2022年吉林省吉林市普通高校對(duì)口單招高等數(shù)學(xué)一自考真題(含答案)學(xué)校:________班級(jí):________姓名:________考號(hào):________

一、單選題(20題)1.二次積分等于()A.A.

B.

C.

D.

2.

3.

4.A.A.0

B.

C.

D.∞

5.A.A.

B.

C.

D.

6.下列命題正確的是（）．A.A.

B.

C.

D.

7.

8.設(shè)un≤aυn(n=1，2，…)(a＞0)，且收斂，則()A.必定收斂B.必定發(fā)散C.收斂性與a有關(guān)D.上述三個(gè)結(jié)論都不正確

9.

10.A.A.

B.

C.

D.

11.A.

B.

C.

D.

12.

13.

14.等于()。A.-1B.-1/2C.1/2D.1

15.

16.

17.

A.0

B.cos2-cos1

C.sin1-sin2

D.sin2-sin1

18.設(shè)f'(x)=1+x，則f(x)等于()．A.A.1

B.X+X2+C

C.x++C

D.2x+x2+C

19.A.A.1/2B.1C.2D.e

20.

二、填空題(20題)21.設(shè)y=cosx，則y"=________。

22.設(shè)，則y'=______．

23.

24.

25.

26.

27.

28.29.

30.如果函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則在(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f(b)-f(a)=________。

31.

32.

33.

34.

35.設(shè)函數(shù)x=3x+y2,則dz=___________36.

37.

38.

39.

40.

三、計(jì)算題(20題)41.求微分方程的通解．42.設(shè)平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質(zhì)量m．43.

44.求函數(shù)y=x-lnx的單調(diào)區(qū)間，并求該曲線在點(diǎn)(1，1)處的切線l的方程．

45.已知某商品市場(chǎng)需求規(guī)律為Q=100e-0.25p，當(dāng)p=10時(shí)，若價(jià)格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

46.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

47.求曲線在點(diǎn)(1，3)處的切線方程．48.研究級(jí)數(shù)的收斂性(即何時(shí)絕對(duì)收斂，何時(shí)條件收斂，何時(shí)發(fā)散，其中常數(shù)a>0．49.當(dāng)x一0時(shí)f(x)與sin2x是等價(jià)無窮小量，則50.將f(x)=e-2X展開為x的冪級(jí)數(shù)．51.52.求函數(shù)一的單調(diào)區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)．53.

54.

55.56.求函數(shù)f(x)=x3-3x+1的單調(diào)區(qū)間和極值．57.證明：58.設(shè)拋物線Y=1-x2與x軸的交點(diǎn)為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內(nèi)，以線段AB為下底作內(nèi)接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設(shè)梯形上底CD長(zhǎng)為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達(dá)式；

(2)求S(x)的最大值．

59.

60.四、解答題(10題)61.設(shè)y=y(x)由方程y2-3xy+x3=1確定，求dy．62.求y"-2y'-8y=0的通解．

63.求微分方程y"-y'-2y=ex的通解。

64.

65.(本題滿分8分)

66.設(shè)z=z(x，y)由x2+y3+2z=1確定，求67.設(shè)區(qū)域D由x2+y2≤1，x≥0，y≥0所圍成．求

68.69.計(jì)算70.五、高等數(shù)學(xué)(0題)71.要造一個(gè)容積為4dm2的無蓋長(zhǎng)方體箱子，問長(zhǎng)、寬、高各多少dm時(shí)用料最省?

六、解答題(0題)72.求曲線的漸近線．

參考答案

1.A本題考查的知識(shí)點(diǎn)為交換二次積分的積分次序．

由所給二次積分限可知積分區(qū)域D的不等式表達(dá)式為：

0≤x≤1，0≤y≤1-x，

其圖形如圖1-1所示．

交換積分次序，D可以表示為

0≤y≤1，0≤x≤1-y，

因此

可知應(yīng)選A．

2.B

3.A

4.A本題考查的知識(shí)點(diǎn)為“有界變量與無窮小量的乘積為無窮小量”的性質(zhì)．這表明計(jì)算時(shí)應(yīng)該注意問題中的所給條件．

5.B

6.D本題考查的知識(shí)點(diǎn)為收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)和絕對(duì)收斂的概念．

由絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)“絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)必定收斂”可知應(yīng)選D．

7.C解析：

8.D由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判定法知，若un≤υn，則當(dāng)收斂時(shí)，也收斂；若也發(fā)散，但題設(shè)未交待un與υn的正負(fù)性，由此可分析此題選D。

9.B

10.D本題考查的知識(shí)點(diǎn)為級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)．

11.B

12.C

13.B

14.C本題考查的知識(shí)點(diǎn)為定積分的運(yùn)算。

故應(yīng)選C。

15.B解析：

16.D解析：

17.A由于定積分

存在，它表示一個(gè)確定的數(shù)值，其導(dǎo)數(shù)為零，因此選A．

18.C本題考查的知識(shí)點(diǎn)為不定積分的性質(zhì)．

可知應(yīng)選C．

19.C

20.A解析：

21.-cosx22.解析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)為導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算．

23.2

24.25.

26.3

27.

28.解析：

29.

30.f"(ξ)(b-a)由題目條件可知函數(shù)f(x)在[a，b]上滿足拉格朗日中值定理的條件，因此必定存在一點(diǎn)ξ∈(a，b)，使f(b)-f(a)=f"(ξ)(b-a)。

31.-5-5解析：

32.

33.e1/2e1/2

解析：

34.2

35.36.1．

本題考查的知識(shí)點(diǎn)為導(dǎo)數(shù)的計(jì)算．

37.7

38.

39.140.由不定積分的基本公式及運(yùn)算法則，有

41.42.由二重積分物理意義知

43.由一階線性微分方程通解公式有

44.

45.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p

∴當(dāng)P=10時(shí)價(jià)格上漲1％需求量減少2．5％需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,

∴當(dāng)P=10時(shí),價(jià)格上漲1％需求量減少2．5％

46.解：原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

47.曲線方程為，點(diǎn)(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或?qū)憺?x+y-5=0．

如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點(diǎn)

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

48.

49.由等價(jià)無窮小量的定義可知

50.

51.

52.

列表：

說明

53.

則

54.

55.

56.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

注意

57.

58.

59.

60.

61.本題考查的知識(shí)點(diǎn)為求隱函數(shù)的微分．

若y=y(x)由方程F(x，y)=0確定，求dy常常有兩種方法．

(1)將方程F(x，y)=0直接求微分，然后解出dy．

(2)先由方程F(x，y)=0求y'，再由dy=y'dx得出微分dy．62.特征方程為r2-2r-8=0特征根為r1=-2,r2=4方程的通解為

63.

64.

65.本題考查的知識(shí)點(diǎn)為求解－階線性微分方程．

所給方程為－階線性微分方程

66.本題考查的知識(shí)點(diǎn)為求二元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)．

若z=z(x，y)由方程F(x，y，z)=0確定，求z對(duì)x，y的偏導(dǎo)數(shù)通常有兩種方法：

一是利用偏導(dǎo)數(shù)公式，當(dāng)需注意F'x，F(xiàn)'yF'z分別表示F(x，y，z)對(duì)x，y，z的偏導(dǎo)數(shù)．上面式F(z，y，z)中將z，y，z三者同等對(duì)待，各看做是獨(dú)立變?cè)?/p>

二是將F(x，y，z)=0兩端關(guān)于x求偏導(dǎo)數(shù)，將z=z(x，y)看作為中間變量，可以解出同理將F(x，y，z)=0兩端關(guān)于y求偏導(dǎo)數(shù)，將z=z(x，y)看作中間變量，可以解出67.將區(qū)域D表示為

則

本題考查的知識(shí)點(diǎn)為計(jì)算二重積分．

問題的難點(diǎn)在于寫出區(qū)域D的表達(dá)式．

本題出現(xiàn)的較常見的問題是不能正確地將區(qū)域D表示出來，為了避免錯(cuò)誤，考生應(yīng)該畫出區(qū)域D的圖形，利用圖形確定區(qū)域D的表達(dá)式．

68.

69.本題考查的知識(shí)點(diǎn)為計(jì)算廣義積分．

計(jì)算廣義積分應(yīng)依廣義積分收斂性定義，將其轉(zhuǎn)化為定積分與極限兩種運(yùn)算．即

70.

71.設(shè)長(zhǎng)、寬、高分別xdmydmzdm；表面積為S=xy+2xz+2yz；又

∴x=y=2；z=1；∵實(shí)際問題有最小值∴唯一的駐點(diǎn)必取最小值答：長(zhǎng)、寬、高分別為2dm2dm1dm時(shí)用料最省。設(shè)長(zhǎng)、寬、高分別xdm,ydm,zdm；表面積為S=xy+2xz+2yz；又

∴x=y=2；z=1；∵實(shí)際問題有最小值,∴唯一的駐點(diǎn)必取最小值答：長(zhǎng)、寬、高分別為2dm,2dm,1dm時(shí)用料最省