第27講圓錐曲線上四點共圓問題問題綜述四點共圓問題本屬于平面幾何內(nèi)容，是數(shù)學(xué)競賽中的高頻考點，近年來，圓錐曲線中的四點共圓問題也頻繁出現(xiàn)在高考試題中.這類試題將圓錐曲線與四點共圓有機地結(jié)合在一起，重點考查數(shù)學(xué)運算能力和推理論證能力，由于問題綜合性強，運算量打，大多考生望而生畏，或者在計算時半途而廢.解決四點共圓問題，主要涉及的知識有（1）由圓的定義，利用圓心到圓上各點的距離相等;(2)利用相交弦定理（3）利用圓的弦心距，半弦長和和半徑構(gòu)成直角三角形（4）利用直徑所對的圓周角為直角，既可以用勾股定理，也可以用斜率方法。當(dāng)然，如果利用曲線系方程或者參數(shù)方程，則可減少計算量，甚至起到事半功倍的效果.下面先用曲線系方程給出圓錐曲線上四點共圓的一個充要條件的統(tǒng)一證明：圓錐曲線上四點共圓定理1：若兩條直線與圓錐曲線有四個交點，則四個交點共圓的充要條件是證明：兩直線組成的曲線方程為，則過四個交點的曲線方程可設(shè)為=1\*GB3①必要性：若四點共圓，則方程=1\*GB3①表示圓，那么=1\*GB3①式左邊展開式中項的系數(shù)為零，即有.充分性：當(dāng)時，令=1\*GB3①式左邊展開式中項的系數(shù)相等，得，聯(lián)立解得，，將其代入=1\*GB3①式，整理得=2\*GB3②下面參數(shù)方程給出圓錐曲線上四點共圓的另一個充要條件的統(tǒng)一證明：圓錐曲線上四點共圓定理2：若為有心圓錐曲線上四個不同的點，且直線與交于點，與的傾斜角分別為，則四點共圓的充要條件是證明：設(shè)，則直線參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入整理得則，同理得因為四點共圓的充要條件是所以即因為，所以，又，所以而直線與相交，所以，由得綜上所述，四點共圓的充要條件是，當(dāng)直線與斜率均存在時，即直線與斜率互為相反數(shù).利用上述定理，則在選填中可以“秒殺”圓錐曲線上四點共圓的高考難題.下面不加證明地給出以下結(jié)論：結(jié)論1已知拋物線的焦點為點，過點的直線與相交于兩點，若的垂直平分線與相交于兩點，則四點在同一圓上，則的方程為或結(jié)論2若是標(biāo)準(zhǔn)圓錐曲線上的兩點，線段的垂直平分線與該圓錐曲線相交于兩點，則兩點，則四點共圓的充要條件是或結(jié)論3若是標(biāo)準(zhǔn)圓錐曲線上的順次四點，則四點共圓的充要條件是四邊形的兩組對邊、兩條對角線所在的三對直線中直線中一對直線的傾斜角互補.二、典例精析例1.（2014全國大綱卷文數(shù)22理數(shù)21）已知拋物線的焦點為，直線與軸的交點為，與的交點為，且.(1)求拋物線的方程；(2)過的直線與相交于，兩點，若的垂直平分線與相交于，兩點，且四點在同一個圓上，求直線的方程.解析：（1）設(shè)，代入中得，所以，，由題設(shè)得，解得（舍去）或所以的方程為.（2）解法一：通法依題意知直線與坐標(biāo)軸不垂直，故可設(shè)直線的方程為，代入中得.設(shè)，，則，.故的中點為，又的斜率為，且過的中點為，故直線的方程為：，將上式代入中，并整理得設(shè)，則，故的中點為，.由于垂直平分，故四點在同一個圓上等價于,從而，即化簡得，解得或，所以所求直線的方程為或.解法二：曲線系方程設(shè)點，，直線與的交點為，則，兩式相減整理得，即，從而直線的方程為，直線的方程為，從而過四點的曲線系方程為上述方程表示圓，則，的系數(shù)相等且的系數(shù)為零則，得，，所求直線的方程為或.解法三：參數(shù)方程設(shè)點，直線的傾斜角為，則直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）代入拋物線方程，整理得設(shè)兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為，則由于是的垂直平分線，則的傾斜角為，則點對稱的參數(shù)分別為，則因為四點共圓，所以由相交弦定理得，即解得，所以的方程為即直線的方程為或.【方法感悟】解法一中，的中點就是四點所在圓的圓心，故可將四點共圓的條件轉(zhuǎn)化為圓心到四點的距離相等，從而得到，進而把問題轉(zhuǎn)化為先求線段的中點、線段的中點的坐標(biāo)以及和，這是解析幾何中的常規(guī)問題，通常是聯(lián)立方程組后結(jié)合韋達定理來處理，但計算量較大.解法二利用曲線系，使得計算量大大地簡化.利用曲線系方程解決四點共圓問題的步驟如下：=1\*GB3①找出兩條直線，則兩條直線上的四個點在某條曲線上.=2\*GB3②找出過這四個點的曲線構(gòu)造等式,=3\*GB3③通過已知條件對比某些項的系數(shù)，從而求解出未知數(shù).解法三利用參數(shù)方程，并結(jié)合相交弦定理，讓人耳目一新.例2（武漢市2016屆高中畢業(yè)生二月調(diào)研測試?yán)頂?shù)12題）設(shè)直線與橢圓交于兩點，過點的圓與交于另外兩點，則直線的斜率等于（）B.C.D.解析：由定理知，故選B.例3（2016四川文數(shù)21）已知橢圓：的一個焦點與短軸的兩個端點是正三角形的三個頂點，點在橢圓上.(Ⅰ)求橢圓的方程；(Ⅱ)設(shè)不過原點且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點，，線段的中點為，直線與橢圓交于，，證明：．解析：（=1\*ROMANI）由已知，，又橢圓過點，故，解得.所以橢圓E的方程是.(Ⅱ)解法一：常規(guī)方法設(shè)直線的方程為，，由方程組聯(lián)立得=1\*GB3①方程=1\*GB3①的判別式為，由，即，解得由=1\*GB3①得，所以點坐標(biāo)為，直線方程為由方程組解得，所以.又.所以.解法二：同解法一，求出直線方程為則易知直線的斜率互為相反數(shù)，由定理知四點共圓，再由相交弦定理得【方法感悟】（Ⅰ）由橢圓兩個焦點與短軸的一個端點是正三角形的三個頂點可得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中可減少一個參數(shù)，再利用在橢圓上，可解出b的值，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）解法一：首先設(shè)出直線方程為，同時設(shè)交點，把方程與橢圓方程聯(lián)立后消去得的二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系，得，由求得（用表示），由方程具體地得出坐標(biāo)，也可計算出，從而證得相等．解法二：利用圓錐曲線上四點共圓的充要條件，求出方程后，知直線的斜率互為相反數(shù)，于是四點共圓，再由相交弦定理得，這樣減少了計算量。例4.(2011全國大綱卷理21)已知為坐標(biāo)原點，為橢圓：在軸正半軸上的焦點，過且斜率為的直線與交與、兩點，點滿足.(I)證明：點在上；(II)設(shè)點關(guān)于點的對稱點為，證明：、、、四點在同一圓上.【解析】(I),的方程為,代入并化簡得.設(shè),則由題意得所以點的坐標(biāo)為.經(jīng)驗證點的坐標(biāo)滿足方程,故點在橢圓上(II)解法一：由和題設(shè)知，，的垂直平分線的方程為.=1\*GB3①設(shè)的中點為,則,的垂直平分線的方程為.=2\*GB3②由=1\*GB3①、=2\*GB3②得、的交點為.,,,,,故,又,,所以,由此知、、、四點在以為圓心,為半徑的圓上.（II）解法二：同理所以互補，因此、、、四點在同一圓上.解法三:由(I）知道，因為三點共線，易求得直線的方程為，又直線的方程為，兩直線斜率互為相反數(shù)，由定理知、、、四點在同一圓上.【方法感悟】本題涉及到平面向量，有一定的綜合性和計算量，完成有難度.方程聯(lián)立利用韋達定理是解決這類問題的基本思路，注意把用坐標(biāo)表示后求出P點的坐標(biāo)，然后再結(jié)合直線方程把P點的縱坐標(biāo)也用、兩點的橫坐標(biāo)表示出來.從而求出點P的坐標(biāo)代入橢圓方程驗證即可證明點在上；(II)此問題證明有兩種思路：思路一：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)圓心一定在弦的垂直平分線上，所以根據(jù)兩條弦的垂直平分線的交點找出圓心，然后證明到四個點、、、的距離相等即可.思路二：關(guān)鍵是證明互補.通過證明這兩個角的正切值互補即可，再求正切值時要注意利用到角公式.思路三：運用關(guān)于圓錐曲線上四點共圓的充要條件的定理.鞏固練習(xí)（2018屆武昌5月調(diào)研理數(shù)12）已知過橢圓的左焦點的直線與橢圓交于兩點，線段的垂直平分線交橢圓于兩點，若，則直線的斜率為()或B.或C.或D.或解析：依題意得A、B、C、D四點共圓，則，即解得，故選B.2.設(shè)直線與拋物線交于兩點，過的圓與拋物線交于另外兩點，則直線的斜率解析：依題意得A、B、C、D四點共圓，則，即3（2002年高考廣東、廣西、江蘇、河南卷理科第20題）設(shè)是雙曲線上的兩點，點是線段的中點.求直線的方程；如果線段的垂直平分線與雙曲線相交于點兩點，那么在同一個圓上，為什么?解析：（1）由點差法知直線的方程為（2）因為直線的方程為，則線段的垂直平分線的斜率為，兩直線斜率互為相