2022屆重慶市第八中學(xué)校高三下學(xué)期適應(yīng)性強化練習(三)

數(shù)學(xué)試題

一、單選題

i.已知復(fù)數(shù)z=2二三，則Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()

1+21

A.虛軸上B.實軸上C.第一象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法和乘法運算，先化簡z,再由復(fù)數(shù)的幾何意義即可得出答案.

【詳解】-=(20(12)=2予2_"所以z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(0,-1),

1+2155

位于虛軸上.

故選：A.

2.設(shè)集合4=卜上(*-1)<0,*€1{},fi={x|x<2,xeR},則他A)c8=()

A.0B.[1,2]C.(T?,0]D.(-w,0]U[l,2]

【答案】D

【分析】根據(jù)集合的交集與補集運算法則求解即可.

【詳解】由條件，A=付x(x-l)<O,xeR}=(O,l),

(^T4)=(-OO,0]U[1,+OO),又：B=1x|x<2,xeR|

因此觸A)C3=(F,0]31，2].

故選：D

3.已知6,馬分別為橢圓<7:；+：/=1的兩個焦點，P為橢圓上一點，則|P用-|尸閭的

最大值為()

A.2B.243C.4D.4石

【答案】B

【分析】橢圓上的點尸滿足歸用-歸國4耳用，找到取等時點P位置即可求出最大值.

【詳解】橢圓上的點P滿足|P1—|P居區(qū)山聞,

當點P為F?F1的延長線與C的交點時，

1mHp圖達到最大值，最大值為田周=26.

故選：B

4.1的展開式中常數(shù)項為（）

5_

A.~B.1C.—D.

222

【答案】D

【分析】先求得卜+（）的展開式的通項，再令6-2&=0,代入即可得出答案.

【詳解】1+卷］的展開式的通項為:

k=3.所以「+-L1的展開式中常數(shù)項為n=q=*.

<2xJ232

故選：D.

5.若｛2瓦可構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量也可以構(gòu)成空間中的一個基底的是

（）

A.la+h,b+c,c+a^jB.^a-b,h-c,c-a^

C.la+h,c,a+h+c\D.^a-h+c,a+h-c,3a-i>+c^

【答案】A

【分析】由空間向量基底的定義即可得出答案.

【詳解】選項A：令5+萬=/1k+5）+〃0+外，則2,A正確；

選項B：因為3-萬=一（4一5）-（6-3,所以萬｝不能構(gòu)成基底；

選項C：因為&+5+c=（6+5）+程所以｛1+5,a萬+6+W不能構(gòu)成基底；

選項D：因為3a-b+d=2（a-5+c）+（萬+5—^）,所以-己3a-6+不｝不

能構(gòu)成基底.

故選：A.

6.對一個物理量做及次測量，并以測量結(jié)果的平均值作為該物理量的最后結(jié)果.已知

最后結(jié)果的誤差￡~%（0,￡）.為使誤差￡在（-010.1）的概率不小于0.9545,至少要測

量的次數(shù)為（）（參考數(shù)據(jù)：若X~N（4，〃），則P（〃-2b〈XK〃+2b）=0.9545.）

A.100B.200C.400D.800

【答案】C

【分析】根據(jù)3b原則可知僅-2s〃+2b)a(-0.1,0.1),可得出0.122J，解出"的取

值范圍，即可得解.

【詳解】根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性，知要使誤差￡在(-0.1,0.1)的概率不小于0.9545,則

(//—2cr,//+2cr)c(—0.1,0.1),又〃=0,(y=^^,所以〃+2cr=2^^,由題，0.1±,

解得〃2400,至少要測量的次數(shù)為400次.

故選：C.

TT

7.已知”=2-",b=lge,c=2siny,則()

A.a<b<cB.h<a<cC.a<c<bD.c<a<b

【答案】B

【分析】由指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知?！?lgee(0,；),又因

為c=2sin工>2sin^=l,即可得出結(jié)論.

56

【詳解】因為0vln2<l,所以。=2.24；」｝

因為l<e<VI3,所以b=/ge￡(。，/);

JI冗

c=2sin—>2sin—=1,i^b<a<c.

56

故選：B.

8.已知函數(shù)y=/(x-l)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x)在(f,-1)單調(diào)遞減，〃0)=0,

則/(x)/(2x+l)<0的解集為()

A.(-OO,-2)U(0,4W)B.(-2,0)

【答案】C

【分析】先判斷出y=〃x)的圖象關(guān)于直線》=-1對稱，及在(-8,-1)單調(diào)遞減，

上單調(diào)遞增，利用單調(diào)性直接解不等式即可.

【詳解】因為函數(shù)y=.f(x-1)是定義在R上的偶函數(shù)，所以y=/(x)的圖象關(guān)于直線

x=-i對稱.因為在(7,-1)上單調(diào)遞減，所以在(-1,+00)上單調(diào)遞增.

因為"0)=0,所以/(-2)=f(O)=O.

所以當xe(—,-2)5。,”)時，/(x)>0；當x?-2,0)時,/(x)<0.

由〃“(2叫<。，得匕!1鬻0或葭濡K)O解得

42,一!卜卜則.

故選：C

二、多選題

9.有一組樣本數(shù)據(jù)玉，巧，…，/，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)X，為，…，人，

其中)=%+c(i=l,2,…㈤,c為非零常數(shù)，則()

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標準差相同

D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

【答案】CD

【分析】A、C利用兩組數(shù)據(jù)的線性關(guān)系有E(y)=E(x)+c、D(y)=D(x),即可判斷正

誤；根據(jù)中位數(shù)、極差的定義，結(jié)合已知線性關(guān)系可判斷B、D的正誤.

【詳解】A：E(y)=E(x+c)=E(x)+c?且c*0,故平均數(shù)不相同，錯誤；

B：若第一組中位數(shù)為X,,則第二組的中位數(shù)為必=x,+c,顯然不相同，錯誤；

C：D(y)=D(x)+D(c)=D(x),故方差相同,正確；

D：由極差的定義知：若第一組的極差為/M，則第二組的極差為

+

)'m1K->min=。皿。)一(/in+。)=4儂一丁”，故極差相同，正確；

故選：CD

10.攢尖是中國傳統(tǒng)建筑表現(xiàn)手法，是雙坡屋頂形式之一，多用于面積不大的建筑，如

塔、亭、閣等，常用于圓形、方形、六角形、八角形等平面的建筑物上，形成圓攢尖和

多邊形攢尖.以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐，

已知此正四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角為30。，側(cè)棱長為2五米，則該正四棱錐的

()

BC

A-底面邊長為4米B.側(cè)棱與底面所成角的正弦值為?

C.側(cè)面積為64道平方米D.體積為32立方米

【答案】BD

【分析】根據(jù)已知條件及正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，求底面邊長、體高，再應(yīng)用棱錐的體積、

表面積公式求表面積和體積.

【詳解】如圖，在正四棱錐P-ABCD中，0為底面4BC。的中心，E為CO的中點，

PE±CDt

設(shè)底面邊長為2小正四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角為3",

所以NPEO=30。，則OE=a,OP=Ba,PE=^-a,

33

PE2+CE1PC2，即#+a)=28,可得a=2S

底面邊長為46米，A錯誤；

側(cè)棱與底面所成角的正弦值為"=—==立，B正確；

CP7287

側(cè)面積=LXPEX8X4=32K,C錯誤；

2

體積V=gxPOxABJ32,D正確.

故選：BD

11.已知點A（a,。），直線/：ax+/?y+c=O,圓0:V+y2=],圓CiV+y'c?.下列命

題中的真命題是（）

A.若/與圓C相切，則A在圓。上B.若/與圓。相切，則A在圓C上

C.若/與圓C相離，則A在圓。外D.若/與圓0相交，則4在圓C外

【答案】ABD

【分析】利用直線與圓的位置關(guān)系及點到直線距離公式，得到方程或不等式，判斷出點

與圓的位置關(guān)系.

|l

【詳解】選項A：若/與圓C相切，則/c?,二卜|，cr+b2=\,所以4在圓。上，A

-1ai_n

正確;

Icl

選項B：若/與圓O相切，則-H」-二l，a1+b1=c2,所以A在圓C上，B正確;

yla2+b2

|c|

選項C：若/與圓C相禺，則/2y>卜|,a2+b~<I>所以A在圓。內(nèi)，C錯誤:

Icl

選項D：若/與圓O相交，則「——q<],a2+b2>c2）所以A在圓C外，D正確.

yla2+b2

故選：ABD

12.數(shù)列｛4｝滿足q=l,am=〃％）,"N..定義函數(shù)y=/（x）是數(shù)列｛%｝的特征

函數(shù)，則下列說法正確的是（）

A.當時，數(shù)列｛%｝單調(diào)遞增

B.當/（x）=2x+l時，an=2"-l

C.當〃x）=一時，-<a?<2（n>2）

D.當方程=x有唯一解時，對任意的￡>0,存在%eN,使得<￡（〃>%）

【答案】BC

【分析】A：根據(jù)題意，代入戶見，根據(jù)數(shù)列單調(diào)性即可判斷；B：將x=a“代入，得

到｛4｝的遞推公式，構(gòu)造等比數(shù)歹U｛4+1｝即可求｛%｝通項公式；C：將戶4,可得

13

4向=1+一,使用數(shù)學(xué)歸納法即可證明；4%42（心2）；D：舉特例，如〃x）=e'-l驗

2

算即可判斷.

【詳解】對于A：當f（x）<x時，??+|=/（??）<??,故數(shù)列｛叫單調(diào)遞減，故A錯誤;

對于B：當〃x）=2x+l時，%；=/■⑷=2%+1,則。,川+1=2（q+1）,

故數(shù)列,+1｝是以2為公比，q+l=2為首項的等比數(shù)列，

：.a?=2"-\,故B正確；

對于C：當八?=山時，則/=f（a“）="Ll+」~,

X"〃4

13「3一

當片2時，/=1+/=耳￡2,2；

假設(shè)當〃=%卜￡汗#..3）時，|<a,?2,

則當〃=Z+1時，4+1=1+一,<不效J--,/.ak+leKq',2.

3

綜上，-<^<2（n>2）,故C正確；

對于D：MX/（x）=ev-l,易知尸;為產(chǎn)於）在產(chǎn)0處切線，此時方程/（x）=x有唯一解,

a

a?+l=/（??）=e?-l,則-4|=卜冊-1-aJ,根據(jù)指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)增長速度的

快慢可知，隨著，的增大，”與a“差值越來越大，即何用-可|越來越大，故D錯誤.

故選：BC.

三、填空題

13.已知雙曲線工-4=1的離心率為邁，則〃=______.

6b22

【答案】3

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合離心率計算公式求解作答.

【詳解】...雙曲線=1的離心率為亞，

6b22

則有忙11=也,解得從=3.

V62

故答案為：3.

14.若函數(shù)丁=??5在（一丑）單調(diào)遞增，在（0,空單調(diào)遞減，則實數(shù)”的取值范圍

是.

【答案】-34。<0或（X&>43

［分析］由余弦型函數(shù)性質(zhì)及最小正周期的公式計算即可得出結(jié)果.

【詳解】???函數(shù)尸煙⑺在［割單調(diào)遞增，在（0目單調(diào)遞減，

T乃、乃

設(shè)則函數(shù)的最小正周期的為T,則］=畫2§,即13K3.

解得：-34<w<0或0<<y43.

故答案為：-3Mty<0或（X0M3

15.在菱形A8C。中，AB=2,ZBAD=6O°,BD與AC交于點O,點E,F分別是線段

AO,CO的中點，則布.荷=.

7

【答案】-二-1.75

【分析】以。為原點，AC、BD所在直線分別為x、y軸，建立如圖所示的平面直角坐

標系，求出點的坐標，利用坐標法求出平面向量數(shù)量積；

【詳解】解：以。為原點，AC,8。所在直線分別為x、y軸，建立如圖所示的平面直

角坐標系，

因為AB=2,Zfi4￡>=60°,所以08=1,OA=VL

則8(0,1),A(-^,0),0(0,-1),C(V3,0),E一冬0,F奈一g

\7\

所以屁=,等,-1,AF=，

16.己知曲線y=e山在x=毛（不中0）處的切線分別與x軸，y軸相交于點A,B.。為坐

標原點，則AAOB面積的最大值為.

2

【答案】~

e

【分析】由題意求出y=e'在x=x。處的切線方程為y-e"=e"x—%）,分別令工=0,

y=0得至UAB的坐標，△AOB的面積S=(l-xj,令S(x)=^e'(l-.r)2,再對S(x)

求導(dǎo),即可得出S(x)的單調(diào)性，即可得出△A08面積的最大值.

【詳解】因為丫=1兇是偶函數(shù)，所以只需考查當/<0時的情形.

此時y=e"在x=不處的切線方程為y-e*=e*(X-與)，從而A&-1,0),

B(0,e"(1—及))，△AOB的面積S=；e'。(1_/『.

令S(x)=ge，(l-x)2,x<0,則“x)=geXx—l)(x+l),所以S(x)在(口,一1)單調(diào)遞

增，在(-1,0)單調(diào)遞減，故當與=-1時，AAOB面積有最大值上.

e

__2

故答案為：一.

e

四、解答題

17.已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為5“，且滿足q=l,S,T=2S.+1,?eN+.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)令b“=log,a3?，記｛%｝中所有的項構(gòu)成的集合為A,｛，｝中所有的項構(gòu)成的集合為B,

將AU8中的所有元素從小到大依次排列得到數(shù)列｛g｝,求｛%｝的前50項的和.

【答案】⑴"“=2小

(2)3282

(分析］(1)利用5?+1=2S?+1,遞推一項兩式相減可得“川=2an,即可得出｛%｝是以

4=1為首項，2為公比的等比數(shù)列，即可求出數(shù)列｛4｝的通項公式.

(2)將｛4｝與｛〃｝中的項從小到大排列，再通過列舉找到｛仆｝與也｝在前50項中相等

的項，從而找到滿足條件的前50項，求出｛4｝與他,｝在前50項中各自的項數(shù)，在進行

分組求和.

=2S?+1

【詳解】⑴因為；"二J'-作差，得氏+尸2%,?>2,

區(qū)=251+1

又4=1,在5“+i=25“+1中，令〃=1知/=2,a2=2at,

所以｛4｝是以4=1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以a“=2”’.

(2)2=log2?3?=log22"i=3〃-1,%=149,

在｛〃｝的前50項中，集合A,B中相同的元素有/=2,%=8,%=32,4=128,

所以｛%｝的前50項中，包含乙至鼠，4=1，/=4,%=16,%=64,

2+137

故其前50項和為：一^x46+l+4+16+64=3197+1+4+16+64=3282.

18.“BC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為aC,c,a8sC+ccosA=2ftsinB,且b?<a2+c2.

⑴求B：

(2)在條件①和條件②中選擇一個，求AA5c的面積.

條件①：b=41>c=2.條件②：h=>/2,a+c=2.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答給分.

【答案】⑴8=30。

(2)見解析

【分析】(1)由acosC+ccosA=?sinB,利用正弦定理結(jié)合兩角和與差的三角函數(shù)化

簡求解；

(2)選①：b=五,c=2,利用余弦定理求得邊“，再利用三角形面積公式求解；選

②：b=6,a+c=2.利用余弦定理求得邊"，再利用三角形面積公式求解；

【詳解】⑴解:由acosC+ccosA=2Z?sin8,

WsinAcosC+sinCcosA=2sin2B.

即sin(A+C)=2sin2B,

即sinB=2sin28.

因為B是AABC的內(nèi)角，

所以sin800,sinB=；.

5=30?；?=150。.

22?2

又由得cosB==?〉(),

2ac

所以8為銳角，

故8=30。.

(2)若選①：b=y/2,C=2,

由余弦定理/=a?+c2-2accosB,得/-2島+2=0,

解得q=6+］或a=1.

若a=省+1,

則AABC的面積為S=—t/csinB=6+1；

22

若〃二百-1,則的面積為5=,℃5指8=^―--

22

若選②：b=6,a+c=2.

由余弦定理從=a2+c2-2accosB,

得2=/+/一y/3ac,

2=(a+c)--2ac-y/3ac,

所以訛=2(2—

△ABC的面積為S=LesinB=-—―.

22

19.如圖，五棱錐P—ABCD石中，平面PCQ_L平面ABCDE,PC=PD=M,△ABE

為邊長為4的等邊三角形，四邊形5C￡陀為等腰梯形，8=2,BE//CD.BC//AEf

M為線段AP上一點，AM=3MP.

⑴求證：叱_1_平面加。。；

（2）求二面角3-MC-。的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

8炳

\^）----------

157

【分析】（1）設(shè)。的中點為0,連接AO,PO,MO.由題目條件可得OPLCD,再

由面面垂直的性質(zhì)定理得出。尸，平面A8CDE,從而OPLAO,在進一步證得8,平面

A0P,從而APLCD,通過計算可得，APA.0M,即可證明平面例CD

（2）以O(shè)原點，0A,0C,0P所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，分別

求出面BMC和平面MCD的法向量，再根據(jù)二面角公式求得二面角B-MC-。的余弦

值即可.

【詳解】⑴設(shè)8的中點為0,連接A。，PO,M0.

由條件，五邊形A8COE中，BC=DE=2,AOLCD,AO=3^3.

△PCD中，因為PC=PO=而，CD=2,所以O(shè)P_LCO,且0P=3.

因為平面PCD，平面ABCDE,平面PCDQ平面ABCDE=CD,

所以O(shè)P_L平面ABCOE,從而OP_LAO.

△AOP中，QP_LAO,OP=3,AO=36,所以AP=6.

3QAMAO

因為AM=3MP,所以AM=覺AP=彳,從而——=,所以APJ_OM.

42AOAP

因為AOJ_CO,OPLCD,且AOIOP=。，所以C￡＞，平面AOP,從而APLCZ).

因為8c0M=0,所以AP_L平面MCD

（2）以。原點，OA,OC,。尸所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，如圖.

則A（3石,0,0）,B（6,2,0）,C（0,l,0）,P（0,0,3）,

因為所以M孚，0?，所以方=（6,1,0）,CM=苧，T，:

\r）\J

設(shè)平面8cM法向量為4=（x,y,z）,貝/“空?，取4=（3右,-9,-7）.由（1）知APJ_

n.=（I'/

平面MC。，所以取平面MC￡＞一個法向量

&=（一①。,1）.-伍㈤=髓=^^=-普

故二面角M-BC-P的余弦值為-九巨.

157

20.根據(jù)社會人口學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，一個家庭有X個孩子的概率模型為:

X1230

a

概率ae(l-P)a(l-p)2

P

其中a>0,0<p<l,每個孩子的性別是男孩還是女孩的概率均為3且相互獨立，事件

A,表示一個家庭有i個孩子(7=0,123),事件8表示一個家庭的男孩比女孩多(例如：一

個家庭恰有一個男孩，則該家庭男孩多.)

⑴若P=:，求—并根據(jù)全概率公式尸(B)=￡P(guān)(8|AjP(Aj,求「㈣；

2f=o

(2)為了調(diào)控未來人口結(jié)構(gòu)，其中參數(shù)p受到各種因素的影響(例如生育保險的增加，教

育、醫(yī)療福利的增加等).

①若希望尸(X=2)增大，如何調(diào)控p的值？

②是否存在P的值使得E(X)=g,請說明理由.

【答案】(l)]a；

(2)①增加p的取值；②不存在，理由見解析.

【分析】⑴根據(jù)條件概率計算方法求出尸(qA)(i=l,2,3),再根據(jù)

P(8)=±P(B|4)P(4)即可計算求值；

z=0

(2)①根據(jù)分布列的概率和為1得到,與2的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)/(p)=/-32+,+3,利

ap

用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，求出其.價)單調(diào)性，從而可判斷尸(X=2)=a的單調(diào)性，從而得

到結(jié)果；

②根據(jù)分布列概率和為1及E(X)=|列出關(guān)于p的方程，判斷方程是否有解即可.

【詳解】(1)由題意得:

P(叫A)=Cg,*&)=%)網(wǎng)叫&)=叱)+c；(拼

由全概率公式，得P(B)=￡P(guān)(?A,)P(AJ

/=0

號。+［嗯)+呢)卜。-。)

=：4+；a+：a(l-p),又p=；,貝ijP(B)=ja；

ZP4122

⑵①由4+a+a(l-p)+a(l-〃)~=1,得一=p?-3p+—+3,

Pap

3

記?/'(P)=p2-3p+,+3,O<Z><1,則r(p)=2,-1pT,

Pp-

記g(P)=2"-3P2-1,則g，(p)=6/_6p=6p(p-1)<(),

故g(p)在(0,1)單調(diào)遞減.

???g(O)=-l,；.g(p)<0,.f(p)在(0,1)單調(diào)遞減.

因此增加p的取值，:會減小，a增大，即P(X=2)增大.

②假設(shè)存在P使E(X)=4+2a+3a(l-p)=。，又，=p2-3p+,+3,

p3ap

將上述兩式相乘，得—卜5-p=T—5/?+-^+5,

p33P

化簡得，5P3—6p2+2=0,

設(shè)h(p)=5p3_6P2+2,則h'(p)=15P之-12〃=3P(5〃一4),

則〃(p)在(峙單調(diào)遞減，在停11單調(diào)遞增,力(P)的最小值為〃02>0，

...不存在P。使得MP°)=0.

21.已知拋物線C:V=16x,直線/經(jīng)過點用(1,0),并與拋物線交于A,B兩點，N(-l,0).

(1)證明：ZANM=Z.BNM；

(2)若直線AN,BN分別交y軸于P,。兩點，設(shè)4。附的面積為S,,△OQB的面積為邑,

求5+§2的最小值.

【答案】(1)證明見解析；

(2)2.

【分析】(1)設(shè)《士方)，8(孫力)且直線”為》=〃沙+1聯(lián)立拋物線，將問題轉(zhuǎn)化為

證心人，+口”=0,應(yīng)用韋達定理及斜率兩點式化簡求值，即可證結(jié)論.

（2）由（1）可得期+$2=，利用A、B的坐標表示|尸。|,討論直線AB的

斜率，由直線與拋物線方程及韋達定理求5+S2關(guān)于參數(shù)的表達式，結(jié)合對應(yīng)函數(shù)的性

質(zhì)求范圍，即可知其最小值.

【詳解】（1）設(shè)A（不，X）,8（電,力）,直線48為x=my+1,

x=iny+l

聯(lián)立整理得丁-16叫-16=0,

y2=\6x

所以,+%=16機，yty2=-16,

要證ZANM=NBNM,只需證kAN+knN=0.

因為

=_2Z_=(法+1)-+(%+1)*=(”+2)x+(〃s+2)%

fiA，-

加xl+lx2+r(A-,+1)(X2+1)一(x,+l)(x2+l)

=2，孫必+23+為）

（占+1）伍+1）‘得正

(2)由$=,|PO|,S2=^-\QO\,

又|PO|=|QO|=g|P0,得：5+52=((占+々)，

直線AN為y=*j（x+i）,令x=0得：yp-Vl

x}+1

同理為=」、，所以|「。|=三，怛。|=:-2%

X-）+1X]i-1.+1，

兩式相加得：t一三=2|P0,即|PQ|=乂必

.Xr|I1*^21玉+1x2+1

當直線AB的斜率不存在時，直線AB:x=l,得：P（（）,2）,。（（）,-2）且西+々=2,

此時￡+52=苧（為+占）=2；

當直線AB的斜率存在時，直線AB：y=Mx-l）,

后(芭一1)Z:(x2-1)2k-x2)2/?1(玉+々)2-4不了2

貝”叫=”■-）2

人]I1人)IXxl+1X2+\(X]+D(W+1)x1x2+(xt+x2)+l

整理得心2一（2公+16卜+公=0,可得%+“2+提，中2=1，代

由

4k

入上式'可得|PQI=E'

所以岳+邑=陰F+X2)=^^(2+卦

V1+F

令，T>。，可得豆+，=竿吧=4紋二=4E-Q,

k2-J1+4fJ1+4fV1+4Z

7

又y=4x-\在(1,”)上為單調(diào)遞增函數(shù)，

所以S1+S2>2,

綜上，面積，+S2的最小值為2.

22.已知函數(shù)〃x)=Y-21nx.

⑴求/(x)的最小值，并證明方程/(/(x))=有三個不等實根；

⑵設(shè)(1)中方程f(〃x))=/(x)的三根分別為不尤2，%,且占<*2<W，證明：

x2-x3>InXj.

【答案】(1)最小值為/。)=1,證明見解析；

(2)證明見解析.

【分析】(1)求/(X)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負判斷7U)單調(diào)性并求其最小值，令艮4=m,構(gòu)造

函數(shù)g(m)=/(，〃)-〃?，利用導(dǎo)數(shù)判斷g(m)單調(diào)性和值域，從而判斷方程火⑼=機的根的

個數(shù)即可；

⑵由(1)知0<玉<X?=1<項<2,/(4)=/(』)=外,欲證X2-w>ln蜀，即證

l-x3>lnx1,即證8』>占，即證/(eF)<〃xJ=〃x,)，于是構(gòu)造函數(shù)

F(x)=/(e'-')-/(x),XG(1,^O),證明/(8F)一/(不)<0即可.

【詳解】(I)：4(x)=2(x_?(x+l).,

...當xe(O』)時，/^x)<0,單調(diào)遞減；

當x?l,+8)時，f\x)>0,單調(diào)遞增，

故/(x)的最小值為〃1)=1.

設(shè)加=〃x),則方程〃/(x))=/("變形為,須)=%,即用力〃?=0,

令g(，%)=/(〃2)一m=W-m-21n/n