重難點01數(shù)列

［命題趨勢）

新高考中考查數(shù)列難度不大，但解答題中作為了必考內(nèi)容，一般是解答題的前兩題，會考察開放式的

題型。知識點考查比較簡單，也是新高考中務(wù)必拿分題目，對于大部分人來說，數(shù)列這一知識點是不容失

分的。本專題是通過對高考中常見高考題型對應(yīng)知識點的研究而總結(jié)出來的一些題目，通過本專題的學(xué)習(xí)

補充鞏固，讓你對高考中數(shù)列題目更加熟練，做高考數(shù)列題目更加得心應(yīng)手。

［滿分技巧

1、通項公式的求法

1）累加法（疊加法）

若數(shù)列｛冊｝滿足%-%=/（〃）（〃€"）,則稱數(shù)列｛/｝為“變差數(shù)列"，求變差數(shù)列"｝的通項時，利用恒

等式%=4+3,）+（%…%+/（1）+〃2）+/（3）+…（22）求通項

公式的方法稱為累加法。

2）累乘法（疊乘法）：

若數(shù)列｛冊｝滿足也=/（〃）（〃eN*）,則稱數(shù)列｛冊｝為“變比數(shù)列"，求變比數(shù)列｛%｝的通項時，利用

an

an-a\'———4-=%,/（1）?/⑵，/⑶?…（〃之2）求通項公式的方法稱為累乘法。

%a2?3%

3）由數(shù)列的前n項和S“與知的關(guān)系求通項公式

若已知數(shù)列｛4｝的前n項和￡,=/（〃），則不論數(shù)列｛。,,｝是否為等差數(shù)列或等比數(shù)列，當(dāng)〃22時，都有

—1），可利用公式10。求通項。

S“一S'T，〃N2

4）構(gòu)造新數(shù)列

對于4=pa“-［+q的形式，主要是利用（%+加）=p（anA+m）的形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化;

n+

對于a?=pat+p',主要采用$-3=?7的形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化運算；

11

對于%-凡」可%%」一般采用轉(zhuǎn)化成一——=P的形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化運算。

4一1

2、數(shù)列求和問題

1、常見裂項求和公式：

5+篇=同一迎

(2M-1)(2H+1)―2U?-1-2〃+1

+,1

r_________:(T廣(—+1,("W=J______1_

(2〃-l)(2〃+l)(2〃-12n+1)'(a"-l)(an+,-1)a"-la"+1-1

2、錯位相減求和問題

（1）要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；

（2）在寫出‘5”與“qSj的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫出“S”一qS「

的表達(dá)式.

（3）在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.

3、分組求和問題，分為三種，一種是絕對值分組求和問題，另外一種是兩種不同數(shù)列的分組求和問題，還

有一種是分奇偶項求和。

熱點解讀

熱點1:由遞推式求通項公式；熱點2：數(shù)列求和；熱點3：數(shù)列中的新定義與最值（范圍）問題；

限時檢測

A卷（建議用時90分鐘）

一、單選題

1.（2021?四川?內(nèi)江市教育科學(xué)研究所一模）記數(shù)列｛q,｝的前〃項和為若S“=2%+1,則（）

A.a?=\B.｛%｝是等差數(shù)列C.｛《,｝是等比數(shù)列D.邑=-30

【答案】C

【分析】當(dāng)”=1時.，q=T,所以選項A錯誤；推理得到N=2("WN*,〃22),所以選項B錯誤，選項C

—

正確；54=-15,所以選項D錯誤.

【詳解】解：當(dāng)”=1時，S[=2q+1,q=T,所以選項A錯誤;

因為S.=2q,+l(〃eN*),S“_]=2a,_]+I("eN",”22),

所以%=S“-S,j\=2%-2a“_|(〃eN\n>2),化為a“=2all_i(neN',n>2)

.?.烏-=2(〃€%*,〃22)所以數(shù)列｛《,｝是等比數(shù)列.所以選項B錯誤，選項C正確；

an-\

s4=_1_2-4-8=-15,所以選項D錯誤.故選：C

2.(2021?黑龍江?勃利縣高級中學(xué)高三期中)“垛積術(shù)”是由北宋科學(xué)家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng)，南宋數(shù)

學(xué)家楊輝、元代數(shù)學(xué)家朱世杰豐富和發(fā)展的一類數(shù)列求和方法，有菱草垛、方垛、芻童垛、三角垛等.某

倉庫中部分貨物堆放成如圖所示的“菱草垛”：自上而下，第一層1件,以后每一層比上一層多1件，最后一

層是〃件.己知第一層貨物單價1萬元，從第二層起，貨物的單價是上一層單價的噌.若這堆貨物總價是

100-200仁)萬元，則〃的值為()

A.9B.10C.11D.12

【答案】B

【分析】先依次求出各層貨物總價，再利用裂項抵消法進(jìn)行求解.

【詳解】由題意，得第一層貨物總價為1萬元，第二層貨物總價為2x^萬元,

QQ

第三層貨物總價為3x(常萬元，???，第〃層貨物總價為”(木尸萬元.

oQa

設(shè)這堆貨物總價為y萬元，貝IJy=l+2x^+3x(島>+…+〃X(a)"T

—v=—+2x(—)2+3x(—)3+-..+?x(—)",

10-10101010

1QQQQQ

兩式相減，得—y=1+—卜(—)2+(—Y4---卜(—)"1—wx(—,

101010101010

9

11一(/“999

即一y=_12__,(2_y?i-i0x(—/

1019n'10=01010

10

999

貝ljy=]00_]00x(―)M-10/7-(―)M=100-(100+10/7)x(―)N,

99

y=100-(100+10?)x(―)w=100-200x(―)w,得〃=10.故選：B.

3.(2021?江西高安?模擬預(yù)測)已知等差數(shù)列｛《,｝,其前〃項和為S.，S.有最小值，若&<7,則使S“<0

成立的〃的最大值為()

A.17B.16C.15D.14

【答案】C

【分析】依題意可得《<0，”>0,再根據(jù)&<T,即可得到做<0,為>0,目.4+4>0,再根據(jù)等差

數(shù)列前幾項和公式及卜標(biāo)和性質(zhì)計算可得；

【詳解】解：因為等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S,有最小值，所以q<0，d>0,所以。9>4,因為四■<一,

所以g<0,%>0,且。9+6>0,所以/=(佝+：)xl6>0,515=15a8<0,

所以當(dāng)1GY15時S”<0,所以使S“<0成立的"的最大值為15；故選：C

4.(2021?全國全國?模擬預(yù)測)高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子'’的稱號.

設(shè)xeR,用國表示不超過x的最大整數(shù)，則〃x)=[x]稱為高斯函數(shù).已知數(shù)列｛叫滿足%=2,且

(〃+1”向-刈=2〃+1,若”=[lga,』數(shù)列｛2｝的前〃項和為貝僵以=()

A.4950B.4953C.4956D.4959

【答案】C

【分析】由題利用累加法可得。“=〃，進(jìn)而可得分類討論4的取值，即求.

【詳解】由(〃+l)a,+i=2〃+1,，=2可得4=1,

根據(jù)累加法可得[%=〃。.-(〃-1)?！癬|+(〃-1)。1-("-2)。"-2+"，+2。2-q+%="2所以。，=〃，

故￡=[lg"],當(dāng)1W〃W9時，b“=0；當(dāng)104〃499時，〃=1：當(dāng)1004〃4999H寸，瓦=2：當(dāng)10004〃42021

時，b“=3,因止匕4021=90+900x2+1022x3=4956.故選：C.

5.（2021?江蘇徐州?高三期中）已知等比數(shù)列｛%｝的前〃項和數(shù)列｛（成）"｝的前."項和為

若數(shù)列｛1｝是等差數(shù)列，則非零實數(shù)。的值是（）

A.—3

【答案】C

【分析】根據(jù)?！?'-5,1求出｛%｝通項公式，利用q=E可求出6求出7；,根據(jù)等差數(shù)列的特點可得.

【詳解】因為等比數(shù)列｛七｝的前〃項和S,,=G「-人

+6=-'|x（；）,則4=S[="-6=_'|,解得6=；,

則當(dāng)”22時，a?=S?-S?_,

則儂）"=仁），即｛（"）"｝是以三為首項，三為公比的等比數(shù)列，則北二

因為｛4｝是等差數(shù)列，則通項公式不能出現(xiàn)"+1次方項，所以]=1,解得。=3.故選：C.

.n

6.（2021?遼寧實驗中學(xué)高三期中）數(shù)列｛%｝中，《=1,,使勺《2021對任意的〃4人

（々CND恒成立的最大左值為（）

A.1209B.1211C.1213D.1215

【答案】B

【分析】根據(jù)數(shù)列的通項公式,列出各項,找數(shù)列的規(guī)律，判斷到哪一項是等于2021,即可得答案.

【詳解】由己知可得，數(shù)列｛/｝：1,6,11,6,11,16,11,16,21,…，可得規(guī)律為1,6,11；6,11,16；11,16,21；L此

時將原數(shù)列分為三個等差數(shù)列：1,6,11「一?！?2?，〃?H〃=3,〃+1,〃7￡用；

6,11,16,…?！?—---,〃e{“J”=3機(jī)+2,機(jī)eN}；11,16,21,…”“=-----,ne{"〃=3"?+3,機(jī)eN};

因為6209=2021,%210=2016,Q12U=2021,。⑵？=2026>2021,

所以滿足見42021對任意的“saWeN*)恒成立的最大左值為1211.故選：B.

7.(2021?山東泰安?高三期中)若數(shù)列滿足4=2,=凡-1,則。23=()

A.2B.1C.-1D.-2

【答案】C

【分析】由題意得數(shù)列｛%｝是周期為3的數(shù)列，即可得解.

【詳解】由％=2,代入。"“=。,,-1可得。2=；,同理可得為=-1.

a-『-1_

由%+M,=4,T，得。用=三一，從而有凡+2=3」=?=37,即%*2=廣彳,

%4+1q一］/一］

%

-1__1

從而有%TJ””,所以數(shù)列｛《,｝的周期為3,所以。2022=%.674=%=-1.故選：C.

a?

8.(2021?河北衡水中學(xué)模擬預(yù)測)數(shù)列｛《,｝滿足％eZ,。l+%=2〃+3,且其前〃項和為S”.若與=金，

則正整數(shù)"?=()

A.99B.103C.107D.198

【答案】B

【分析】根據(jù)遞推公式，構(gòu)造新數(shù)歹為等比數(shù)列，求出數(shù)列｛?！埃?，再并項求和，將務(wù)用《表

示，再結(jié)合通項公式，即可求解.

【詳解】由4川+?！?2〃+3得+=,

為等比數(shù)列，A=(-I)"-'-2),

A??=(-1嚴(yán)(4-2)+”+1,冊=(一1)=(％-2)+m+1,

...S］3=4+(g+/)+.,,+(%。+〃13)="I+2x(2+4+,?,+12)+3x6=q+102,

①加為奇數(shù)時,q—2+加+1=%+102,加=103；

②加為偶數(shù)時，一(q-2)+加+l=q+102,〃z=2q+99,

???％EZ,加=2q+99只能為奇數(shù)，，陽為偶數(shù)時，無解，綜上所述，加=103.故選：B.

【點睛】本題考查遞推公式求通項，合理應(yīng)用條件構(gòu)造數(shù)列時解題的關(guān)鍵，考查并項求和，考查分類討論

思想，屬了較難題.

二、多選題

9.（2021?河北邯鄲?高三期末）Look—and—say數(shù)列是數(shù)學(xué)中的一種數(shù)列，它的名字就是它的推導(dǎo)方式：給

定第一項之后，后一項是前一項的發(fā)音，例如第一項為3,第二項是讀前一個數(shù)“1個3”，記作13,第三項

是讀前一個數(shù)“1個1,1個3”，記作1H3,按此方法，第四項為3n3,第五項為132113,….若Look—and—say

數(shù)列｛《,｝第一項為11,依次取每一項的最右端兩個數(shù)組成新數(shù)列｛4｝,則下列說法正確的是（）

A.數(shù)列｛““｝的第四項為】11221B.數(shù)列｛氏｝中每項個位上的數(shù)字不都是1

C.數(shù)列出｝是等差數(shù)列D.數(shù)列也｝前10項的和為160

【答案】AD

【分析】A.列舉前四項可得答案：B.根據(jù)數(shù)列｛%｝中最后讀的數(shù)字是1可得答案：C.列舉前四項可得答案；

D.列舉可得數(shù)列｛〃｝中數(shù)的規(guī)律，進(jìn)而可求和.

【詳解】4=11,電=21,a3=1211,a4=111221,A正確；

數(shù)列｛”“｝中最后讀的數(shù)字總是1，故數(shù)列中每項個位上的數(shù)字都是1,B錯誤；

數(shù)列｛"｝：11,21,11,21,不是等差數(shù)列，C錯誤；

通過列舉發(fā)現(xiàn)數(shù)列｛〃｝的第一，三，五，七，九項都為11,第二，四，六，八，十項為21,

故前10項的和為11x5+21x5=160,D正確.故選：AD.

10.（2021?山東?泰安一中模擬預(yù)測）我國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》里有一段敘述：“今有良馬和弩

馬發(fā)長安至齊，良馬初日行一百九十三里，日增十三里；鴛馬初日行九十七里，日減半里.良馬先至齊，復(fù)

還迎弩馬，九日后二馬相逢其大意為今有良馬和弩馬從長安出發(fā)到齊國，良馬第一天走193里，以后每天

比前一天多走13里；鴛馬第一天走97里，以后每天比前一天少走0.5里.良馬先到齊國，再返回迎接鴛馬，

9天后兩馬相遇.下列結(jié)論正確的是（）

A.長安與齊國兩地相距1530里B.3天后，兩馬之間的距離為328.5里

C.良馬從第6天開始返回迎接駕馬D.8天后，兩馬之間的距離為377.5里

【答案】AB

【分析】A,設(shè)良馬第〃天行走的路程里數(shù)為對，弩馬第〃天行走的路程里數(shù)為4,求出良馬和駕馬各自走

的路程即得A正確；B,計算得到3天后，兩馬之間的距離為328.5里，即可判斷B正確;

C,計算得到良馬前6天共行走了1353里＜1530里,故C不正確：

D,計算得到8天后，兩馬之間的距離為390里，故D不正確.

【詳解】解：設(shè)良馬第〃天行走的路程里數(shù)為4,弩馬第〃大行走的路程里數(shù)為“，則

a“=193+13（〃-l），a=97-g（〃-D（〃eN”,掇出9）.良馬這9天共行走了9x193+身等巨=2205里路程，

鴛馬這9天共行走了。9X8V2）里路程，故長安與齊國兩地相距理警=1530里，A正確.

9x97+------——-=8552

2

3天后，良馬共行走了3x（193+13）=618里路程，弩馬共行走了3x（97-；）=289.5里路程，故它們之間的距

離為328.5里,B正確.

良馬前6天共行走了6x193+6x*5x"13=1353里＜1530里，故良馬行走6天還末到達(dá)齊國，C不正確.

良馬前7天共行走了7x193+；1=1624單＞1530里，則良馬從第7天開始返回迎接駕馬，故8天后，

兩馬之間的距離即兩馬第9天行走的距離之和，由為+a=193+13x8+97+（-；）x8=390,知8天后，兩

馬之間的距離為390里，故D不正確.故選：AB

11.（2021?遼寧?大連市第一中學(xué)高三期中）如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》

中，后人稱為“三角垛”“三角垛''最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，….設(shè)第〃層有?！皞€

球，從上往下〃層球的總數(shù)為S”，則（）

嬴

1111200

A.￡=35B.a?+l-a?=nC.q,=及（"；＞

?)?2%?100101

【答案】ACD

【分析】根據(jù)已知條件求得由此對選項進(jìn)行分析，從而確定正確選項.

【詳解】依題意可知見+i=〃+1,%=〃〃+〃+1,B選項錯誤.

q=1，4=1+2=3,色=3+3=6,%=6+4=10,%=1。+5=15,Ss=1+3+6+10+15=35,AiE確.

見+i-+La,r=n(n>2),

『一-)+~+(%

11111

4--------F,??H---------.D選項正確.

n〃+lq4“100

故選：ACD

12.（2021?江蘇如皋?高三期中）觀察如下數(shù)陣:

笫1行12

第2行132

第3行14352

第4行154738572

第〃行1西x2.??…??????

。2

該數(shù)陣特點：在第"行每相鄰兩數(shù)之間都插入它們的和得到第力+1行的數(shù)，“eN*.設(shè)第n行數(shù)的個數(shù)為,

第”行的所有數(shù)之和為國，則（）

A.。,向=2%-1B.S,,+|=3s“-3C.\=3[(n-l)2+l]D.k=2"-'-l

【答案】ABD

【分析】由條件可得4+%-1=2?！?1,即可判斷A,然后求出％可判斷D,由5=3,邑=6,5=15,

$4=42,S$=123可判斷B、C.

【詳解】第〃行個數(shù)為4,第"行個數(shù)為—=2%-1，A對；

S]=3,昆=6,S3=15,S4=42,S5=123,則B對C錯；

%=2?！?1,=一2=2（牝-1）,.?.勺一=2,

a?-l

???｛。,一1｝是2為公比的等比數(shù)列，，%-1=21,＜《,=2"7+1,.?.上=2"7-1,D對，故選：ABD

三、填空題

13.（2021?江蘇?海門中學(xué)高三期中）已知數(shù)列SJ滿足。川+學(xué)高==2〃+1,則《+/+%+…+佝9=

【答案】50

【分析】根據(jù)所給遞推關(guān)系，可得%m+%,=4〃+1,aln-a2n_x=4?-1,兩式相減可得出川+的“_=2.即相鄰

奇數(shù)項的和為2,即可求解.

［詳解1,?.%+】+(-1)'%“=2〃+1,?2?+,+a2ll=4〃+1,aln-%“_=4〃-L

兩式相減得。2"+1+。2,-1=2.則％=2,%+。5=2,…,儆+%=2,

q+%+%+…+/=25x2=50,故答案為：50

14.(2021?福建?泉州鯉城北大培文學(xué)校高三期中)已知數(shù)列｛6｝的前”項和為S.，若％=2，且S向=2S“+1,

則數(shù)列｛"“｝的通項公式為.

2〃二1

【答案】\I

［3X2"-2,〃N2

【分析】項和轉(zhuǎn)換可得。用=2。,,(〃之2),可得數(shù)列｛4,｝從第二項開始是以3為首項，2為公比的等比數(shù)歹!j,

結(jié)合等比數(shù)列的通項公式，分段表示即得解

【詳解】由題意，S,川=2S“+1故S“=2S,i+1兩式相減可得：a?+l=2a?(?>2),

在S,+］=2S.+1中，令"=1,可得q+的=2q+1,即%=3

因此數(shù)列｛。力從第二項開始是以3為首項，2為公比的等比數(shù)列

(2,n=l(2,n-l

“""一?2"-2,〃22收答案為：［3X2,,-2,?>2

15.(2021?河北?衡水市冀州區(qū)第一中學(xué)高三期中)在正項數(shù)列｛《,｝中，—8,且既2。向+1嗚4=；,

2Z

令仇=log“.JLlog*0,則數(shù)列｛4｝的前2020項和$2。2。=.

…32020

【答案】何

【分析】利用關(guān)系式的變換求出數(shù)列的通項公式，然后利用裂項相消法的應(yīng)用求出數(shù)列的和.

,,I

［詳解］正項數(shù)列｛a?｝中，log,a?+1+log,an=-,

I2

整理得：logza.+i-log2a“=log2應(yīng)，則噫子=bg?應(yīng)，即^

二數(shù)列｛aj是以應(yīng)為公比的等比數(shù)列.由于q?電9=8,則a?3=8,即生=2,

二=e（加廣=4=log,后明“&=嵩W，

+…+f=1一貴’則$2。2。=1-焉=翳-故答案為：篇

16.（2021?湖北?華中師大一附中高三期中：鄉(xiāng)村振興，人才是關(guān)鍵.要積極培養(yǎng)本土人

才，鼓勵外出能人返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè).2020年1月8日，人力資源和社會保障部、財政部、農(nóng)業(yè)農(nóng)村部印發(fā)《關(guān)于

進(jìn)一步推動返鄉(xiāng)入鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)工作的意見》.意見指出，要貫徹落實黨中央、國務(wù)院的決策部署，進(jìn)一步推動返

鄉(xiāng)入鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，以創(chuàng)新帶動創(chuàng)業(yè)，以創(chuàng)業(yè)帶動就業(yè)，促進(jìn)農(nóng)村一、二、三產(chǎn)業(yè)融合發(fā)展，實現(xiàn)更充分、更高

質(zhì)量就業(yè).為鼓勵返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，某鎮(zhèn)政府決定投入“創(chuàng)業(yè)資金”和開展”創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓(xùn)I”幫扶返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)人員.預(yù)計該

鎮(zhèn)政府每年投入的“創(chuàng)業(yè)資金’'構(gòu)成一個等差數(shù)列｛q｝（單位：萬元），每年開展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓(xùn)I”投入的資金

為第一年創(chuàng)業(yè)資金6（萬元）的3倍，已知％2+/2=5。.則該鎮(zhèn)政府幫扶五年累計總投入資金的最大值為

______萬元）

【答案】100

【分析】根據(jù)題意，得到五年累計總投入資金的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式，即可求解.

【詳解】由題意知，五年累計總投入資金為4+%+%+。4+。5+5*3q=5%+15q=5（%+3。|）=10（%+%）

1oj（q+%/=1。擊；+W+2的2-10,（a；=100,

當(dāng)且僅當(dāng)q=的時等號成立，所以該鎮(zhèn)政府幫扶五年累計總投入資金的最大值為loo萬元.

17.（2021?遼寧?育明高中高三期中）已知遞增數(shù)列｛對｝的前〃項和為J，且滿足5,+5用=2〃2+〃（〃eN，）,

則首項四的取值范圍為

]_3

【答案】

454

【分析】根據(jù)前"項和的公式得到遞推公式用=4〃-1（〃22）,進(jìn)而化簡整理得到-a,-=4（〃23）,

從而得列｛4｝是偶數(shù)項以4為公差的等差數(shù)列，奇數(shù)項從。3起奇數(shù)項也是以4為公差的等差數(shù)列，從而知

需滿足為＜的＜的＜&，然后將生，%，%用％表示后，解不等式組即可求出結(jié)果.

【詳解】因為Sn+S向=2/+",所以2s“+%M=2〃2+〃，

當(dāng)〃=1時，2%+&=3,當(dāng)“22時，25?_,+a?=2（n-l）2+（n-l）,

則2（S“-Ei）+。用-%=2〃2+〃-2（〃一1『-（〃一1）,

即?！?。用=4〃T（〃N2）,又=4〃-5（〃N3）,故。，㈤-。向=4（〃N3）,

所以數(shù)列｛4｝是偶數(shù)項以4為公差的等差數(shù)列，奇數(shù)項從與起奇數(shù)項也是以4為公差的等差數(shù)列，若數(shù)列

（??｝單調(diào)遞增，所以需滿足4<知<知，又的=3-241嗎=7-%=4+2%,%=11-%=7-2q,

所以4<3-2%<4+2%<7-2%,解得-；<%<1,故％的取值范圍為

四、解答題

18.（2021?江蘇?南京市中華中學(xué)高三期中）設(shè)S,,是等比數(shù)列｛對｝的前"項的和，生=上，且d、S-g成

等差數(shù)列.（1）求｛對｝的通項公式；（2）設(shè)f為實數(shù)，邑"為的前2〃項的和，乙為數(shù)列｛4｝的前"項的

和，且S2“=f&求f的值.

【答案】⑴見=,；）（2）?=1

【分析】（1）求出等比數(shù)列｛/｝的公比，利用等比數(shù)列的通項公式可求得數(shù)列｛”“｝的通項公式；

（2）利用等比數(shù)列的求和公式求出$2“、進(jìn)而可求得I的值.

（1）解：設(shè)等比數(shù)列｛叫的公比為4,則4*0,

由已知可得2s3=SI+S2,即2。1+2/+2%=2。1+“2,即2a3+/=0,

則加（2口+1）=0,解得g=_g,因此，（二4.'][

)43…

所以，數(shù)列｛"｝是以1為首項，以;為公比的等比數(shù)列,

=

所以，T=(J=4,因此，r=^=l：/v'1-

19.（2021?遼寧?高三期中）已知等差數(shù)列｛斯｝滿足：S6=21,S尸28,其中s“是數(shù)列｛對｝的前〃項和.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項；⑵令加2a+1）'證明：a+"+"也"筌!

【答案】（1）a?=n（2）證明見解析

【分析】（1）將條件用首項，公差表示，計算即可.（2）利用裂項相消法求和即可.

,、「64+151=21

（1）數(shù)列｛/｝為等差數(shù)列，依題意$6=21,57=28,所以7。+211=28,所以％=1"=屋所以%=〃

--------------—

(2)(2%-1乂2%+1)I)

2〃+2

+(-IY,-1——-{-ir—

\'2n+l\72〃+12〃+1

20.（2021?江蘇?南京師大附中高三期中）設(shè)S“是等比數(shù)列佃,｝的前〃項和，已知S2=4,的2=3胡.

（1）求斯和S.；(2)設(shè)6“=求數(shù)列｛d｝的前〃項和T,,.

【答案】（1），=?。海?）T?=\

【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式、求和公式列出方程求解即可;

（2）由（1）寫出，，利用裂項相消法求和即可.

（1）設(shè)｛斯｝的公比為分則a｝=a2a4,而a；=3%,

所以解得%=3,而4+%=4,所以％=1應(yīng)=3,.?.a“=3"T,貝1]5=斗與/=寧；

a3”小3"11

（2）=3"-13/,+|-1=~~~~-=2（—~~--T7H~~7）?

----------—（3—1）（3—1）3—13—1

■—r]111111、—11、—2

?'?'=2弓—一+一一…-77rH=2（萬一Fcp

21.（2021?江蘇海安?高三期中）已知數(shù)列｛4｝滿足G=l,即+1=[今.（1）從下面兩個條件中

,〃+3/為偶數(shù)

選一個，寫出61,岳，并求數(shù)列也｝的通項公式；①一=。2〃-1+3；②兒=。2〃+1—（2）求數(shù)列｛。〃｝的

前n項和為S?.

9〃21u>1//

22---------歹，〃為奇數(shù)

【答案】（1）所選條件見解析，4=4也=8；4=2”“；（2）S〃=小l.

2"+2丁-名-12,〃為偶數(shù)

2

【分析】（1）分〃為奇數(shù)和"為偶數(shù)進(jìn)行討論，分別構(gòu)造數(shù)列即可求出結(jié)果.

（2）分"為奇數(shù)和"為偶數(shù)進(jìn)行討論，然后結(jié)合等比數(shù)列的求和公式以及分組求和即可求出結(jié)果.

（1）當(dāng)"為奇數(shù)時，%+2=%”+3=2”,+3,則即+2+3=2（%+3）,且％+3=4,

M+1n+3

則6+3=4?2亍，即％=2--3,

當(dāng)〃為偶數(shù)時，”“+2=2%+|=2（”“+3）=2?！?6,則。什2+6=2伍“+6）,且“2=2《=2,%+6=8,則

“+1”+4

a?+6=8-2~?即%=2〒-6,

—2n-l+3,…八

若選①，則4=",,1+3=2=-3+3=2向，則可=4也=8；

2〃+1+3/2”-1+3、

若選②，則"=牝"+|-。2"-1=22-3-22-3=2"+2-2"+'=2"+,,則4=4,仇=8,

\/

(2)當(dāng)"為偶數(shù)時，S,,=4+%+-+/=(%+的+…+卬一)+3+/+???+4)

(吟(n\

(〃+2、(…+2等一6122J252'

=22-3+23-3+---+2~-3+23-6+24-6+

7—5,+O?

1-221-22

小任9暨

=22+22---12

2

當(dāng)〃為奇數(shù)時，E,=《+%+…+〃“=(4+。3+一+%)+(4+/+…+%)

(n+\\(n-\、

Cn+3\c3

23小)2?1-2亍21-2三

=2-3+2-3+---+2--3+123-6+24-6+2

"+2-6)=-^--------^-3--〃+1+—^---------^-6.-?-1

1-221-22

9〃21

22

也Q21

22一n曳為奇數(shù)

S=]22

n

"+4”+6Q

2-+2三-也-12,〃為偶數(shù)

12

22.(2021?陜西安康?高三期中)已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為5“，且5“=2%-1.(1)求｛%｝的通項公式；(2)

求數(shù)列<)的前〃項和1；⑶若V〃eV7；,>iofl--|-2,求幾的最小值.

,anJ1an)

+

【答案】（I）an=2"-'（n?N）（2）7；=10-（2”+5）［￡）（3）|

【分析】（1）當(dāng)"22時，可得S,I=24T-1,兩式相減求得”“=2a“T，得到數(shù)列｛七｝為等比數(shù)列，進(jìn)而求

得數(shù)列｛%｝的通項公式；（2）由4=2"T,得至ij犯1=（2〃+1）（；）,結(jié)合乘公比錯位相減法，即可得數(shù)

列［2］的前〃項和.（3）由。210（1-'］-幾，得到力2空3,令b.=H結(jié)合我的單調(diào)性，求得

”的最大值，即可求解.

（1）解:由題意，數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，且S”=2a”-1

當(dāng)“22時，可得51=2%-1,

兩式相減得S,［S*7=a.=2a?-2%,即％=2a?_,,所以上J=2（"W2,"e，+）,

an-\

令〃=1,可得E=6=24-1,解得《=1,

所以數(shù)列｛《｝是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，

所以數(shù)列｛《,｝的通項公式為M=2"T（〃？N+）.

（2）解：由%=2"，可得勺把=（2〃+1）（；）,

則…白；］撲7出+…+伽+呢「，

可得3,=3.（￡|+5.出+7.出+...+（2〃+嗚,

兩式相減得i=3+i+（m+（』+（｛［+…+（；『-（2〃+1）｛3

1」〃〃X

=3+—1^_（2〃+1）［￡|=5—（2〃+5）［；）,所以z;=io—（2〃+5）｛gj1

2〃+1的前〃項和7；=10—（2〃+5）（；）.

即數(shù)列

%

⑶解：由即八10_3_10+等=羅,

令人等2n-32n—57-2/z

則如-4=

2〃2.TT

當(dāng)1W〃W3時，b4>b3>b2>blf當(dāng)"24時，bn+i-bn<09即4+i<〃，即有“>瓦>?.?,

333

所以當(dāng)〃=4時，〃取得最大值，最大值為"=[,所以4之[,故％的最小值為9

888

B卷（建議用時90分鐘）

一、單選題

1.（2021?陜西臨渭?一模）已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,,若3s,=2%-3〃，貝1J電網(wǎng)=（）

A.22020-1B.3*6C.[jjD.⑷-y

【答案】A

【分析】當(dāng)〃=1時，求出q=-3,”1〃*2時，利用a.=S“-S,i可得｛。,+1｝是等比數(shù)列，求出其通項公式

即可求出結(jié)果.

【詳解】當(dāng)〃=1時，因為q=E，所以|.

當(dāng)"22時，35?=2an-3n,=2a-3（n-1）,所以a“=-2a“_1-3,即％+1=-2（%_1+1）,

所以數(shù)列｛4+1｝是以-2為首項，-2為公比的等比數(shù)列，

所以%+1=（-2）〉（一2）1=（-2）",則%儂=22°2°-1.故選：A

2.（2021?上海虹口?一模）設(shè)等差數(shù)列｛對｝的前〃項和為S“，如果-4<為<-&，貝I（）

A.$9>。且Eo>OB.Sg>0且50<0C.Sg<0且￡。>0D.SgVO且$<,<（）

【答案】B

【分析】山-4<。9<-。2可得《+。9>°，的+。9>0,結(jié)合前力項和公式，判斷S9,品的符合可得正確選項.

【詳解】???一。]<%<一。2，%+%>0,%+。9>°，

?.?數(shù)列應(yīng),｝為等差數(shù)列，...$9=（歲）9,凡=（4+；”10,Sg>0,幾<0,故選：B.

3.（2021?江蘇鹽城?高三期中）已知數(shù)列｛%｝滿足q=2,則為的值為（）

A.220B.224C.21024D.24096

【答案】C

【分析】變換得到Inan+l=4\na?,得到｛ina?｝是首項為In2,公比為4的等比數(shù)列，Ina?=4"一?In2,計算

得到答案.

【詳解】。向="：，q=2,易知a?>0,故Ina,川=41na,,故｛inaj是首項為ln2,公比為4的等比數(shù)列,

lna?=4n-|ln2,In%=4"In2—故q=2叫故選:C.

4.（2021?四川?高三期中）數(shù)列｛a,,｝滿足對，+“=4”+?！睂θ我狻?，”wN*恒成立，且4為常數(shù)，若5“是｛《,｝

的前”項和，且$10=4,=30,則$100=()

A.150B.160C.170D.180

【答案】C

4

【分析】根據(jù)已知條件得到品=5%=4,SHJO-S,,,=a9l+a92+...+a100=5al91=30,從而得到可|=不，

am=6,再根據(jù)Sl(l0=50al01=25a202=25(即+a⑼)求解即可.

【詳解】數(shù)列｛%｝滿足%+,=。,”+。,對任意加，〃￡>(*恒成立，

4

所以幾=q+a2+...+al0=5au=4,即a”=-,

Hoo-S90=%+%+....+?ioo=5ai9i=30,解得“⑼=6-

所以Sw=q+a2+....+a100=50alol=25a202=25(a],+a⑼)=170.故選：C

5.(2021?山東?棗莊市第三中學(xué)高三期中)構(gòu)造數(shù)組，規(guī)則如下：第一組是兩個1,即(草)，第二組是(1,2,1),

第三組是(1,3,2,3,1)，…，在每一組的相鄰兩個數(shù)之間插入這兩個數(shù)的和得到下一組.設(shè)第n組中有％個數(shù)，

且這%個數(shù)的和為S“(weN*).則邑021=()

A.32020+2B.32021+2C.3202,+1D.32020+1

【答案】D

【分析】觀察S.和S向的數(shù)組中的數(shù)的差異，它們之間的聯(lián)系，得出｛SJ的遞推關(guān)系式，構(gòu)造出等比數(shù)列求

得通項公式，從而易得$202°.

【詳解】設(shè)S“中數(shù)組是色也,…也)，即邑=4+&+-+”,

則S用的數(shù)組是(如4+4也也+H，…也T也T+4也),s相比s”的數(shù)組中多了這些數(shù)：

4+&,4+“，…也.2+如也_|+優(yōu)，這些數(shù)相加.除仇也只出現(xiàn)1次外，打也,…，如均出現(xiàn)2次，而仇=4=1,

所以S,M=S,+2S,,-2=3S,,-2,因此染「1=3⑸-1),又岳=2,￡-1=1*0,

所以｛S.-1｝是等比數(shù)列,公比為3,5?-1=3"-',所以S”=3"T+1.從而其⑼=3畋。+1,故選：D.

6.(2021?山東煙臺?高三期中)我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》載有一道數(shù)學(xué)問題：“今有物不知其數(shù)，三

三數(shù)之剩二，五五數(shù)值剩二，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”根據(jù)這一數(shù)學(xué)思想，所以被3除余2的自然數(shù)從

小到大組成數(shù)列｛?！埃?所有被5除余2的自然數(shù)從小到大組成數(shù)列｛4｝,把｛6｝和也｝的公共項從小到大得

到數(shù)列｛?！埃?則()

A.a3+b5=c3B.Z>28=cl0C.a5b2>c8D.c9-bg=a26

【答案】B

【分析】根據(jù)題意數(shù)列加“｝、也｝都是等差數(shù)列，從而得到數(shù)列｛、｝是等差數(shù)列，依次對選項進(jìn)行判斷可

得答案.

【詳解】根據(jù)題意數(shù)列｛6,｝是首項為2,公差為3的等差數(shù)列，氏=2+3(〃-1)=3〃-1,

數(shù)列｛〃｝是首項為2,公差為5的等差數(shù)列，”,=2+5(〃-1)=5〃-3,

數(shù)列｛%｝與也｝的公共項從小到大得到數(shù)列｛%｝,故數(shù)列k｝是首項為2,公差為15的等差數(shù)列，

%=2+15("-1)=15"-13.

對于A,a3+b5=(3x3-1)+(5x5-3)=30,c}=15x3-13=32,a3+b5^c3,錯誤

對于B,%=5x28-3=137,c10=15x10-13=137,砥=”,正確.

對于C,a5=3x5-1=14,Z>,=5x2-3=7,c8=15x8-13=107,a5/>2=14x7=98<107=c8,錯誤.

對于D,cg=