學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE24學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE第2課時參數(shù)方程最新考綱考情考向分析1。了解參數(shù)方程,了解參數(shù)的意義．2.能選擇適當?shù)膮?shù)寫出直線、圓和橢圓的參數(shù)方程。了解參數(shù)的意義,重點考查直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義及圓、橢圓的參數(shù)方程與普通方程的互化，往往與極坐標結(jié)合考查．在高考選做題中以解答題形式考查，難度為中檔。1．參數(shù)方程和普通方程的互化(1）曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式．一般地，可以通過消去參數(shù)從參數(shù)方程得到普通方程．(2）如果知道變數(shù)x，y中的一個與參數(shù)t的關(guān)系，例如x＝f（t），把它代入普通方程,求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y＝g（t），那么eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝ft，，y＝gt)）就是曲線的參數(shù)方程．2．常見曲線的參數(shù)方程和普通方程點的軌跡普通方程參數(shù)方程直線y－y0＝tanα（x－x0)eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝x0＋tcosα，，y＝y(tǒng)0＋tsinα)）(t為參數(shù)）圓x2＋y2＝r2eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝rcosθ，,y＝rsinθ))（θ為參數(shù)）橢圓eq\f（x2，a2)＋eq\f（y2,b2)＝1（a>b〉0)eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝acosφ，,y＝bsinφ））（φ為參數(shù))拋物線y2＝2px(p〉0)eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝2pt2，,y＝2pt））(t為參數(shù)）題組一思考辨析1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝ft，,y＝gt））中的x,y都是參數(shù)t的函數(shù)．(√)（2）過M0（x0,y0）,傾斜角為αeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（α≠\f(π,2)))的直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝x0＋tcosα,，y＝y(tǒng)0＋tsinα））（t為參數(shù))．參數(shù)t的幾何意義表示:直線l上以定點M0為起點，任一點M（x，y）為終點的有向線段M0M的數(shù)量．（√）(3)方程eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝2cosθ，，y＝1＋2sinθ）)（θ為參數(shù))表示以點（0,1）為圓心，以2為半徑的圓．(√)(4)已知橢圓的參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝2cost，,y＝4sint)）（t為參數(shù))，點M在橢圓上，對應(yīng)參數(shù)t＝eq\f（π，3），點O為原點，則直線OM的斜率為eq\r(3).（×）題組二教材改編2．［P25例3]曲線eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋cosθ，,y＝2＋sinθ））（θ為參數(shù)）的對稱中心()A．在直線y＝2x上B．在直線y＝－2x上C．在直線y＝x－1上D．在直線y＝x＋1上答案B解析由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－1＋cosθ，，y＝2＋sinθ，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosθ＝x＋1，,sinθ＝y(tǒng)－2。)）所以（x＋1)2＋(y－2）2＝1。曲線是以（－1,2）為圓心,1為半徑的圓，所以對稱中心為（－1,2），在直線y＝－2x上．3．［P37例2]在平面直角坐標系xOy中，若直線l：eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝t，，y＝t－a)）（t為參數(shù)）過橢圓C：eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3cosφ，，y＝2sinφ)）(φ為參數(shù)）的右頂點，求常數(shù)a的值．解直線l的普通方程為x－y－a＝0，橢圓C的普通方程為eq\f(x2，9）＋eq\f(y2，4）＝1，∴橢圓C的右頂點坐標為(3,0)，若直線l過(3,0)，則3－a＝0，∴a＝3。題組三易錯自糾4．直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝1＋t，，y＝2－3t))(t為參數(shù)），求直線l的斜率．解將直線l的參數(shù)方程化為普通方程為y－2＝－3（x－1），因此直線l的斜率為－3.5．設(shè)P(x，y）是曲線C:eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數(shù)，θ∈[0，2π））上任意一點，求eq\f（y,x）的取值范圍．解由曲線C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－2＋cosθ，,y＝sinθ)）（θ為參數(shù))，得(x＋2）2＋y2＝1,表示圓心為（－2,0），半徑為1的圓．eq\f（y，x)表示的是圓上的點和原點連線的斜率，設(shè)eq\f(y，x）＝k，則原問題轉(zhuǎn)化為y＝kx和圓有交點的問題,即圓心到直線的距離d≤r,所以eq\f(｜－2k｜，\r(1＋k2））≤1，解得－eq\f（\r（3）,3）≤k≤eq\f（\r(3),3)，所以eq\f（y，x)的取值范圍為eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（－\f(\r(3),3），\f（\r(3),3）))。6．已知曲線C的極坐標方程是ρ＝2cosθ，以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線l的參數(shù)方程是eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝\f（\r（3）,2)t＋m，,y＝\f（1，2)t））（t為參數(shù))．（1)求曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程;（2）設(shè)點P(m，0），若直線l與曲線C交于A，B兩點，且｜PA｜·｜PB|＝1，求實數(shù)m的值．解（1）曲線C的極坐標方程是ρ＝2cosθ,化為ρ2＝2ρcosθ,可得直角坐標方程為x2＋y2－2x＝0.直線l的參數(shù)方程是eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r（3）,2)t＋m，，y＝\f(1，2）t）)(t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得x＝eq\r(3)y＋m,即eq\r（3）y－x＋m＝0.（2）把eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝\f(\r（3),2)t＋m，，y＝\f（1，2)t))(t為參數(shù))代入方程x2＋y2＝2x，化為t2＋（eq\r(3）m－eq\r(3））t＋m2－2m＝0，①由Δ>0,解得－1<m〈3.設(shè)t1，t2為方程①的兩個實數(shù)根,∴t1t2＝m2－2m?！撸黀A|·|PB|＝1＝｜t1t2|，∴m2－2m＝±1，解得m＝1±eq\r(2)或m＝1,滿足Δ>0?！鄬崝?shù)m＝1±eq\r(2）或m＝1.題型一參數(shù)方程與普通方程的互化1．（2018·開封調(diào)研)在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－\r（5)＋\f(\r（2）,2)t,，y＝\r(5）＋\f（\r（2),2)t）)(t為參數(shù)），以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為ρ＝4cosθ。（1)求曲線C的直角坐標方程及直線l的普通方程；（2）將曲線C上的所有點的橫坐標縮短為原來的eq\f（1，2），再將所得到的曲線向左平移1個單位長度，得到曲線C1，求曲線C1上的點到直線l的距離的最小值．解(1)曲線C的直角坐標方程為x2＋y2＝4x，即（x－2)2＋y2＝4.直線l的普通方程為x－y＋2eq\r（5)＝0。(2）將曲線C上的所有點的橫坐標縮短為原來的eq\f（1，2），得（2x－2)2＋y2＝4，即(x－1)2＋eq\f（y2，4)＝1，再將所得曲線向左平移1個單位長度，得曲線C1：x2＋eq\f(y2，4)＝1，則曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，，y＝2sinθ））(θ為參數(shù)）．設(shè)曲線C1上任一點P(cosθ,2sinθ），則點P到直線l的距離d＝eq\f(｜cosθ－2sinθ＋2\r(5)｜,\r（2）)＝eq\f（｜2\r(5)－\r（5）sinθ＋φ|,\r（2))≥eq\f（\r（10）,2）eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝－\f(1,2））），所以點P到直線l的距離的最小值為eq\f(\r(10)，2）。2．在《圓錐曲線論》中，阿波羅尼奧斯第一次從一個對頂圓錐(直或斜）得到所有的圓錐曲線，并命名了橢圓(ellipse)、雙曲線(hyperboler）和拋物線(parabola)，在這本晦澀難懂的書中有一個著名的幾何問題:“在平面上給定兩點A，B，設(shè)P點在同一平面上且滿足eq\f（|PA｜，|PB｜）＝λ（λ〉0且λ≠1），P點的軌跡是圓．”這個圓我們稱之為“阿波羅尼奧斯圓”．已知點M與長度為3的線段OA兩端點的距離之比為eq\f（｜OM|，｜MA｜）＝eq\f（1，2），建立適當坐標系，求出M點的軌跡方程并化為參數(shù)方程．解由題意，以O(shè)A所在直線為x軸，過O點作OA的垂線為y軸,建立直角坐標系,設(shè)M（x，y)，則O（0,0），A(3，0）．因為eq\f（｜OM｜,｜MA|）＝eq\f(1，2）,即eq\f(\r(x2＋y2),\r(x－32＋y2））＝eq\f(1,2)，化簡得（x＋1）2＋y2＝4，所以點M的軌跡是以（－1，0)為圓心，2為半徑的圓．由圓的參數(shù)方程可得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ－1，,y＝2sinθ。)）思維升華消去參數(shù)的方法一般有三種（1）利用解方程的技巧求出參數(shù)的表達式，然后代入消去參數(shù)．（2)利用三角恒等式消去參數(shù)．（3)根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征，靈活的選用一些方法從整體上消去參數(shù)．將參數(shù)方程化為普通方程時，要注意防止變量x和y取值范圍的擴大或縮小，必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定函數(shù)f(t)和g（t)的值域，即x和y的取值范圍．題型二參數(shù)方程的應(yīng)用典例(2017·全國Ⅰ)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3cosθ,，y＝sinθ））（θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝a＋4t,，y＝1－t))(t為參數(shù)）．(1)若a＝－1,求C與l的交點坐標；（2)若C上的點到l的距離的最大值為eq\r（17)，求a。解(1)曲線C的普通方程為eq\f(x2，9)＋y2＝1。當a＝－1時，直線l的普通方程為x＋4y－3＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＋4y－3＝0，，\f（x2,9)＋y2＝1,))解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝3，,y＝0））或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f（21，25)，,y＝\f(24,25)，)）從而C與l的交點坐標是(3，0），eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（21,25）,\f（24，25）））。(2）直線l的普通方程是x＋4y－4－a＝0，故C上的點(3cosθ，sinθ)到l的距離為d＝eq\f(|3cosθ＋4sinθ－a－4|，\r(17))。當a≥－4時,d的最大值為eq\f(a＋9，\r(17)）。由題設(shè)得eq\f（a＋9，\r（17）)＝eq\r（17），所以a＝8；當a<－4時，d的最大值為eq\f(－a＋1,\r(17))。由題設(shè)得eq\f（－a＋1，\r（17)）＝eq\r(17)，所以a＝－16。綜上，a＝8或a＝－16.思維升華(1）解決直線與圓的參數(shù)方程的應(yīng)用問題時,一般是先化為普通方程,再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系來解決．(2)對于形如eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝x0＋at，，y＝y(tǒng)0＋bt))（t為參數(shù)）,當a2＋b2≠1時，應(yīng)先化為標準形式后才能利用t的幾何意義解題．跟蹤訓(xùn)練(2017·吉林實驗中學(xué)月考)已知橢圓C：eq\f(x2,4）＋eq\f(y2,3）＝1，直線l:eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝－3＋\r（3）t,，y＝2\r（3）＋t)）（t為參數(shù)）．(1)寫出橢圓C的參數(shù)方程及直線l的普通方程；(2)設(shè)A（1,0)，若橢圓C上的點P滿足到點A的距離與到直線l的距離相等，求點P的坐標．解（1）橢圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝2cosθ，,y＝\r(3）sinθ))(θ為參數(shù)）,直線l的普通方程為x－eq\r(3）y＋9＝0。(2）設(shè)P（2cosθ，eq\r(3)sinθ)，則｜AP|＝eq\r（2cosθ－12＋\r（3)sinθ2）＝2－cosθ，P到直線l的距離d＝eq\f（｜2cosθ－3sinθ＋9|,2）＝eq\f（2cosθ－3sinθ＋9，2).由｜AP|＝d，得3sinθ－4cosθ＝5，又sin2θ＋cos2θ＝1，得sinθ＝eq\f(3，5）,cosθ＝－eq\f(4,5）.故Peq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8，5），\f（3\r（3），5))）.題型三極坐標方程和參數(shù)方程的綜合應(yīng)用典例（2017·全國Ⅲ)在直角坐標系xOy中,直線l1的參數(shù)方程為eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，，y＝kt）)(t為參數(shù))，直線l2的參數(shù)方程為eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝－2＋m，,y＝\f（m，k）)）(m為參數(shù))．設(shè)l1與l2的交點為P，當k變化時，P的軌跡為曲線C.（1)寫出C的普通方程;（2)以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設(shè)l3：ρ(cosθ＋sinθ）－eq\r(2）＝0，M為l3與C的交點，求M的極徑．解(1）消去參數(shù)t，得l1的普通方程l1：y＝k（x－2)；消去參數(shù)m，得l2的普通方程l2：y＝eq\f(1,k）(x＋2)．設(shè)P(x，y），由題設(shè)得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝kx－2，，y＝\f（1,k)x＋2。))消去k得x2－y2＝4(y≠0)．所以C的普通方程為x2－y2＝4(y≠0）．(2）C的極坐標方程為ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π）．聯(lián)立eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（ρ2cos2θ－sin2θ＝4，，ρcosθ＋sinθ－\r（2）＝0，）)得cosθ－sinθ＝2（cosθ＋sinθ)．故tanθ＝－eq\f（1,3），從而cos2θ＝eq\f(9，10)，sin2θ＝eq\f(1，10）.代入ρ2(cos2θ－sin2θ）＝4，得ρ2＝5，所以交點M的極徑為eq\r（5).思維升華在對坐標系與參數(shù)方程的考查中，最能體現(xiàn)坐標法的解題優(yōu)勢，靈活地利用坐標法可以更簡捷的解決問題．例如,將題設(shè)條件中涉及的極坐標方程和參數(shù)方程等價轉(zhuǎn)化為直角坐標方程，然后在直角坐標系下對問題進行求解就是一種常見的解題方法，對應(yīng)數(shù)學(xué)問題求解的“化生為熟”原則，充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想．跟蹤訓(xùn)練（2018·福州調(diào)研）在直角坐標系xOy中，曲線C1：eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，，y＝tsinα））（t為參數(shù)，t≠0),其中0≤α＜π，在以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2：ρ＝2sinθ，曲線C3：ρ＝2eq\r（3)cosθ。（1)求C2與C3交點的直角坐標；(2)若C1與C2相交于點A,C1與C3相交于點B，求|AB｜的最大值．解（1)曲線C2的直角坐標方程為x2＋y2－2y＝0，曲線C3的直角坐標方程為x2＋y2－2eq\r(3)x＝0。聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x2＋y2－2y＝0，，x2＋y2－2\r（3）x＝0，））解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，，y＝0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝\f(\r（3)，2)，，y＝\f（3，2）.))所以C2與C3交點的直角坐標為（0，0)和eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(\r（3)，2）,\f（3，2）））.(2）曲線C1的極坐標方程為θ＝α（ρ∈R,ρ≠0），其中0≤α＜π。因此A的極坐標為(2sinα，α)，B的極坐標為(2eq\r（3）cosα，α）．所以|AB｜＝|2sinα－2eq\r(3)cosα｜＝4eq\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3）)))）.當α＝eq\f（5π，6)時，｜AB|取得最大值，最大值為4。1．(2018·保定模擬）在直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝3＋\f（1,2)t,,y＝\f（\r（3),2)t））（t為參數(shù))．以原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系，⊙C的極坐標方程為ρ＝2eq\r（3）sinθ.(1）寫出⊙C的直角坐標方程；（2)P為直線l上一動點，當P到圓心C的距離最小時，求P的直角坐標．解(1)由ρ＝2eq\r(3)sinθ，得ρ2＝2eq\r(3）ρsinθ，所以x2＋y2＝2eq\r(3）y，所以⊙C的直角坐標方程為x2＋（y－eq\r(3))2＝3。(2)設(shè)Peq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（3＋\f(1，2）t,\f（\r（3），2)t)），又C（0，eq\r(3）)，則|PC|＝eq\r(\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（3＋\f（1,2）t))2＋\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（\r（3），2)t－\r（3)))2）＝eq\r(t2＋12)，故當t＝0時,|PC|取得最小值，此時，點P的直角坐標為（3，0）．2．在平面直角坐標系xOy中,已知直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝1＋\f（1,2）t,,y＝\f（\r（3)，2)t))（t為參數(shù))，橢圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝2sinθ)）（θ為參數(shù)）．設(shè)直線l與橢圓C相交于A,B兩點，求線段AB的長．解直線l的參數(shù)方程化為普通方程為eq\r（3)x－y－eq\r（3）＝0，橢圓C的參數(shù)方程化為普通方程為x2＋eq\f(y2,4）＝1，聯(lián)立方程組eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(\r（3）x－y－\r（3)＝0,，x2＋\f(y2，4）＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x1＝1,,y1＝0))或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x2＝－\f（1，7),,y2＝－\f(8\r（3),7)，))不妨取A(1，0)，Beq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(1，7）,－\f(8\r（3），7)）)，則|AB|＝eq\r(\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（1＋\f（1，7)))2＋\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（0＋\f(8\r（3），7））)2）＝eq\f(16，7).3．已知在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f（\r（2），2)t－\r（2），，y＝\f（\r(2），2)t））（t為參數(shù)），以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求以極點為圓心且與直線l相切的圓的極坐標方程．解∵直線l的直角坐標方程為x－y＋eq\r（2)＝0，∴原點到直線l的距離r＝eq\f（\r(2），\r（2)）＝1?！嘁詷O點為圓心且與直線l相切的圓的極坐標方程為ρ＝1.4．在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2t，，y＝2t2)）（t為參數(shù)），在以O(shè)為極點,以x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2的方程為ρsineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（θ＋\f（π，4）））＝2eq\r(2），求曲線C1與曲線C2的交點個數(shù)．解曲線C1，C2化為普通方程和直角坐標方程分別為x2＝2y，x＋y－4＝0，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x2＝2y,,x＋y－4＝0，）)消去y得x2＋2x－8＝0，因為判別式Δ〉0,所以方程有兩個實數(shù)解．故曲線C1與曲線C2的交點個數(shù)為2。5．已知直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－1－\f（\r（3)，2)t，,y＝\r(3）＋\f(1，2）t））（t為參數(shù)），以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為ρ＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)））.（1)求圓C的直角坐標方程；(2）點P(x,y）是直線l與圓面ρ≤4sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（θ－\f（π,6)）)的公共點，求eq\r（3）x＋y的取值范圍．解(1）因為圓C的極坐標方程為ρ＝4sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)）),所以ρ2＝4ρsineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（θ－\f（π，6）)）＝4ρeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(\r(3），2）sinθ－\f(1,2)cosθ）)。又ρ2＝x2＋y2,x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以x2＋y2＝2eq\r(3）y－2x，所以圓C的直角坐標方程為x2＋y2＋2x－2eq\r(3）y＝0。(2）設(shè)z＝eq\r（3）x＋y，由圓C的直角坐標方程為x2＋y2＋2x－2eq\r（3)y＝0，得（x＋1）2＋(y－eq\r(3）)2＝4,所以圓C的圓心是(－1，eq\r(3)），半徑是2。將eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1－\f(\r（3）,2）t，，y＝\r(3）＋\f(1,2)t）)代入到z＝eq\r(3)x＋y，得z＝－t。又直線l過C（－1,eq\r(3）），圓C的半徑是2，所以－2≤t≤2，所以－2≤－t≤2，即eq\r(3)x＋y的取值范圍是[－2,2]．6．(2016·全國Ⅱ)在直角坐標系xOy中，圓C的方程為(x＋6)2＋y2＝25。（1）以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求C的極坐標方程;（2）直線l的參數(shù)方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，，y＝tsinα）)(t為參數(shù)),l與C交于A,B兩點，|AB｜＝eq\r(10）,求l的斜率．解（1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圓C的極坐標方程ρ2＋12ρcosθ＋11＝0。（2)在(1)中建立的極坐標系中，直線l的極坐標方程為θ＝α（ρ∈R)．設(shè)A,B所對應(yīng)的極徑分別為ρ1，ρ2，將l的極坐標方程代入到C的極坐標方程，得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11。|AB｜＝|ρ1－ρ2|＝eq\r（ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2)＝eq\r（144cos2α－44)。由｜AB｜＝eq\r(10)，得cos2α＝eq\f（3,8)，tanα＝±eq\f（\r（15）,3）.所以l的斜率為eq\f(\r（15）,3）或－eq\f(\r（15),3）。7．（2018·洛陽模擬）在極坐標系中,曲線C的極坐標方程為ρ＝4eq\r（2)·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π，4）))?，F(xiàn)以極點O為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝－2＋\f(1，2）t，，y＝－3＋\f(\r（3)，2)t))(t為參數(shù))．（1）寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；（2)設(shè)直線l和曲線C交于A，B兩點,定點P(－2,－3）,求｜PA｜·|PB|的值．解(1)因為ρ＝4eq\r（2）sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（θ＋\f(π，4)))＝4sinθ＋4cosθ，所以ρ2＝4ρsinθ＋4ρcosθ,所以x2＋y2－4x－4y＝0，即曲線C的直角坐標方程為(x－2)2＋（y－2)2＝8;直線l的普通方程為eq\r（3）x－y＋2eq\r(3)－3＝0。（2)把直線l的參數(shù)方程代入到圓C：x2＋y2－4x－4y＝0中，得t2－（4＋5eq\r（3）)t＋33＝0，t1，2＝eq\f(4＋5\r(3)±\r(40\r(3）－41),2），則t1t2＝33.點P（－2，－3）顯然在直線l上．由直線標準參數(shù)方程下t的幾何意義知，|PA｜·｜PB｜＝|t1t2｜＝33，所以｜PA|·|PB｜＝33。8．已知曲線C1：eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝－4＋cost，,y＝3＋sint)）（t為參數(shù))，曲線C2：eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝8cosθ，,y＝3sinθ)）（θ為參數(shù)）．（1）化C1，C2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；(2）若C1上的點P對應(yīng)的參數(shù)為t＝eq\f(π,2），Q為C2上的動點，求PQ中點M到直線C3:eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝3＋2t，，y＝－2＋t）)(t為參數(shù)）的距離的最小值．解(1）曲線C1:（x＋4)2＋(y－3）2＝1，曲線C2：eq\f（x2,64）＋eq\f(y2,9）＝1,曲線C1是以（－4，3）為圓心，1為半徑的圓；曲線C2是以坐標原點為中心，焦點在x軸上，長半軸長是8,短半軸長是3的橢圓．（2)當t＝eq\f(π,2）時，P（－4,4），Q（8cosθ，3sinθ）,故Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2＋4cosθ，2＋\f（3，2）sinθ)).曲線C3為直線x－2y－7＝0，M到C3的距離d＝eq\f(\r（5）,5)|4cosθ－3sinθ－13|，從而當cosθ＝eq\f（4,5），sinθ＝－eq\f(3，5）時，d取最小值eq\f（8\r(5)，5）。9．已知曲線C1的參數(shù)方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，，y＝2＋2sinθ)）(θ為參數(shù)），以直角坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程是ρ＝－4cosθ。(1）求曲線C1與C2的交點的極坐標；(2)A，B兩點分別在曲線C1與C2上,當|AB|最大時,求△OAB的面積（O為坐標原點)．解(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝2cosθ，，y＝2＋2sinθ，））得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝2cosθ，,y－2＝2sinθ,)）兩式平方相加,得x2＋(y－2）2＝4,即x2＋y2－4y＝0。①由ρ＝－4cosθ,得ρ2＝－4ρcosθ，即x2＋y2＝－4x。②①－②得x＋y＝0,代入①得交點為(0,0)，（－2，2)．其極坐標為（0，0)，eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（2\r(2)，\f（3π,4）)）。（2)如圖．由平面幾何知識可知，A，C1，C2，B依次排列且共線時|AB|最大，此時｜AB｜＝2eq\r（2)＋4,點O到AB的距離為eq\r（2）。∴△OAB的面積為S＝eq\f（1,2)×(2eq\r（2）＋4）×eq\r(2)＝2＋2eq\r(2）.10．已知曲線C的參數(shù)方程是eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝acosφ，,y＝\r(3)sinφ））（φ為參數(shù)，a>0)，直線l的參數(shù)方程是eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝3＋t，，y＝－1－t))（t為參數(shù)），曲線C與直線l有一個公共點在x軸上，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．(1）求曲線C的普通方程；（2)若點A（ρ1，θ)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ2，θ＋\f（2π，3））)，Ceq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（ρ3，θ＋\f（4π，3)）)在曲線C上，求eq\f(1，｜