2021年上海市楊浦區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷

一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）

1.下列各數(shù)中無理數(shù)（）

7i22

A.——B.—C.74D.時

27

2.下列說法不一定成立的是（）

A.若a>b,則a+c>h+c

B.若a+c>h+c,則

C.若a>b,則ac2>be2

D.若ac2>be2>則a>。

3.下列方程中，有實數(shù)根的方程是（）

A.d+l=0B.yJx+2--1

X1

C.yjx+2=-XD.=

廠一1x—1

2

4.已知A（xi,yi）和點B（也，”）是雙曲線y=一上的兩個點，如果埼<尤2,那么yi和）>2的大小關(guān)系正

x

確的是（）

A.yiB.y\<yiC.y\=yiD.無法判斷

5.為了了解某校九年級400名學(xué)生的體重，從中抽取了50名學(xué)生的體重進行統(tǒng)計分析，在這個問題中，總

體是指（）

A.400名學(xué)生B.被抽取50名學(xué)生

C.400名學(xué)生的體重D.被抽取的50名學(xué)生的體重

6.下列命題中，真命題是（）

A.平分弦的直徑垂直于弦

B.垂直平分弦的直線平分這條弦所對的弧

C.在同圓中，相等的弦所對的弧也相等

D.經(jīng)過半徑一端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

7.計算：?〃-1=_____

8.分解因式：x2-4x=

3x-15<0

x

9.在函數(shù)y=^~~-中，自變量x的取值范圍是.10.不等式組〈3-尤的解集是—

2x+3

11.已知關(guān)于x的一元二次方程d_6x+〃?_l=0有兩個相等的實數(shù)根，那么加的值為.

12.一個射箭運動員連續(xù)射靶5次，所得環(huán)數(shù)分別是：8,6,10,7,9,則這個運動員所得環(huán)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為

13.在一個布袋中，裝有除顏色外其他完全相同的2個紅球和2個白球，如果從中隨機摸出兩個球，那么摸

到的兩個球顏色相同的概率是.

14.已知點G是AABC的重心，如果而=￡,/=B,那么向量而用向量23表示為.

15.已知一個正六邊形邊心距為百，則它的半徑為.

16.如圖，已知在正方形網(wǎng)格中，點A、B、C、。在小正方形的頂點上，線段AB與線段CD相交于點。，

那么tanZAOC=.

蘢、17.如果一條直線把一個平面圖形的面積分成相等的兩部分，那么我們把這條直線

’----4B

叫做這個平面圖形的面積等分線.已知在菱形ABC。中，AB=6,NB=60。，點E在邊A。上，且4E=2,

過點E的面積等分線與菱形的另一條邊交于點F,那么線段E尸的長為.

18.如圖，已知在△ABC中，ZC=90°,ZB=30°,AC=2,點。是邊BC的中

BC

點，點E是邊48上一點，將△BDE沿直線OE翻折，點B落在處，聯(lián)結(jié)4B，，如果NABT>=90。，那么

線段AE的長為.

三.解答題（本大題共7題，滿分78分）19.計算:

21.如圖，已知正比例函數(shù))，=履的圖象與反比例函數(shù)y=9(x>0)的圖象經(jīng)過點A(a,3),點B為x軸

正半軸上一點，過點B作軸，交反比例函數(shù)的圖象于點C,交正比例函數(shù)的圖象于點。.

(1)求a、％值；

(2)聯(lián)結(jié)AC,如果BQ=6,求△ACQ的面積.

yf./

22.如圖1是一種手機平板支架，由底座、支撐板和托板構(gòu)成，手機放置在托

板上，如圖2是其側(cè)面示意圖，量得底座長AB=11cm,支撐板長BC=8cm,托板長C￡)=6cm,托板CO

固定在支撐板頂端點C處，托板CD可繞點C旋轉(zhuǎn)，支撐板8c可繞點B轉(zhuǎn)動.

(1)如果/4BC=60。，ZBCD=70°,求點。到直線A8的距離(精確到0.1cm)；

(2)在第(1)小題的條件下，如果把線段C。繞點C順時針旋轉(zhuǎn)20。后，再將線段BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn),

使點。落在直線48上，求線段8c旋轉(zhuǎn)的角度.

(參考數(shù)據(jù)：sin40°~0.64,cos40°~0.77,tan40yo.84,sin37yo.60,cos37yo.80,tan37°~0.75,百F.73)

23.已知：如圖，AB是半圓。的直徑，C是半圓上一點(不

與點4、8重合)，過點A作AO〃OC交半圓于點￡>,E是直徑AB上一點，S.AE=AD,聯(lián)結(jié)CE、CD.

(1)求證：CE=CD；

(2)如果AD=3CO,延長EC與弦4。的延長線交于點兒聯(lián)結(jié)O。，求證：四邊形OCF。是菱

24.如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x-5與x軸相交于點A,與)，軸相交于點B,拋物線)，

=ay2+6x+c經(jīng)過A、B兩點.

（1）求這條拋物線的表達式；

（2）設(shè)拋物線與x軸另一個交點為C,點P是拋物線上一點，點Q是直線A8上一點，當(dāng)四邊形BCPQ

是平行四邊形時，求點。的坐標(biāo)；

（3）在第（2）小題的條件下，聯(lián)結(jié)QC,在N0CB內(nèi)作射線C。與拋物線的對稱軸相交于點D,使得NQCO

=NABC,求線段。0的長.

3

??「25.如圖，已知。是N84c的邊4c上一點，AQ=15,cotZBAC=-,點P是

2345x4

射線A8上一點，聯(lián)結(jié)PQ,。。經(jīng)過點A且與。尸相切于點P,與邊AC相交于另一點D

（1）當(dāng)圓心0在射線AB上時，求。。的半徑；

3

（2）當(dāng)圓心0到直線A8的距離為一時，求線段AP的長；

4

（3）試討論以線段P。長為半徑的。尸與00的位置關(guān)系，并寫出相應(yīng)的線段AP取值范

備用圖

2021年上海市楊浦區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷

一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）

1.下列各數(shù)中無理數(shù)是（）

A.—B.—C..J4D.朗27

27

【答案】A

【解析】

【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù).理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)

與分數(shù)的統(tǒng)稱.即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù).由此即可判定選擇項.

【詳解】解：:一是無理數(shù)，

2

，A正確：

22

:?—是有理數(shù)，

7

B錯誤；

=2是有理數(shù)，

???C錯誤；

「V萬=3是有理數(shù)，

二。錯誤；

故選:A.

【點睛】本題考查了實數(shù)的分類，熟練掌握有理數(shù)，無理數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

2.下列說法不一定成立的是（）

A.若則a+c>Z?+c

B.若a+c>匕+c,則a>6

C.若a>b,則ac2>be2

D.若ac2>be2，則a>。

【答案】C

【解析】

【詳解】A.在不等式的兩邊同時加上c,不等式仍成立，即a+c>h+c,故本選項錯誤；

B.在不等式a+c>Z?+c的兩邊同時減去c,不等式仍成立，即，故本選項錯誤；C.當(dāng)c=0時，若a>b,

則不等式以2〉/?/不成立，故本選項正確;

D.在不等式ac2〉bc2的兩邊同時除以不為o的c，2,該不等式仍成立，即故本選項錯誤.

故選C.

3.下列方程中，有實數(shù)根的方程是（）

A.J^+I=0B.y/x+2--1

I----X1

C.Jx+2=-xD.~~-

x-1x-1

【答案】C

【解析】

【分析】利用乘方的意義可對A進行判斷；通過二次根式的性質(zhì)可對3、C進行判斷；通過解分式方程可

對。進行判斷.

【詳解】解：A、P.O,/+1＞0,方程/+1=（）沒有實數(shù)解；

B、77+2..0,故無實數(shù)解；

C、兩邊平方得x+2=f,解得石=-1,W=2,經(jīng)檢驗，原方程的解為％=-1；

D、去分母得x=l,經(jīng)檢驗原方程沒有實數(shù)解，

故選：C.

【點睛】本題考查了乘方的意義，分式方程，無理方程和二次根式的性質(zhì)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2

4.已知4（xi,yi）和點B（及，”）是雙曲線y=一上的兩個點，如果xi＜X2,那么和”的大小關(guān)系正

x

確的是（）

A.y\＞yzB.”＜丫2C.%=”D.無法判斷

【答案】D

【解析】

【分析】由于點A（玉，①）,5（々,必）不一定在同一象限，所以無法判斷出y，%的大小.

【詳解】：4=2＞0,

...雙曲線在第一、三象限，

①當(dāng)玉＜工2＜0時，＞|＞為；

7

②當(dāng)0＜玉＜々時，%＞%；③當(dāng)王＜0＜々時，J1＜y2；

綜上，無法判斷出M，%的大小，

故選：D.

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

5.為了了解某校九年級400名學(xué)生的體重，從中抽取了50名學(xué)生的體重進行統(tǒng)計分析，在這個問題中，總

體是指（）

A.400名學(xué)生B.被抽取的50名學(xué)生

C.400名學(xué)生的體重D.被抽取的50名學(xué)生的體重

【答案】C

【解析】

【分析】利用總體的定義直接解題即可，總體是指所要考察對象的全體

【詳解】要了解九年級400名學(xué)生的體重，所以“400名學(xué)生的體重”是總體，故選C

【點睛】本題主要考查總體的定義，掌握定義是解題關(guān)鍵

6.下列命題中，真命題是（）

A.平分弦的直徑垂直于弦

B.垂直平分弦的直線平分這條弦所對的弧

C.在同圓中，相等的弦所對的弧也相等

D.經(jīng)過半徑一端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)圓的有關(guān)概念和性質(zhì)、垂徑定理進行判斷解答.

【詳解】解：A、平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，原命題是假命題；

8、垂直平分弦的直線平分這條弦所對的弧，是真命題；

C、在同圓或等圓中，相等的弦所對的弧也相等，原命題是假命題；

。、經(jīng)過半徑外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，原命題是假命題；

故選：B.

【點睛】本題考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解圓的有關(guān)概念和性質(zhì)、垂徑定理等知識.

二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

7.計算：a3-a1=.

【答案】【解析】

【分析】根據(jù)同底數(shù)塞的乘法，可得答案.

【詳解】解：原式=〃+<-□

—a2.

故答案為：

【點睛】本題主要考查同底數(shù)塞乘法運算，掌握同底數(shù)哥乘法運算法則是解題的關(guān)鍵.

8.分解因式：x2-4x=—.

【答案】x(x-4)

【解析】

【詳解】解:x2-4x=x(x-4).

故答案為：x(x-4).

x

9.在函數(shù)丫=----中，自變量x取值范圍是______.

2x+3

3

【答案】x*--

2

【解析】

【分析】由分式的分母不為0,求出x的范圍.

【詳解】解：根據(jù)題意得，2x+3#),

3

??XW—,

2

3

故答案為：K豐.

2

【點睛】此題是函數(shù)自變量的取值范圍題，主要考查了分式有意義的條件，分母不為0,解本題的關(guān)鍵是列

出不等式.

3x-15<0

10.不等式組43—x的解集是.

------->1

[2

【答案】x<l

【解析】

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無

解了確定不等式組的解集.

【詳解】解：解不等式3x75/0,得：店5,

解不等式上士>1,得：x<l,則不等式組的解集為xVl,

2

故答案為：x<l.

【點睛】本題主要考查了一元一次不等式組的求解，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵.

11.已知關(guān)于x的一元二次方程V—6x+m-l=0有兩個相等的實數(shù)根，那么〃?的值為.

【答案】10

【解析】

【分析】根據(jù)原方程根的情況，利用根的判別式求出m的值即可.

【詳解】：關(guān)于x的一元二次方程V—6x+加一1=0有兩個相等的實數(shù)根，

.?.△=36-4（m-1）=40-4m=0,

解得m=10.

故答案為10.

【點睛】本題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）4No方程有兩個不相

等的實數(shù)根；（2）△=（）=方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△＜（）=方程沒有實數(shù)根.

12.一個射箭運動員連續(xù)射靶5次，所得環(huán)數(shù)分別是：8,6,10,7,9,則這個運動員所得環(huán)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為

【答案】a

【解析】

【詳解】先由平均數(shù)的公式求得平均數(shù)的值，再根據(jù)方差的公式計算方差，最后計算標(biāo)準(zhǔn)差.

8+6+10+7+9

解：由題意知：灰=-----------------------=8,

5

方差S2=g[(8-8)2+(6-8)2+(10-8)2+(7-8)2+(9-8)2]=2

標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根為近.

故填遮.

點評：計算標(biāo)準(zhǔn)差需先算出方差，計算方差的步驟是：

（1）計算數(shù)據(jù)的平均數(shù).X;

（2）計算偏差，即每個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差；

（3）計算偏差的平方和；

（4）偏差的平方和除以數(shù)據(jù)個數(shù).

標(biāo)準(zhǔn)差即方差的算術(shù)平方根；注意標(biāo)準(zhǔn)差和方差一樣都非負數(shù).

13.在一個布袋中，裝有除顏色外其他完全相同的2個紅球和2個白球，如果從中隨機摸出兩個球，那么摸

到的兩個球顏色相同的概率是.

【答案】:

3

【解析】

【分析】畫樹狀圖，共有12個等可能的結(jié)果，摸到的兩個球顏色相同的結(jié)果有4個，再由概率公式求解即

可.

【詳解】解：畫樹狀圖如圖：

紅紅白白共有12個等可能的結(jié)果，摸到的兩個球顏色相同的結(jié)果有4個,

ZN/1\ZN/1\

紅白白紅白白紅紅白紅紅白

41

，摸到的兩個球顏色相同的概率為一=-，

123

故答案為：一.

3

【點睛】本題考查列表法或畫樹狀圖求概率，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確畫出樹狀圖或列出表格.

14.已知點G是AA5c的重心，如果而=￡,/=B,那么向量而用向量"E表示為—

1-1-

（答案］一aH-b

33

【解析】

【分析】如圖，延長AE到H,使得EH=AE,連接BH,CH.求出而，證明AG=；A”

即可解決問題.

【詳解】如圖，延長AE到H,使得EH=AE,連接BH,CH.

AE=EH,BE=EC,四邊形ABHC是平行四邊形,

.\AC=BH,AC〃BH,

^AH=AB+BH=a+b'

,.'G是重心,

2

：.AG=-AE,

3

AG=-AH,

3

—?1-1r

?*.AG=—ciH—b.

33

【點睛】本題考查三角形重心，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬

于中考?？碱}型.

15.已知一個正六邊形的邊心距為百，則它的半徑為

【答案】2

【解析】

【詳解】試題分析：設(shè)正六邊形的中心是。，一邊是AB,過。作OGLAB與G,在直角aOAG中，根據(jù)三

角函數(shù)即可求得。4.

解：如圖所示,

在RtA/lOG中,OG=g,NAOG=30。,

???OA=OG^rcos30。=V3-^―=2；

2

故答案為2.

點睛：本題主要考查正多邊形和圓的關(guān)系.解題的關(guān)鍵在于利用正多邊形的半徑、邊心距構(gòu)造直角三角形并

利用解直角三角形的知識求解.

16.如圖，已知在正方形網(wǎng)格中，點A、B、C、。在小正方形的頂點上，線段AB與線段C。相交于點。,

那么tanZAOC—

【答案】3

【解析】

【分析】如圖，取格點E、F,連接AE、AF.BE,通過計算得到等腰三角形△A8E,利用等腰三角形的三

線合一得出ARL8E,接著推出/4OC=/ABF.在RsABF中，由勾股定理求出兩直角邊的長，再依據(jù)正

切值的意義可求解.

【詳解】解：如圖，取格點E、F,連接AE、AF,BE,可知AF經(jīng)過點C,BE經(jīng)過點F,

設(shè)網(wǎng)格中的小正方形的邊長為1,

貝ijAE=AB=742+22=275，

是3E的中點,

C.AFVBE.

由題意：ZDCB=-ZCBE=45°.

.'.CD//BE,

：.ZAOC=ZABF.

tanNAOC=tanAABF.

???BF=#+12=夜,

4尸=J32+32=30,

A77

tanZABF=-----=3.

BF

tanZAOC=3.

故答案為：3.【點睛】本題考察了網(wǎng)格中的邊和角的計算問題，涉及到了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、

三角函數(shù)等知識，要求學(xué)生能挖掘出圖中的隱含條件，構(gòu)造直角三角形，利用正切公式求出角的正切值,

本題蘊含了數(shù)形結(jié)合的思想方法.

17.如果一條直線把一個平面圖形的面積分成相等的兩部分，那么我們把這條直線叫做這個平面圖形的面積

等分線.已知在菱形ABC力中，AB=6,NB=60。，點E在邊AO上，且AE=2,過點E的面積等分線與菱

形的另一條邊交于點尸，那么線段EF的長為

【答案】2幣

【分析】過點A和點E作4G_LBC,EHLBC于點G和H,可得矩形AGHE,再根據(jù)菱形A8C￡>中，AB=6,

ZB=60°,可得BG=3,AG=3>5=EH，由題意可得，F(xiàn)H=FC-HC=2-l=\,進而根據(jù)勾股定理可得EF的

長.

【詳解】解：如圖，過點4和點E作4GLBC,EHLBC于點G和H,即得矩形AG//E,

?:在菱形A8CZ）中，A8=6,ZB=60°,

.?.BG=3,AG=30=EH，

：.HC=BC-BG-GH=6-3-2=\,

???EF平分菱形面積，E尸經(jīng)過菱形對角線交點，

：.FC=AE=2,

；.FH=FC-HC=2-l=l,

在RAEFH中,根據(jù)勾股定理，得EF=dEH2+FH?=后工1=2行，

故答案為：2幣.

【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)以及勾股定理.作出輔助

線是解答本題的關(guān)健.

18.如圖，已知在△ABC中，NC=90。，ZB=30°,AC=2,點。是邊2c的中點，點E是邊A3上一點，

將沿直線。E翻折，點B落在8處，聯(lián)結(jié)A31,如果/49。=90。，那么線段AE的長為.

【分析】分兩種情況討論，由折疊的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)可求解.

【詳解】解：在△ABC中，/C=90。，NB=30。，AC=2,

：.AB=4,BC=&AC=25

?..點。是邊8C的中點，

:.BD=CD=y/j,

?.?將△8DE沿直線QE翻折,

:.B'D=BD=6，

???點8在以點。為圓心，8。為半徑的圓上，如圖，當(dāng)點8與點C不重合時，過點E作EHLBC于"，連

接皿

AD=AD

CD=DB'

：.Rt/\ACD^Rt/\AB'D(HL),

：.ZDAC=ZDAB\

???NBQB'+N8QC=180。=ZB'AC+ZB'DC,

；?NB，AC=NBDB\\?折疊，

：.ZBDE=ZEDB\

:?/BDE=/DAC,

/.tanZDAC=tanZBDE=-=-^=—

ACDH2

，設(shè)EH=6X，DH=2X,

VZB=30°,

:.BH=6>EH=3x,BE=2&

,：BH+DH=BD=6,

5

36

：.EH=~,BE=-,

55

當(dāng)點⑶與點C重合時，ZAB'D=90°,

.?.OE是BC的垂直平分線，

DE//AC,

AECD

---=----1f

BEBD

：.AE=BE=—AB=2,

2

14

綜上所述：AE=—或2.

14

故答案為：三或2.

【點睛】本題考查了翻折變換，銳角三角函數(shù)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決

問題是本題的關(guān)鍵.

三.解答題(本大題共7題，滿分78分)

19.計算:-r5/3+^1—^2j-

【答案】5

【解析】

【分析】先根據(jù)負整數(shù)指數(shù)基的意義、完全平方公式計算和除法運算化為乘法運算，再分母有理化，然后

合并即可.

【詳解】解：原式=2忘一一LG+?一-3+6+1-2a+2

(V3-2)(V3+2)

=2/+石+2-百+1-2&+2

=5.

【點睛】本題考查了二次根式的化簡，二次根式的分母有理化，負整數(shù)指數(shù)累，完全平方公式，熟練掌握

運算的法則和運算的順序是解題的關(guān)鍵.

4x,22

20.解方程:~5——=1H----------

-9x—3x+3

【答案】x=l

【解析】

【分析】因式分解V-9=(x+3)(x-3),確定最簡公分母，化分式方程為整式方程求解

【詳解】解：方程兩邊同乘以(x+3)(x-3)得:

4x=x2-9+2(x+3)-2(x-3),

整理得：X2-4x+3=0,

解得：XI=1,超=3,

經(jīng)檢驗：々=3是原方程的增根,

所以，原方程的解為x=l.

【點睛】本題考查了分式方程的解法，通過因式分解確定最簡公分母，化成整式方程求解是解題的關(guān)鍵，

注意驗根是防止出錯的根本.

21.如圖，已知正比例函數(shù))，=履的圖象與反比例函數(shù)y=9(x>0)的圖象經(jīng)過點A(a,3),點B為x軸

x

正半軸上一點，過點B作BOLx軸，交反比例函數(shù)的圖象于點C,交正比例函數(shù)的圖象于點。.

(1)求〃、k的值；

(2)聯(lián)結(jié)AC,如果8。=6,求△ACQ的面積.

39

【答案】(1)a=2,k=—；(2)-

22

【解析】

【分析】(1)把點A(a,3)代入反比例函數(shù)關(guān)系式可求出a的值，確定點A的坐標(biāo)，進而求出正比例函數(shù)

的關(guān)系式；

(2)根據(jù)80=6,求出點B的橫坐標(biāo)，求出。8,代入求出BC,得到。C,根據(jù)三角形的面積公式進行計

算即可.

【詳解】解：(1)把點A(a,3)代入反比例函數(shù)y=9(x>0)得，3--,

xa

解得a=2,

3

...點A(2,3),代入丫="得，k=—；

3

(2)當(dāng)8￡>=6=y時，代入得，x=4,

.?.02=4,

當(dāng)x=4代入y=9得，y=—,即8c=2,

x22

39

CD=BD-BC=6--=

22

.4--2)」.

222

【點睛】本題主要考查待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的應(yīng)用；掌握掌握

三角形面積公式，根據(jù)第一問求解的結(jié)果以及BD垂直x軸，求出8C,得到。C,解答本題的關(guān)鍵.

22.如圖1一種手機平板支架，由底座、支撐板和托板構(gòu)成，手機放置在托板上，如圖2是其側(cè)面示意圖,

量得底座長A8=11cm,支撐板長BC=8cm,托板長C￡）=6cm,托板CD固定在支撐板頂端點C處，托板

C?？衫@點C旋轉(zhuǎn)，支撐板可繞點B轉(zhuǎn)動.

（1）如果NABC=60。，NBCD=70。,求點。到直線AB的距離（精確到0.1cm）；（2）在第（1）小題的條

件下，如果把線段CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)20。后，再將線段BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，使點。落在直線4B上,

求線段BC旋轉(zhuǎn)的角度.

(參考數(shù)據(jù)：sin400~0.64,cos40°?0.77,tan40°~0.84,sin370~0.60,cos37°~0.80,tan370~0.75,百Z.73)

圖1圖2

【解析】

【分析】（1）通過作垂線，構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系，求出CMCF,即可求出點。

到直線的距離;

（2）畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，結(jié)合圖形，明確圖形中的已知的邊角，再利用直角三角形的邊角關(guān)系求出相應(yīng)的

角度即可.

【詳解】解：（1）如圖，過。作。交AB于點M,過點C作于點N,垂足為M過點力

作QQJ_CN交C8于點Q,垂足為F,

在Rtz^CNB中，ZABC=60°,BC=8cm,

：.CN=CB-sin/ABC=8x在

=6.92(cm),

2

'：/BCN=90°-60°=30°,

又,：NDCB=70°,

ZDCF=70°-30°=40°,

在RtzXDC尸中，ZDCF=40°,CD=6cm,

：.CF=a>cos4036x0.77=4.62(cm),

,/NDMN=NMNF=NNFD=90°,

四邊形MN尸。是矩形,

:.DM=FN=CN-CF=692-4.62=23(an),即點。到直線AB的距離為2.3a”；

（2）把線段CO繞點C順時針旋轉(zhuǎn)20。后，NC'=70°+20°=90°,如圖,

VBC—Scrn,CD=6cm,

CD'6

：,tan41yBe-------=-=0.75,

BC'8

Vtan37°~0.75,

：.ZC'BD'=3T,

,：/ABC=60。，

AZCBC=60°-37°=23°,

答：線段BC旋轉(zhuǎn)的角度為23。.

【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，結(jié)合矩形的性質(zhì)求解是解題的關(guān)鍵.

23.已知：如圖，A8是半圓。的直徑，C是半圓上一點（不與點A、8重合），過點A作AZV/OC交半圓于

點D,E是直徑AB上一點，且AE=AO,聯(lián)結(jié)CE、CD.

（1）求證：CE=CD；

（2）如果AD=3CO,延長EC與弦4。的延長線交于點片聯(lián)結(jié)。。，求證：四邊形OCF。是菱形.

【答案】（1）見解析;（2）見解析

【分析】（1）由“SA夕可證AOACg/XEAC,可得CE=CD；

（2）先求出NAOO=/4EC=108。，可證OO〃CE,由菱形的判定可得結(jié)論.

D

【詳解】證明：(1)如圖1,連接AC,///?，牙"7\

//1/八

OEB

圖1

\'OA=OC,

：.ZOAC=ZOCAf

■:AD//OC,

：.ZDAC=ZOCAf

：.ZDAC=ZOAC,

在△QAC和△E4C中，

AD=AE

<ZDAC=ZEACf

AC=AC

AADAC^AEAC(SAS),

；?CE=CD；

(2)如圖2,連接CA,

J/A0D=3/C0D,

■:AD//OC,

：.ZADO=ZDOCf

9

：OA=ODf

：.ZOAD=ZODA,

???ZAOD+ZOAD+AADO=180°,

???5NAOO=180。，???NAQO=36°,

???NAOO=108。，ZDOC=36°,

???OD=OC,

：.ZODC=72°f

：.ZADC=108°,

VADAC^AEAC,

???ZADC=ZAEC=108°,

???/AOD=NAEC,

：.OD//CE,

XVOC//AD,

：.四邊形OCFD是平行四邊形，

又?：OD=OC,

???平行四邊形OCFO是菱形.

【點睛】本題考查了圓心角與弧的關(guān)系，平行線的性質(zhì)，三角形的全等，菱形的判定，熟練掌握圓的基本

性質(zhì)，菱形的判定是解題的關(guān)鍵.

24.如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x-5與冗軸相交于點4,與y軸相交于點8,拋物線y

=Qf+6x+c經(jīng)過A、3兩點.

(1)求這條拋物線的表達式；

(2)設(shè)拋物線與x軸的另一個交點為。，點P是拋物線上一點，點。是直線48上一點，當(dāng)四邊形3CPQ

是平行四邊形時，求點。的坐標(biāo)；

(3)在第(2)小題的條件下，聯(lián)結(jié)QC,在NQCB內(nèi)作射線與拋物線的對稱軸相交于點Q,使得NQC。

=ZABCt求線段。。的長.

5

4

3

2

1

............?【答案】(1)y=-x2+6x-5；(2)Q(3,-2)；(3)8【解析】

12345x

【分析】(1)求出A、8坐標(biāo)代入y=or2+6x+c即可得答案；

(2)求出C坐標(biāo)，設(shè)P、。坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形兩條對角線的中點重合可列方程求解；

(3)。與A8交于M由NQC￡>=NA3?？傻谩鰿QNs^BQC,求出QN及N坐標(biāo)，再求CN解析式及。

坐標(biāo)即可得出答案.

【詳解】解：（1）在y=x-5中令x=0,得y=-5,令y=0得x=5,

；.A(5,0),B(0,-5),

將A(5,0),B(0,-5)代入y=a/+6x+c得:

0=25a+30+c

-5=c

a=-l

解得《

c=-5

A拋物線的表達式為尸-x2+6x-5；

(2)在y=-》2+6x-5中令y=0得陽=1,X2—5,

r.C(1,0),

點尸是拋物線上一點，點Q是直線AB上一點,

設(shè)P(to,-ni2+6m-5),Q(n,n-5),

0+m一〃「+6〃L5）,c。的中點為（1+710+n-5

則BP的中點為（一丁-5),

22F2

???四邊形8CPQ是平行四邊形,

線段的中點即是CQ的中點,

0+m=l+n

-5-nr+6/n-5=0+n-5

m=4

解得或＜

n=0n-3

：.Q(3,-2)；

（3）設(shè)CD與AB交于N,如圖:

'：B(0,-5),C(1,0),Q(3,-2),

，CQ=2及，BQ=3叵，

：ZQCD=ZABC,NCQN=NBQC,

,ACQNsgQC,

.CQ_QN01.2V2QN

'BQ~CQ'邁-2V2

?.QN=,

3

設(shè)N(r,r-5),而Q(3,-2),

?..在NQCB內(nèi)作射線CO,

5510

NJ——),

333

設(shè)CN解析式為)=履+6,將N(g,-y),C(1,0)代入得:

一?九+〃

33

G=k+b

；.CN解析式為尸-5x+5,

令x—3得y--10,

：.Q(3,-10),：.DQ=-2-(-10)=8.

【點睛】本題考查二次函數(shù)、平行四邊形及相似三角形綜合知識，解題關(guān)鍵是設(shè)出坐標(biāo)，利用相似三角形

性質(zhì)求出QN的長度.

3

25.如圖