4.3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式第一課時(shí)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式核心知識(shí)目標(biāo)核心素養(yǎng)目標(biāo)1.掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,了解推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的過(guò)程與方法.2.能夠運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算及解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.3.掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)及其應(yīng)用.在探索等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的過(guò)程中,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng).已知量公式首項(xiàng)a1與公比qSn=n首項(xiàng)a1,末項(xiàng)an與公比qSn=n[問(wèn)題1]等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式中涉及a1,an,n,Sn,q五個(gè)量,已知幾個(gè)量方可以求其他量?提示:三個(gè).(1)等比數(shù)列{an}中,若項(xiàng)數(shù)為2n,則S偶S奇(2)若等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等比數(shù)列(其中Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…均不為0,q≠-1),公比為qn.(3)若一個(gè)非常數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=Aqn-A(A≠0,q≠0,q≠1,n∈N*),則數(shù)列{an}為等比數(shù)列,即Sn=Aqn-A(A≠0,q≠0,q≠1,n∈N*)?數(shù)列{an}為等比數(shù)列.[問(wèn)題2]若等比數(shù)列{an}的公比q不為1,其前n項(xiàng)和為Sn=Aqn+B,則A與B有什么關(guān)系?提示:A=-B.[問(wèn)題3]等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式是利用哪種方法推導(dǎo)出來(lái)的?提示:錯(cuò)位相減法.1.在等比數(shù)列{an}中,若a1=1,a4=18,則該數(shù)列的前10項(xiàng)和S10(A)2-128 (B)2-(C)2-1210解析:易知公比q=12,則S10=1-12.在等比數(shù)列{an}中,若a1+a2=20,a3+a4=40,則S6等于(A)(A)140 (B)120(C)210 (D)520解析:因?yàn)镾2=20,S4-S2=40,且(S4-S2)2=S2×(S6-S4),所以S6-S4=80,S4=40+S2=60,所以S6=140.故選A.3.若數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且其前n項(xiàng)和Sn=3n+1-3k,則實(shí)數(shù)k等于.

解析:因?yàn)镾n=3n+1-3k=3×3n-3k,所以3=3k,即k=1.答案:1等比數(shù)列基本量的計(jì)算[例1]在等比數(shù)列{an}中,(1)a1+a3=10,a4+a6=54,求S5(2)a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求q;(3)若Sn=189,q=2,an=96,求a1和n.解:(1)法一由題意,知a解得a1=8,q=12法二由(a1+a3)q3=a4+a6,得q3=18,從而q=1又a1+a3=a1(1+q2)=10,所以a1=8,從而S5=a1(1(2)因?yàn)閍1an=a2an-1=128,所以a1,an是方程x2-66x+128=0的兩根.從而a1=2又Sn=a1-a(3)法一由Sn=a1(1-qn)得189=解得a法二由公式Sn=a1得189=a1-96×2又由an=a1qn-1,得96=3×2n-1,解得n=6.(1)在等比數(shù)列{an}的五個(gè)量a1,q,an,n,Sn中,已知其中的三個(gè)量,通過(guò)解方程組,就能求出另外兩個(gè)量,這是方程思想與整體思想在數(shù)列中的具體應(yīng)用.(2)在解決與前n項(xiàng)和有關(guān)的問(wèn)題時(shí),首先要對(duì)公比q=1或q≠1進(jìn)行判斷,若兩種情況都有可能,則要分類(lèi)討論.即時(shí)訓(xùn)練11:(1)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,若a1=1,a6=8a3,則S5等于()(A)31 (B)3116(C)15 (D)47(2)(2020·全國(guó)Ⅱ卷)記Sn為等比數(shù)列{an5-a3=12,a6-a4=24,則Sn(A)2n-1 (B)2-21-n(C)2-2n-1 (D)21-n-1解析:(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,根據(jù)a1=1,a6=8a3得a1q5=8a1q2,即q5=8q2,所以q3=8,所以q=2,所以S5=a1(1(2)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則由a解得a所以Sn=a1(1-qn)1-q=2所以Snan=2等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)[例2](1)在等比數(shù)列{an}中,Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S2=3,S4=9,則S6等于()(A)12 (B)18 (C)21 (D)27(2)等比數(shù)列{an}共有2n項(xiàng),其和為-240,且奇數(shù)項(xiàng)的和比偶數(shù)項(xiàng)的和大80,則公比q=.

解析:(1)法一設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,因?yàn)镾2=3,S4=9,所以S4-S2=6,q≠-1,所以S2,S4-S2,S6-S4構(gòu)成以S2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,所以62=3(S6-9),所以S6=12+9=21.故選C.法二設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.①若q=1,可得S4=2S2,即9=2×3,顯然不成立;②若q≠1,設(shè)Sn=Aqn-A.則由已知可得S兩式相除,得q4即q2+1=3,整理得q2=2.代入解得A=3.所以S6=Aq6-A=3(q2)3-3=3×23-3=21.故選C.(2)由題意知,S所以S所以公比q=S偶S奇答案:(1)C(2)2等比數(shù)列前n項(xiàng)和的重要性質(zhì)(1)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn,滿足Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…成等比數(shù)列(其中Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…均不為0,q≠-1),這一性質(zhì)可直接應(yīng)用.(2)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)時(shí),S偶等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是奇數(shù)時(shí),S奇即時(shí)訓(xùn)練21:(1)若等比數(shù)列{an}的公比為13,且a1+a3+…+a99=60,則{an}的前100項(xiàng)和為;

(2)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=48,前2n項(xiàng)和S2n=60,則前3n項(xiàng)和S3n=;

(3)一個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)是1,項(xiàng)數(shù)是偶數(shù),其奇數(shù)項(xiàng)的和為85,偶數(shù)項(xiàng)的和為170,求此數(shù)列的公比和項(xiàng)數(shù).解析:(1)令X=a1+a3+…+a99=60,Y=a2+a4+…+a100,則S100=X+Y,由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)知YX=q=1所以Y=20,即S100=X+Y=80.(2)法一設(shè)公比為q,由已知易知q≠1,由a1(所以S3n=a=a11-q·[1-(qn)3]=64×(法二由題意知q≠-1,則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比數(shù)列,得(S2n-Sn)2=Sn·(S3n-S2n),即(60-48)2=48(S3n-60)?S3n=63.答案:(1)80(2)63(3)解:法一設(shè)該等比數(shù)列的公比為q,項(xiàng)數(shù)為2n(n∈N*).由已知a1=1,q≠1,有1由②÷①,得q=2,所以1-4n故公比為2,項(xiàng)數(shù)為8.法二因?yàn)镾偶=a2+a4+…+a2n=a1q+a3q+…+a2n-1q=(a1+a3+…+a2n-1)q=S奇所以q=S偶S奇又Sn=85+170=255,據(jù)Sn=a1(1所以2n=256,所以n=8.即公比為2,項(xiàng)數(shù)為8.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的實(shí)際應(yīng)用[例3]小華準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)一臺(tái)售價(jià)為5000元的電腦,采用分期付款方式,并在一年內(nèi)將款項(xiàng)全部付清.商場(chǎng)提出的付款方式:購(gòu)買(mǎi)2個(gè)月后第1次付款,再過(guò)2個(gè)月后第2次付款,…,購(gòu)買(mǎi)12個(gè)月后第6次付款,每次付款金額相同,約定月利率為0.8%,每月利息按復(fù)利計(jì)算,求小華每期付款金額是多少.解:法一設(shè)小華每期付款x元,第k個(gè)月末付款后的欠款本利為Ak,則A2=5000×(1+0.008)2-x=5000×2-x,A4=A2(1+0.008)2-x=5000×42x-x,…A12=5000×121082+1)x=0,解得x=5=5故小華每期付款金額約為880.81元.法二設(shè)小華每期付款x元,到第k個(gè)月時(shí)已付款及利息為Ak元,則A2=x,A4=A2(1+0.008)22),A6=A4(1+0.008)224),…A12246810).因?yàn)槟甑赘肚迩房?所以A12=5000×12,即5000×122410).所以x=5故小華每期付款金額約為880.81元.解數(shù)列應(yīng)用題的具體方法步驟(1)認(rèn)真審題,準(zhǔn)確理解題意,達(dá)到如下要求:①明確問(wèn)題屬于哪類(lèi)應(yīng)用問(wèn)題,即明確是等差數(shù)列問(wèn)題還是等比數(shù)列問(wèn)題,還是含有遞推關(guān)系的數(shù)列問(wèn)題,是求an,還是求Sn.特別要注意準(zhǔn)確弄清項(xiàng)數(shù)是多少.②弄清題目中主要的已知事項(xiàng).(2)抓住數(shù)量關(guān)系,聯(lián)想數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法,恰當(dāng)引入?yún)?shù)變量,將文字語(yǔ)言翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言,將數(shù)量關(guān)系用數(shù)學(xué)式子表達(dá).(3)將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題,將已知與所求聯(lián)系起來(lái),列出滿足題意的數(shù)學(xué)關(guān)系式.即時(shí)訓(xùn)練31:一個(gè)熱氣球在第一分鐘上升了25m的高度,在以后的每一分鐘里,它上升的高度都是它在前一分鐘里上升高度的80%,這個(gè)熱氣球上升的高度能超過(guò)125m嗎?解:用an表示熱氣球在第n分鐘上升的高度,由題意,得an+1=45an,因此,數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1=25,公比q=45n=a1+a2+…+an=25×[1-(45)

n]1故這個(gè)熱氣球上升的高度不可能超過(guò)125m.[例1]在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a1=2,且a2,a4+2,a5成等差數(shù)列,Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則S10-S4=.

解析:設(shè)數(shù)列{an}的公比為q(q>0).因?yàn)閍2,a4+2,a5成等差數(shù)列,所以2a4+4=a2+a5.所以2×2×q3+4=2×q+2×q4.所以q4-2q3+q-2=0.所以(q-2)(q3+1)=0.所以q=2或q=-1(舍去).所以S10-S4=2×(1-答案:2016[例2]數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n-2.求{an}的通項(xiàng)公式,并判斷{an}是否是等比數(shù)列.解:當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=2×當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=31-2=1不適合上式.所以an=1由于a1=1,a2=6,a3=18,顯然a1,a2,a3不是等比數(shù)列,即{an}不是等比數(shù)列.1.已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=3,公比q=2,則S5等于(A)(A)93 (B)-93 (C)45 (D)-45解析:S5=a1(12.(2021·河南南陽(yáng)高二期中)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S2a3=-2(A)3 (B)2 (C)-2 (D)-3解析:因?yàn)镾2a3=a所以q=-3(q=-32舍去)3.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1+a3=5,a2+a4=10,則S5等于(C)(A)15 (B)16 (C)31 (D)32解析:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,因?yàn)閍1+