變化率問題【目標認知】課程標準學習目標1.通過實例分析,經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程.2.體會極限思想1.能通過分析實例,感知由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程.2.初步了解并體會極限思想

知識點一平均速度與瞬時速度

課前預習

×課前預習[解析]平均速度為0,并不能保證瞬時速度為0.√[解析]

Δt可正可負,但不能為0.×2.物體的位移h與時間t的關(guān)系是h(t)=5t2,試求物體在[1,1+Δt]這段時間內(nèi)的平均速度.課前預習

3.當Δt趨近于0時,上題中的平均速度趨近于多少?怎樣理解這一速度?課前預習

知識點二曲線f(x)=x2的割線與切線課前預習

過P0(1,1),P(x,x2)(x≠1)的割線在P0(1,1)處的切線P0T由來曲線上點P,P0的連線點P無限趨近于點P0時的割線P

P0的極限位置對應的直線圖形課前預習

過P0(1,1),P(x,x2)(x≠1)的割線在P0(1,1)處的切線P0T斜率聯(lián)系當x無限趨近于1時,割線變?yōu)榍芯€,k1等于k2(續(xù)表)

×課前預習√

2.如何理解割線斜率與平均速度、切線斜率與瞬時速度的關(guān)系?課前預習解:割線斜率是函數(shù)值在某個區(qū)間內(nèi)的平均變化率,相當于平均速度;切線斜率是函數(shù)值在某點處的瞬時變化率,相當于瞬時速度.

備課素材

備課素材

備課素材4.極限的含義“極限”是數(shù)學中的分支——微積分的基礎(chǔ)概念,廣義的“極限”是指“無限靠近而永遠不能到達”的意思.數(shù)學中的“極限”指:某一個函數(shù)中的某一個變量,此變量在變大(或者變小)且永遠變化的過程中,逐漸向某一個確定的數(shù)值A(chǔ)不斷地逼近而“永遠不能夠重合到A”,此變量的變化,被人為規(guī)定為“永遠靠近而不停止”,其有一個“不斷靠近A點的趨勢”.極限是一種“變化狀態(tài)”的描述.此變量永遠趨近的值A(chǔ)叫作“極限值”(當然也可以用其他符號表示).備課素材

探究點一平均速度與瞬時速度課中探究

課中探究

課中探究

課中探究B

(2)一質(zhì)點按規(guī)律s(t)=at2+1做直線運動(位移單位:m,時間單位:s),若該質(zhì)點在t=2s時的瞬時速度為8m/s,則常數(shù)a=

.

課中探究2

課中探究拓展已知圓的面積S與其半徑r之間的函數(shù)關(guān)系為S=πr2,其中r∈(0,+∞),則當半徑r∈[1,1+Δr]時,圓面積S變化的平均速度為

,瞬時速度為

.

課中探究2π+πΔr

2π探究點二

曲線的割線與切線[探索]請閱讀教材并結(jié)合圖5-1-1解答以下問題:(1)表達式中Δx,Δy的取值情況是怎樣的?(2)如何計算函數(shù)y=f(x)在x=x1附近的平均變化率?課中探究

例2(1)已知函數(shù)f(x)=x2-x,過曲線y=f(x)上的兩點P(1,0)和Q(1+Δx,Δy)作曲線的割線,已知割線PQ的斜率為2,求Δx的值;(2)求曲線y=x2在點(1,1)處的切線方程.課中探究

例2(1)已知函數(shù)f(x)=x2-x,過曲線y=f(x)上的兩點P(1,0)和Q(1+Δx,Δy)作曲線的割線,已知割線PQ的斜率為2,求Δx的值;(2)求曲線y=x2在點(1,1)處的切線方程.課中探究

變式已知函數(shù)f(x)=2x2+3x-5.(1)求曲線y=f(x)過(4,f(4)),(4+Δx,f(4+Δx))兩點的割線的斜率;(2)求曲線y=f(x)在點(4,f(4))處的切線方程.課中探究

[素養(yǎng)小結(jié)]求曲線在某點處切線方程的三個步驟課中探究課中探究拓展已知曲線y=2x2-7在點P處的切線方程為8x-y-15=0,則切點P的坐標為 (

)A.(-2,1) B.(0,-7)C.(2,1) D.(3,11)

C

備課素材C

備課素材

課堂評價C

課堂評價C

3.已知拋物線y=2x2上的點P(1,2)以及鄰近點Q(1+Δx,2+Δy),則拋物線在點P處的切線的斜率k= (

)A.2 B.2ΔxC.4 D.4+2Δx課堂評價C

4.一物體的運動方程為s=7t2-13