高考數(shù)學總復習第7章第7節(jié)立體幾何中的向量方法課件理新人教A版考綱要求考情分析1.理解直線的方向向量與平面的法向量.2.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關系.3.能用向量方法證明有關直線和平面位置關系的一些定理(包括三垂線定理).4.能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題，了解向量方法在研究立體幾何問題中的應用.1.從考查內(nèi)容看，本節(jié)是高考的必考內(nèi)容，主要考查利用空間向量的坐標運算解決直線、平面間的平行、垂直關系，求空間角(異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角)及距離等問題.2.從考查形式看，主要以解答題的形式出現(xiàn)，側重于考查空間向量的應用，屬中檔題.一、直線的方向向量和平面的法向量1．直線的方向向量直線l上的向量e或與e

的向量叫做直線l的方向向量，顯然一條直線的方向向量有

個．共線無數(shù)2．平面的法向量如果表示向量n的有向線段所在直線垂直于平面α，則稱這個向量垂直于平面α，記作n⊥α，此時向量n叫做平面α的法向量．顯然一個平面的法向量也有

個，且它們是

向量．無數(shù)多共線1．求平面法向量的一般步驟是什么？二、利用空間向量求角1．求兩條異面直線所成的角設a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則|cos〈a，n〉|(2)設n1，n2分別是二面角α－l－β的兩個面α、β的法向量，則向量n1與n2的夾角(或其補角)的大小就是

(如圖②③)．

二面角的平面角的大小求出兩平面法向量的夾角后，一定要根據(jù)圖形來判斷二面角的大小與兩法向量夾角的關系，然后得出結論．2．點到平面的距離公式如何推導？1．若直線l1，l2的方向向量分別為a＝(2，4，－4)，b＝(－6，9，6)，則(

)A．l1∥l2

B．l1⊥l2C．l1與l2相交但不垂直 D．以上均不正確解析：∵a·b＝2×(－6)＋4×9＋6×(－4)＝0，∴a⊥b，從而l1⊥l2.答案：B2．若平面α與平面β的法向量分別是a＝(4，0，－2)，b＝(－4，0，2)，則平面α與β的位置關系是(

)A．平行 B．垂直C．相交但不垂直 D．無法判斷解析：由題意，有a＝－b，∴a與b共線，從而α與β平行．答案：A4．已知兩平面的法向量分別為m＝(0，1，0)．n＝(0，1，1)，則兩平面所成二面角的大小為________．5．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M是AB的中點，則對角線DB1與CM所成角的余弦值為________．

【考向探尋】1．利用空間向量證明平行關系．2．利用空間向量證明垂直關系．【典例剖析】(1)若直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，能使l∥α的是A．a(chǎn)＝(1，0，0)，n＝(－2，0，0)B．a(chǎn)＝(1，3，5)，n＝(1，0，1)C．a(chǎn)＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1)D．a(chǎn)＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1)(2)如圖，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分別為B1A、C1C、BC的中點．求證：①DE∥平面ABC；②B1F⊥平面AEF.題號分析(1)根據(jù)a，n是否垂直進行判斷.(2)建立空間直角坐標系，運用向量法證明.(1)解析：若l∥α，則需a·n＝0即可，經(jīng)驗證知D滿足．答案：D(1)用向量證平行的方法線線平行證明兩直線的方向向量共線．線面平行①證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；②證明直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行；③證明該直線的方向向量可以用平面內(nèi)的兩個不共線的向量線性表示．面面平行①證明兩平面的法向量為平行(即為共線向量)；②轉化為線面平行、線線平行問題.(2)用向量證明垂直的方法線線垂直證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證他們的數(shù)量積為零．線面垂直證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或利用線面垂直的判定定理轉化為證明線面垂直．面面垂直證明兩個平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理轉化為證明線面垂直.用向量證明平行、垂直時，要注意解題的規(guī)范性。如證明線面平行時，仍需要體現(xiàn)出一條直線在平面內(nèi)、另一條直線在平面外的答題步驟．【活學活用】1.如圖所示，在四棱錐P－ABCD

中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，點M在PB上，PB＝4PM，PB與平面ABCD成30°的角．求證：(1)CM∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PAD.

證明：以C為坐標原點，CB為x軸，CD為y軸，CP為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系C－xyz.∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC為PB與平面ABCD所成的角，∴∠PBC＝30°，【考向探尋】1．利用空間向量求兩異面直線所成的角，線面角、二面角的大?。?．利用空間向量求空間中的距離問題．(2)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E為BB1的中點，則點C1到平面A1ED的距離是________．

(1)建立坐標系，利用向量法求線面角．(2)建立坐標系，利用向量法求點到面的距離．(3)①用幾何法證明；②用向量法求解．

(3)①證明：連接BD，因為M，N分別是PB，PD的中點，所以MN是△PBD的中位線，所以MN∥BD.又因為MN?平面ABCD，BD?平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.②(1)空間角的求法①異面直線所成的角設異面直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2，他們所成的角為θ，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|.②直線與平面所成的角設直線l的方向向量為m，平面α的法向量為n，直線和平面所成的角為θ，則sinθ＝|cos〈m，n〉|.【活學活用】2．已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a.(1)求點C1到平面AB1D1的距離；(2)求平面CDD1C1與平面AB1D1所成的二面角的余弦值．

【考向探尋】利用空間向量解決探索性問題．【典例剖析】(2012·福建高考)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD的中點．(1)求證：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一點P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由；(3)若二面角A-B1E-A1的大小為30°，求AB的長．

探索性問題的分類及解題策略探索性問題分為存在判斷型和位置判斷型兩種．(1)存在性判斷問題的解題策略是：先假設存在，并在假設的前提下進行推理，若不出現(xiàn)矛盾則肯定存在，若出現(xiàn)矛盾則否定假設．【活學活用】3．(2012·北京高考)如圖(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分別是AC，AB上的點，且DE∥BC，DE＝2，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如圖(2)．

(1)求證：A1C⊥平面BCDE；(2)若M是A1D的中點，求CM與平面A1BE所成角的大??；(3)線段BC上是否存在點P，使平面A1DP與平面A1BE垂直？說明理由．(1)證明：∵AC⊥BC，DE∥BC，∴DE⊥A