以得到點與點重合，從而可得的長度；（Ⅱ）利用線面垂直得到等量關(guān)系，結(jié)合二次函數(shù)求解最值.【詳解】以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)則,.因為平面，所以,.（Ⅰ）當(dāng)點M與點C重合時,,,此時的長度為；（Ⅱ）.【點睛】本題主要考查空間中的垂直關(guān)系及動線段的長度問題.動點引發(fā)的長度變化，要尋求其中不變的關(guān)系式，綜合運用其他知識求解.14．##【解析】設(shè)出圓錐的半徑與母線長，利用圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖的弧長得到圓錐的半徑與母線長，進而表示出圓錐的母線與底面所成角的余弦值，也就求出了夾角的度數(shù)．【詳解】解：設(shè)圓錐的母線長為，底面半徑為，則：，，母線與底面所成角的余弦值，母線與底面所成角的余弦值為．故答案為：．15．【解析】由題意易知，由此可得，在平面上，作，垂足為，設(shè)，，求出的最大值，說明底面，即可得三棱錐的體積最大值.【詳解】如圖，在棱長為6的正方體中，，則平面，平面，又，在平面上，所以，，又，所以，所以，即，作，垂足為，設(shè)，，所以，化簡整理得，，則時，，，在正方形中，因為，所以，又在正方體中，平面，所以平面，所以三棱錐的體積最大值為.故答案為：.【點睛】本題考查了空間幾何體的最值問題，考查了線面垂直的性質(zhì)定理，考查了空間想象能力與計算能力，屬于中檔題.16．(1)見解析(2)存在，【解析】（1）如圖所示，連接，交于點，連接，，，利用三角形中位線定理、正方形的性質(zhì)、平行四邊形的判定定理可得：四邊形是平行四邊形．即平面；又，利用線面平行的判定定理即可證明結(jié)論平面．（2）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，0，，，設(shè)平面的法向量為，，，則，可得．利用，向量夾角公式即可得出．(1)證明：如圖所示，連接，交于點，連接，，，則為的中點，因為點D，E，F(xiàn)分別為棱，，的中點，所以，且，且，又且，所以且，所以四邊形是平行四邊形．平面；又，平面；平面．平面；(2)解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．則，0，，，0，，，2，，，0，，設(shè)，0，，，，則，0，，，0，，，2，，設(shè)平面的法向量為，，，則，，，可取，1，，，化為：．，．解得．，0，，所以．在線段上存在一點，為線段的中點，使得直線與平面所成的角為，．17．(1)證明見解析(2)(3)【解析】（1）由面面垂直的性質(zhì)定理即可求證；（2）取的中點，連接、，可證明，或其補角即為直線與所成角，在中，由余弦定理求即可求解；（3）過點作垂直于的延長線于點，可證明平面，求出的長，再由椎體的體積公式即可求解.(1)因為平面平面，平面平面，，面，所以平面.(2)取的中點，連接、，因為，，所以四邊形是平行四邊形，可得，所以或其補角即為直線與所成角，因為平面，面，所以，所以，，在中，由余弦定理可得：，在中，.(3)過點作垂直于的延長線于點，因為平面平面，平面平面，，面，所以平面.所以，所以四棱錐的體積.18．(1)證明見解析(2)【解析】（1）由線面垂直的性質(zhì)證明，由等腰三角形的性質(zhì)正確，由線面垂直的判定定理即可求證；（2）在中，在中由勾股定理求得，再由柱體的體積公式即可求解.(1)因為，是的中點，所以，因為底面，底面，所以，因為，所以平面，(2)在等腰直角三角形中，，是的中點，所以，因為底面，面，所以，在中，，所以三棱柱的體積為：.19．(1)證明見解析(2)【解析】（1）證明平面得到答案.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，計算平面的法向量為，根據(jù)向量的夾角公式計算得到答案.(1)底面，平面，故，，，故平面，平面，故.(2)以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取得到，，直線與平面所成角的正弦值為.20．(1)見解析(2)(3)【解析】（1）由平面，得．由是正方形，得，從而平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面的法向量為和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．（3）等體積轉(zhuǎn)化求解即可(1)證明：因為平面，所以．因為是正方形，所以，又從而平面．(2)因為，，兩兩垂直，所以建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示．因為與平面所成角為，即，所以．由，可知，．則，0，，，0，，，0，，，3，，，3，，所以，，，，0，．設(shè)平面的法向量為，，，則，即．令，則，2，．因為平面，所以為平面的法向量，，，．所以．因為二面角為銳角，所以二面角的余弦值為．(3)由（2），CD平面，AB平面21．(1)證明見解析；(2).【解析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理來證得平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法來求得平面與平面所成角的余弦值.(1)由于平面，所以，由于,所以平面.(2)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，平面的法向量為，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè).設(shè)平面與平面所成角為，則.22．（1）4；（2）；（3）存在，或.【解析】（1）利用線面、面面垂直的判定和性質(zhì)及三棱錐的體積計算公式即可得出；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求出二面角的兩個平面的法向量的夾角，進而即可得出二面角的大??；（3）先假設(shè)存在，分以下三種情況討論：當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，利用向量的數(shù)量積與垂直的關(guān)系即可判斷出．【詳解】（1）如圖，過P作，∵平面平面，∴平面．在中，，∴，∴．∴三棱錐的體積．（2）取的中點分別為M，N，連接．在等邊中，∵O、N分別為的中點，∴．由（1）可知：平面，∴，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．．∴，．設(shè)為平面的一個法向量，則且．∴，令，則．∴．∵x軸⊥平面，∴取作為平面的法向量．設(shè)二面角的大小為，由圖可知．∴．∴二面角的余弦值為．（3）在線段上存在點Q，使得為直角三角形．設(shè)．則，，．①當(dāng)時，則，得，解得或1．當(dāng)時，Q與O重合，為直角三角形，且；當(dāng)時，Q與M重合，為直角三角形，且；②當(dāng)時，則，得，解得，不符合題意，應(yīng)舍去；③當(dāng)時，則，得，解得，不符合題意，應(yīng)舍去．綜上可知：在線段上存在點Q，使得為直角三角形，且或．23．(1)；(2)證明見解析.【解析】（1）先證明為等腰直角三角形，然后利用體積公式可得三棱錐的體積；（2）將所給的幾何體進行補形，從而把線線垂直的問題轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，然后再由線面垂直可得題中的結(jié)論.【詳解】（1）由于，，所以，又AB⊥BB1，，故平面，則，為等腰直角三角形，，.（2）由（1）的結(jié)論可將幾何體補形為一個棱長為2的正方體，如圖所示，取棱的中點，連結(jié)，正方形中，為中點，則，又，故平面，而平面，從而.【點睛】求三棱錐的體積時要注意三棱錐的每個面都可以作為底面，例如三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，我們就選擇其中的一個側(cè)面作為底面，另一條側(cè)棱作為高來求體積．對于空間中垂直關(guān)系（線線、線面、面面）的證明經(jīng)常進行等價轉(zhuǎn)化.24．條件選擇見解析；（1）證明見解析；（2）.【解析】選擇①②：（1）根據(jù)勾股定理可得，再由，利用線面垂直的判定定理可得平面；選擇①③：（1）根據(jù)勾股定理可得，再由面面垂直的性質(zhì)定理可得平面.（2）以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個法向量，根據(jù)【詳解】解：選擇①②：（1）因為，，，所以.又因為，，所以平面.選擇①③：（1）因為，，，所以.又因為平面平面，平面平面，所以平面.（2）由（1）知，.因為四邊形是正方形，所以.如圖，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，.設(shè)平面的一個法向量為，則即令，則，，所以.設(shè)直線與平面所成角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】思路點睛：解決二面角相關(guān)問題通常用向量法，具體步驟為：（1）建坐標(biāo)系，建立坐標(biāo)系的原則是盡可能的使得已知點在坐標(biāo)軸上或在坐標(biāo)平面內(nèi)；（2）根據(jù)題意寫出點的坐標(biāo)以及向量的坐標(biāo)，注意坐標(biāo)不能出錯.（3）利用數(shù)量積驗證垂直或求平面的法向量.（4）利用法向量求距離、線面角或二面角.25．（1）證明見解析（2）線段ED上不存在點Q，使平面平面QBC,證明見解析【解析】（1）利用余弦定理和勾股定理的逆定理可得，再利用已知和線面垂直的判定定理即可證明；（2）通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩個平面的法向量是否垂直來判斷即可.【詳解】解：（1）證明：，，在中，由余弦定理可得，，..又，，平面FBC.（2）線段ED上不存在點Q，使平面平面QBC.證明如下：因為平面FBC，所以.因為，所以平面ABCD.所以CA，CF，CB兩兩互相垂直，如圖建立的空間直角坐標(biāo)系.在等腰梯形ABCD中，可得.設(shè)，所以，，，，.所以，，.設(shè)平面EAC的法向量為，則，所以，取，得.假設(shè)線段ED上存在點Q，設(shè)，所以.設(shè)平面QBC的法向量為，則，所以，取，得.要使平面平面QBC，只需，即，此方程無解.所以線段ED上不存在點Q，使平面平面QBC.【點睛】本題綜合考查了線面、面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理、通過距離空間直角坐標(biāo)系利用兩個平面的法向量解決面面垂直等基礎(chǔ)知識與基本技能，考查了空間想象能力、推理能力和計算能力.26．（1）證明見解析；（2）【解析】（1）先由已知建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，從而寫出相關(guān)點和相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用向量垂直的充要條件，證明，，從而利用線面垂直的判定定理證明結(jié)論即可；（2）先求平