§3空間向量基本定理及空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示3.1空間向量基本定理必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.已知a,b,c是不共面的三個(gè)向量,則能構(gòu)成空間的一組基的向量是()A.3a,a-b,a+2b B.2b,b-2a,b+2aC.a,2b,b-cD.cD,a+c,a-c2.O,A,B,C為空間四點(diǎn),且向量OA,OB,OC不能構(gòu)成空間的一組基,A.OA,OB,OC共線C.OB,OC共線D.OD,A,B,3.設(shè)OABC是四面體,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一點(diǎn),且OG=3GG1,若OG=xOA+yOB+zOC,則2x+4y+2z=.?4.若a=e1+e2,b=e2+e3,c=e1+e3,d=e1+2e2+3e3,若e1,e2,e3不共面,當(dāng)d=αa+βb+γc時(shí),α+β+γ=.?5.如圖所示,已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1,設(shè)AB=a,AD=b,AA1=c,P是CA1的中點(diǎn),M是CD1的中點(diǎn).用一組基{a,b,c}(1)AP;(2)AM.關(guān)鍵能力提升練6.給出下列命題:①若{a,b,c}可以作為空間的一組基,d與c共線,d≠0,則{a,b,d}也可作為空間的一組基;②已知向量a∥b,則a,b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一組基;③A,B,M,N是空間四點(diǎn),若BA,BM,BN不能構(gòu)成空間的一組基,那么A,B,M,N共面;④已知{a,b,c}是空間的一組基,若m=a+c,則{a,b,m}也是空間的一組基.A.1 B.2 C.3 D.47.如圖,在三棱錐O-ABC中,點(diǎn)D是棱AC的中點(diǎn),若OA=a,OB=b,OC=c,則BD等于()A.a-b12+1B.a+b-cC.a-b+cD.-a12+b-18.(多選題)已知{a,b,c}是空間的一組基,下列向量中,可以與2a-b,a+b構(gòu)成空間的一組基的向量是()A.2aB.-bBC.cCD.aD+c9.從空間一點(diǎn)P引出三條射線PA,PB,PC,在PA,PB,PC上分別取PQ=a,PR=b,PS=c,點(diǎn)G在PQ上,且PG=2GQ,H為RS的中點(diǎn),則GH=.(用a,b,c表示)?10.平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,向量AB,AD,AA1兩兩的夾角均為60°,且|AB|=1,|AD|=2,|AA1|=3,11.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,已知E,F,G,H分別是CC1,BC,CD和A1C1的中點(diǎn).證明:(1)AB1∥GE,AB1⊥EH;(2)A1G⊥平面EFD.學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練12.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BB1,D1B1的中點(diǎn),求證:EF⊥平面B1AC.答案：1.C2.D由OA,OB,OC不能構(gòu)成空間的一組基,知OA,OB,OC三向量共面,所以O(shè)3.2如圖,由已知OG==34OA=34∴x=y=z=14,∴2x+4y+2z=24.35.解在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,連接AC,AD1(圖略).(1)AP==12=12(a+b+c)=12a+12b+(2)AM=12(AC+AD1)=12(AB+6.D根據(jù)空間中任意三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間的一組基,顯然②正確.③中由BA,BM,BN共面且過相同點(diǎn)B,故A,B,M下面證明①④正確.①假設(shè)d與a,b共面,則存在實(shí)數(shù)λ,μ,使d=λa+μb,∵d與c共線,c≠0,∴存在實(shí)數(shù)k,使d=kc,∵d≠0,∴k≠0,從而c=λka+μk∴c與a,b共面,與條件矛盾.∴d與a,b不共面.同理可證④也是正確的.7.A8.CD9.-a23+12b+12cGH=GQ+QH=GQ+QP10.511.證明(1)設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,AB=i,AD=j,AA1=k則{i,j,k}構(gòu)成空間的一組單位正交基.AB1=AB+GE=GC+CE=12∴AB1∥GE.EH=EC1+C1H=12k+-12(i+j)=-12i-12j+12k,∵AB1·EH=(i+k)·-(2)A1G=A1A+AD+DG=-k+j+12i,DF=DC+CF=i-12j,DE=DC+CE=i∴A1G⊥DF.A1G·DE=-k+j+12i·∴A1G⊥DE.又DE∩DF=D,∴A1G⊥平面EFD.12.證明設(shè)AB=a,AD=c,AA1=b,有a·b=0,a·c=0,b·c=0,則EF=EB1