考點(diǎn)13數(shù)列概念及通項(xiàng)公式（核心考點(diǎn)講與練）數(shù)列的概念及簡單表示法1.數(shù)列的定義按照一定次序排列起來的一列數(shù)叫做數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).2.數(shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件項(xiàng)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系遞增數(shù)列an＋1＞an其中n∈N+遞減數(shù)列an＋1＜an常數(shù)列an＋1＝an擺動(dòng)數(shù)列從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列3.數(shù)列的表示法數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析法.4.數(shù)列的通項(xiàng)公式(1)通項(xiàng)公式：如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子an＝f(n)來表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)遞推公式：如果已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且從第二項(xiàng)(或某一項(xiàng))開始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.5.數(shù)列求和的幾種常用方法(1)分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解.(2)裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和.(3)錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可用錯(cuò)位相減法求解.(4)倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)中與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法求解.1.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，通項(xiàng)公式為an，則an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))2.數(shù)列是按一定“次序”排列的一列數(shù)，一個(gè)數(shù)列不僅與構(gòu)成它的“數(shù)”有關(guān)，而且還與這些“數(shù)”的排列順序有關(guān).3.易混項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的概念，數(shù)列的項(xiàng)是指數(shù)列中某一確定的數(shù)，而項(xiàng)數(shù)是指數(shù)列的項(xiàng)對(duì)應(yīng)的位置序號(hào).4.Sn與an關(guān)系問題的求解思路根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向兩個(gè)不同的方向轉(zhuǎn)化．①利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解；②利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解．5.由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式的常用方法(1)已知a1且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an，即an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1.(2)已知a1且＝f(n)，可用“累乘法”求an，即an＝··…···a1.(3)已知a1且an＋1＝qan＋b，則an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系數(shù)法確定)，可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列{an＋k}．(4)形如an＋1＝(A，B，C為常數(shù))的數(shù)列，可通過兩邊同時(shí)取倒數(shù)的方法構(gòu)造新數(shù)列求解．6.在利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)應(yīng)注意：(1)在把通項(xiàng)裂開后，是否恰好等于相應(yīng)的兩項(xiàng)之差；(2)要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的．7.用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意(1)要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意與的關(guān)系1.（2022湖北省新高考）已知數(shù)列的首項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，若，則__________．【答案】96【分析】由題意易得，兩式相減可得數(shù)列從第二項(xiàng)開始成等比數(shù)列，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，兩式相減得，又因?yàn)?，，得，所以?shù)列從第二項(xiàng)開始成等比數(shù)列，因此其通項(xiàng)公式為，所以，故答案為：96.由遞推公式求通項(xiàng)1.（2022河南省頂級(jí)名校9月開學(xué)聯(lián)考）若數(shù)列滿足：，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A．B．C．D．【答案】D分析】利用整體相減的方法即可計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式【詳解】由①得，當(dāng)時(shí)②由①②得當(dāng)時(shí)也滿足上式故選：D2.（2022遼寧省盤錦市高級(jí)中學(xué)9月月考）已知數(shù)列滿足，，且=+-（n≥2），則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_____________.【答案】【分析】化簡題設(shè)條件得到，得出數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，求得則，再利用疊加法，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，數(shù)列滿足（），兩側(cè)同除，可得，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，則，所以（），當(dāng)時(shí)，適合上式，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了等差數(shù)列定義及通項(xiàng)公式，以及“疊加法”的應(yīng)用，其中解答中熟記等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，合理利用“疊加法”求解是解答的關(guān)鍵.分組求和1.（2022湖北省武漢市部分學(xué)校9月質(zhì)量檢測）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的表達(dá)式.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用分組求和法以及等差數(shù)列的前和公式即可求出結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，因此，所以，經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)成立，所以；（2），所以2.（2022安徽省江淮十校高三上學(xué)期第一次聯(lián)考）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，（t為常數(shù)）．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為．【答案】（1）；（2）．【分析】(1)令,解得:,再由,即可求出,(2)根據(jù)(1)的結(jié)論,再利用并項(xiàng)求和,即可求解.【詳解】解：（1）令，，可得，所以時(shí)，，可得所以（），又因?yàn)闈M足上式，所以（2）因?yàn)樗粤秧?xiàng)相消法求和1.（2022河南省部分名校高三上學(xué)期8月份摸底）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)數(shù)列與的關(guān)系，消去，即可證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，知，再利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】解：（1）由，得，①于是得，②②-①得，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）知，所以，所以，所以.錯(cuò)位相減求和1.（2021高三數(shù)學(xué)沖刺原創(chuàng)卷）已知是首項(xiàng)為1的單調(diào)遞增的等差數(shù)列，其中，，成等比數(shù)列．的前項(xiàng)和為，且，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)；(2).【分析】(1)根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)及已知條件，求出等差數(shù)列的公差，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；(2)根據(jù)數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法及等比數(shù)列的求和公式即可求解．【詳解】(1)因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為1的單調(diào)遞增的等差數(shù)列，所以，設(shè)數(shù)列的公差為且，則，，．因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，即，解得或（舍負(fù)），所以．(2)因?yàn)椋偎?，②由?②得，所以．因?yàn)?，，所以是從第二?xiàng)開始的等比數(shù)列，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為bn由（Ⅰ）知a則，③，④③-④得，所以．2.（2022河南省頂級(jí)名校高三上學(xué)期9月聯(lián)考）已知數(shù)列、滿足：且，．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足：，其中，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．【答案】（1）；；（2）．【分析】（1）由遞推關(guān)系可構(gòu)造等比數(shù)列，即可求出，代入化簡即可得；（2）由（1）可得，利用錯(cuò)位相減法求解即可.【詳解】（1）由，令，得，是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．，即．．（2）由題意知，①②①-②得，，．1.（2020年新課標(biāo)Ⅰ）數(shù)列滿足，前16項(xiàng)和為540，則______________.【答案】【分析】對(duì)為奇偶數(shù)分類討論，分別得出奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)的遞推關(guān)系，由奇數(shù)項(xiàng)遞推公式將奇數(shù)項(xiàng)用表示，由偶數(shù)項(xiàng)遞推公式得出偶數(shù)項(xiàng)的和，建立方程，求解即可得出結(jié)論.【詳解】，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，以及數(shù)列的并項(xiàng)求和，考查分類討論思想和數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于較難題.2.（2020年新課標(biāo)Ⅰ）設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項(xiàng)．（1）求的公比；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知結(jié)合等差中項(xiàng)關(guān)系，建立公比的方程，求解即可得出結(jié)論；（2）由（1）結(jié)合條件得出的通項(xiàng)，根據(jù)的通項(xiàng)公式特征，用錯(cuò)位相減法，即可求出結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)的公比為，為的等差中項(xiàng)，，；（2）設(shè)的前項(xiàng)和為，，，①，②①②得，，.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算、等差中項(xiàng)的性質(zhì)，以及錯(cuò)位相減法求和，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.3.（2021年全國高考乙卷）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;（2）求的通項(xiàng)公式．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由已知得,且，取,得,由題意得,消積得到項(xiàng)的遞推關(guān)系,進(jìn)而證明數(shù)列是等差數(shù)列;（2）由（1）可得的表達(dá)式,由此得到的表達(dá)式,然后利用和與項(xiàng)的關(guān)系求得.【詳解】（1）[方法一]：由已知得,且，,取,由得,由于為數(shù)列的前n項(xiàng)積，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差等差數(shù)列;[方法二]【最優(yōu)解】：由已知條件知①于是．②由①②得．③又，④由③④得．令，由，得．所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．[方法三]：由，得，且，，．又因?yàn)椋?，所以．在中，?dāng)時(shí)，．故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．[方法四]：數(shù)學(xué)歸納法由已知，得，，，，猜想數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，且．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．當(dāng)時(shí)顯然成立．假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，即．那么當(dāng)時(shí)，．綜上，猜想對(duì)任意的都成立．即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）可得，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，,,當(dāng)n=1時(shí)，,當(dāng)n≥2時(shí),,顯然對(duì)于n=1不成立,∴.【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一從得，然后利用的定義，得到數(shù)列的遞推關(guān)系，進(jìn)而替換相除消項(xiàng)得到相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系，從而證得結(jié)論；方法二先從的定義，替換相除得到，再結(jié)合得到，從而證得結(jié)論，為最優(yōu)解；方法三由，得，由的定義得，進(jìn)而作差證得結(jié)論；方法四利用歸納猜想得到數(shù)列，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證得結(jié)論．（2）由（1）的結(jié)論得到，求得的表達(dá)式,然后利用和與項(xiàng)的關(guān)系求得的通項(xiàng)公式；一、單選題1．（2022·浙江嘉興·二模）已知數(shù)列滿足，，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先判斷出，通過放縮得到，再通過分析法證得，結(jié)合裂項(xiàng)相消即可證得，又由證得即可.【詳解】當(dāng)，時(shí)，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，且，下證，即證，即證，即證，即證，即證令，即證，當(dāng)，時(shí)，不等式恒成立.因此，，所以，又因?yàn)?，故選：D.【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于分析法的應(yīng)用，通過分析法證得，又由放縮得到，進(jìn)而通過裂項(xiàng)相消證得，最后由證得即可.2．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，則當(dāng)取得最大值時(shí)的值為（

）A．2020 B．2024 C．2022 D．2023【答案】A【分析】利用作商法可得，討論n的取值判斷與1的大小關(guān)系，即可得最大時(shí)的值.【詳解】∵，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴根據(jù)選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，取得最大值.故選：A．二、多選題3．（2022·湖北·黃岡中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)于恒成立，若定義，，則以下說法正確的是（

）A．是等差數(shù)列 B．C． D．存在使得【答案】BC【分析】利用退位相減法可得數(shù)列的通項(xiàng)及即可判斷A選項(xiàng)，按照給出的定義求出即可判斷B選項(xiàng)，數(shù)學(xué)歸納法和累加法即可判斷C、D選項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由，得，故，即，所以數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比，故，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；則，所以，，B選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，由可得，則，，，，，將上式相加可得，又，則，故，即時(shí)也成立，故，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，由知不成立，當(dāng)時(shí)，由C選項(xiàng)知：，則，，，，，上式相加得，又由上知，，則，可得，又由可得，，即，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：BC.【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵在于C、D選項(xiàng)的判斷，C選項(xiàng)通過數(shù)學(xué)歸納法和累加法以及組合數(shù)的性質(zhì)即可求解；D選項(xiàng)借助C選項(xiàng)的結(jié)論，通過累加法以及組合數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.三、填空題4．（2022·遼寧葫蘆島·一模）已知數(shù)列，，對(duì)于任意正整數(shù)m，n，都滿足，則______．【答案】【分析】令,得，用累加法求出，由此利用裂項(xiàng)相消求和求出的值.【詳解】令，得，所以，則，，……，，，所以當(dāng)時(shí)，，又滿足上式，所以所以，.故答案為：.5．（2022·江西景德鎮(zhèn)·三模（理））已知數(shù)列和正項(xiàng)數(shù)列，其中，且滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，記，滿足．對(duì)于某個(gè)給定或的值，則下列結(jié)論中：①；②；③若，則數(shù)列單調(diào)遞增；④若，則數(shù)列從第二項(xiàng)起單調(diào)遞增．其中正確命題的序號(hào)為______．【答案】①②③【分析】求得的范圍判斷①；求得的值判斷②；判定出數(shù)列單調(diào)性判斷③；由數(shù)列第三項(xiàng)小于第二項(xiàng)否定④.【詳解】由，可知，則，又則，解之得.則①判斷正確；由，可得，則，則又由，可知，則則由，則或（舍）則或（舍）.則②判斷正確；由，可知，則若，則，又，則，則，則由，可得，則又，則數(shù)列單調(diào)遞增.則③判斷正確；由，可得由，，則當(dāng)時(shí)，，即數(shù)列的第三項(xiàng)小于第二項(xiàng).則數(shù)列從第二項(xiàng)起單調(diào)遞增的說法判斷錯(cuò)誤.故答案為：①②③四、解答題6．（2022·重慶八中模擬預(yù)測）已知是公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列，數(shù)列化的前2n項(xiàng)和為，若，求正整數(shù)n的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為.由題意，列方程組求，即求通項(xiàng)公式；（2）求得，由裂項(xiàng)相消法求，解不等式可得的最小值.(1)公差不為零的等差數(shù)列，由，，解得.又，可得，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)和公差的等差數(shù)列，所以.(2)解：由（1）可知，，，所以的最小值為505.7．（2022·福建·模擬預(yù)測）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)，作差得到，即可得到是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，從而得到通項(xiàng)公式；（2）首先求出的通項(xiàng)公式，即可得到，利用錯(cuò)位相減法求和即可；(1)解：因?yàn)椋?，兩式相減，可得，整理得，∵時(shí)，，∴，所以公比，即數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以；(2)解：易知，，所以公差，所以，所以，因?yàn)?，則，兩式相減可得.即8．（2022·江蘇·海安高級(jí)中學(xué)二模）已知數(shù)列前n項(xiàng)積為，且．(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)設(shè)，求證：．【分析】（1）由已知得，，兩式相除整理得，從而可證得結(jié)論，（2）由（1）可得，再利用累乘法求，從而，然后利用放縮法可證得結(jié)論(1)因?yàn)?，所以，所以，兩式相除，得，整理為，再整理得，．所以?shù)列為以2為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列．(2)因?yàn)?，所以，由?）知，，故，所以．所以．又因?yàn)?，所以?．（2022·廣東廣州·二模）問題：已知，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，是否存在數(shù)列，滿足，__________﹖若存在．求通項(xiàng)公式﹔若