第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5．3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用5．函數(shù)的極值與最大(小)值第2課時(shí)函數(shù)的最大(小)值[課程目標(biāo)]1.能利用導(dǎo)數(shù)求給定閉區(qū)間上不超過三次的多項(xiàng)式

函數(shù)的最大值、最小值.2.體會(huì)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、極值、最大(小)值的關(guān)系．(1)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最值函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，則該函數(shù)在[a，b]上一定能夠取得最大值與最小值，函數(shù)的最值必在_______處或__________處取得．(2)求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上最值的步驟①求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的________；②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與__________的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是_____________，最小的一個(gè)是__________．端點(diǎn)極值點(diǎn)極值端點(diǎn)處最大值最小值[研讀]1.對(duì)函數(shù)最值的三點(diǎn)說明(1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最值，開區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)不一定有最值.若有唯一的極值，則此極值必是函數(shù)的最值．(2)函數(shù)的最大值和最小值是一個(gè)整體性概念．(3)函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上連續(xù)，是函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上有最大值或最小值的充分而非必要條件．2．函數(shù)極值與最值的關(guān)系(1)函數(shù)的極值是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的局部概念，函數(shù)的最大值和最小值是一個(gè)整體性概念．

(2)函數(shù)的最大值、最小值是比較整個(gè)定義區(qū)間的函數(shù)值得出

的，函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值可以有多個(gè)，但最值只能有一個(gè)．(3)極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點(diǎn)處取得．有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值不在端點(diǎn)處取得時(shí)必定是極值．

判斷正誤(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”).(1)函數(shù)的最大值不一定是函數(shù)的極大值．(

)(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值一定在區(qū)間端點(diǎn)

處取得．(

)(3)有極值的函數(shù)一定有最值，有最值的函數(shù)不一定有極值．(

)(4)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間[a，b]上一定有

最值，但不一定有極值．(

)√××√【解析】(1)如果函數(shù)在端點(diǎn)處取得最值，則該最值一定不是極值．(2)最大(小)值也可能在極值點(diǎn)處取到．(3)有極值的函數(shù)不一定有最值，如圖所示，函數(shù)f(x)有極值，

但沒有最值．

求下列函數(shù)的最值．[規(guī)律方法]求解函數(shù)在給定區(qū)間上的最值，需注意以下幾點(diǎn)(1)對(duì)函數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確求導(dǎo)，并檢驗(yàn)f′(x)＝0的根是否在給定區(qū)間內(nèi)．(2)研究函數(shù)的單調(diào)性，正確確定極值和端點(diǎn)函數(shù)值．(3)比較極值與端點(diǎn)函數(shù)值的大小，確定最值．求下列函數(shù)的最值：(1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2，4]；(2)f(x)＝e－x－ex，x∈[0，a]，a為正實(shí)數(shù)．解：(1)f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2).令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在區(qū)間[0，2]上的最大值．[規(guī)律方法]

對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，其實(shí)質(zhì)是討論導(dǎo)函數(shù)大于0，等于0，小于0三種情況．若導(dǎo)函數(shù)恒大于0或恒小于0，則函數(shù)在已知區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，最值在端點(diǎn)處取得；若導(dǎo)函數(shù)可能等于0，則求出極值點(diǎn)后求極值，再與端點(diǎn)值比較后確定最值．已知f(x)＝ax－lnx，a∈R．(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求曲線f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程；(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)在區(qū)間(0，e]上的最小值是3，若存

在，求出a的值；若不存在，說明理由．

已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－

與x＝1處都取得極值．(1)求a，b的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)x∈[－1，2]，不等式f(x)<c2恒成立，求c的取值范圍．[規(guī)律方法]恒成立問題向最值轉(zhuǎn)化的方法(1)要使不等式f(x)<h在區(qū)間[m，n]上恒成立，可先在區(qū)間[m，n]上求出函數(shù)的最大值f(x)max，只要h>f(x)max，則上面的不等式恒成立．(2)要使不等式f(x)>h在區(qū)間[m，n]上恒成立，可先在區(qū)間[m，n]上求出函數(shù)f(x)的最小值f(x)min，只要f(x)min>h，則不等式f(x)>h恒成立．

某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩．經(jīng)測(cè)算，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬(wàn)元；距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為(2＋)x萬(wàn)元．假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素，記余下工程的費(fèi)用為y萬(wàn)元．(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)m＝640米時(shí)，需新建多少個(gè)橋墩才能使y最??？[規(guī)律方法]利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題中的最值的一般步驟(1)分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系，找出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模

型，寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)；(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和極值點(diǎn)的函數(shù)值大小，最大(小)者為最大(小)值；(4)把所得數(shù)學(xué)結(jié)論回歸到數(shù)學(xué)問題中，看是否符合實(shí)際情況并下結(jié)論．某商場(chǎng)銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價(jià)格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)＝

＋10(x－6)2.其中3＜x＜6，a為常數(shù)．已知銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克．(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價(jià)格x的值，使商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大．由上表可得，x＝4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3，6)內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，所以當(dāng)x＝4時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42.即當(dāng)銷售價(jià)格為4元/千克時(shí)，商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大．1．關(guān)于函數(shù)f(x)＝x3＋x，下列說法正確的是(

)A．沒有最小值，有最大值B．有最小值，沒有最大值C．有最小值，有最大值D．沒有最小值，也沒有最大值【解析】依題意f′(x)＝3x2＋1>0，所以f(x)在R上單調(diào)遞增，沒有最小值，也沒有最大值．DC3．函數(shù)f(x)＝12x－x3在區(qū)間

上的最小值是(

)A．－16 B．－18C．11 D．－9【解析】因?yàn)閒(x)＝12x－x3，所以f′(x)＝12－3x2，由f′(x)>0得－2<x<2，由f′(x)<0得x>2或x<－2；又－3≤x≤1，所以當(dāng)－3≤x<－2時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)＝12x－x3單調(diào)遞減；當(dāng)－2<x≤1時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)＝12x－x3單調(diào)遞增，因此f(x)min＝f(－2)＝－24＋8＝－16.AD5．函數(shù)f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0，3]上的最大值和最小值分別是(

)A．5，－4 B．5,－15C．－4，－15 D．5，－16【解析】f′(x)＝6x2－6x－12＝6(x－2)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝2，所以當(dāng)x∈[0，2)時(shí)，f′(x)<0