備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)專題訓(xùn)練專題13導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用一、單選題某蓮藕種植塘毎年的固定成本是1萬元，毎年最大規(guī)模的種植是8萬斤，毎種植一斤藕，成本增加0.5元，如果銷售額函數(shù)是f(x)=?18x3+916ax2+1A.8萬斤 B.6萬斤 C.3萬斤 D.5萬斤【答案】B【解析】解：設(shè)銷售利潤(rùn)為g(x)，得g(x)=?18x3+916ax2+12x?1?12x

=?18x3+916ax2?1，

當(dāng)x=2時(shí)，g(2)=?1第14屆全運(yùn)會(huì)將于2020年在陜西西安舉行，其中水上項(xiàng)目將在西安奧體中心游泳跳水館進(jìn)行，為了應(yīng)對(duì)比賽，大會(huì)組委會(huì)將對(duì)泳池進(jìn)行檢修，已知泳池深度為2m，其容積為2500m3，如果池底每平方米的維修費(fèi)用為150元，設(shè)入水處的較短池壁長(zhǎng)度為x，且據(jù)估計(jì)較短的池壁維修費(fèi)用與池壁長(zhǎng)度成正比，且比例系數(shù)為425kk>0，較長(zhǎng)的池壁維修費(fèi)用滿足代數(shù)式2500kx2A.25 B.30 C.35 D.40【答案】A【解析】解：設(shè)泳池維修的總費(fèi)用為y元，則由題意得

y=1250×150+825kx+2500kx2k>0

則y'=825k?5000kx3．

令y'=0，解得x=25．

當(dāng)0<x<25時(shí)，y'<0；

當(dāng)x>25時(shí)，y'>0，

故當(dāng)如果圓柱的軸截面的周長(zhǎng)l為定值，則圓柱體積的最大值為(????)A.(l6)3π B.19(【答案】A【解析】解：圓柱底面半徑R，高H，圓柱軸截面的周長(zhǎng)l為定值：

4R+2H=l，

H=l2?2R，

V=SH=πR2H=πR2(l2?2R)=πR2l2?2πR3，

求導(dǎo)：

V'=πRl?6πR2，令V'=0，

πRl?6πR2設(shè)曲線y=sinx上任一點(diǎn)(x,y)處切線斜率為g(x)，則函數(shù)y=x2g(x)的部分圖象可以為(????)A. B.

C. D.【答案】C【解析】解：曲線y=sinx上任一點(diǎn)(x,y)處切線斜率為g(x)，

∴g(x)=cosx，

則函數(shù)y=x2g(x)=x2?cosx，

設(shè)f(x)=x2?cosx，

f(?x)=?x2·cos?x=x2·cosx=f(x)，

∴y=f(x)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于一窗戶的上部是半圓，下部是矩形，大致圖形如圖所示，如果窗戶面積為S，為使窗戶周長(zhǎng)最小，用料最省，圓的半徑應(yīng)為(????)A.3Sπ+4

B.Sπ+4

C.2Sπ+4

【答案】C【解析】解：設(shè)窗戶面積為S，周長(zhǎng)為L(zhǎng)，圓的半徑為x，矩形高為h，

則，，

∴窗戶的周長(zhǎng)，

，由L'=0，得，

時(shí)，L'<0，時(shí)，L'>0，

∴當(dāng)時(shí)，L取最小值，

故選C．

如圖，將邊長(zhǎng)為1的正六邊形鐵皮的六個(gè)角各切去一個(gè)全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個(gè)無蓋的正六棱柱容器．當(dāng)這個(gè)正六棱柱容器的底面邊長(zhǎng)為(????)時(shí)，其容積最大．A.34

B.23

C.13

【答案】B【解析】設(shè)被切去的全等四邊形的一邊長(zhǎng)為x，如圖所示，

則正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為1?2x，高為

3x，

所以正六棱柱的體積V=6×12×sin60°×(1?2x)2×

3x

=6×

34(1?2x)

?2×

3x

=

92(4x

?3?4x

?2+x)

0<x<12，

則V'=

92(12x

?2?8x+1)．

令V'=0，得x=

12(舍去)或x=

16．

當(dāng)x∈

一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為10，四個(gè)這樣相同等腰三角形底邊圍成正方形，如圖，若這四個(gè)三角形都繞底邊旋轉(zhuǎn)，四個(gè)頂點(diǎn)能重合在一起，構(gòu)成一個(gè)四棱錐，則圍成的四棱錐的體積的最大值為(????)A.500281 B.500227 C.53【答案】A【解析】解：四棱錐如圖，

設(shè)底面正方形邊長(zhǎng)的一半為x，

則有AO=(5?x)2?x2?x2=?x2?10x+25，

V=43?x2??x2?10x+25=43?x6?10x5+25x4．

設(shè)y=?x6?10x5+25x傳說《西游記》中孫悟空的“如意金箍棒”原本是東海海底的一枚“定海神針”作為兵器，“如意金箍棒”威力巨大，且只有孫悟空能讓其大小隨意變化。假定孫悟空在使用“定海神針”與各路妖怪打斗時(shí)，都將其變化為底面半徑為4cm至10cm之間的圓柱體?，F(xiàn)假定孫悟空剛與一妖怪打斗完畢，并降伏了此妖怪，此時(shí)“定海神針”的底面半徑為10cm，長(zhǎng)度為dcm。在此基礎(chǔ)上，孫悟空使“定海神針”的底面半徑以每秒1cm勻速縮短，同時(shí)長(zhǎng)度以每秒40cm勻速增長(zhǎng)，且在這一變化過程中，當(dāng)“定海神針”的底面半徑為7cm時(shí)，其體積最大，此時(shí)“定海神針”的長(zhǎng)度d為(

)cmA.20 B.40 C.60 D.80【答案】A【解析】解：依題意，設(shè)變化時(shí)間為x，變化過程中，其底面半徑為10?x(cm)，長(zhǎng)度為d+40x(cm)，

可得f(x)=π(10?x)2(d+40x)，

由4?10?x?10可得0≤x≤6.

f'(x)=2π(x?10)(40x+d)+40π(x?10)2=2π(x?10)(60x+d?200)，

令f'(x)=0可得x=10(舍)或x=d?20060，

∵金箍棒底面半徑為7cm時(shí)，其體積最大．

故x=3為f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn)，∴d?20060已知a>0，b∈R，且ex≥a(x?1)+b對(duì)x∈R恒成立，則a2b的最大值為A.12e5 B.13e5 【答案】B【解析】解：設(shè)f(x)=ex?a(x?1)?b，

可得f'(x)=ex?a，

當(dāng)a≤0時(shí)，f'(x)>0，f(x)遞增，f(x)無最小值；

當(dāng)a>0時(shí)，x>lna時(shí)，f'(x)>0，f(x)遞增；x<lna時(shí)，f'(x)<0，f(x)遞減，

可得x=lna處，f(x)取得最小值2a?alna?b，

由ex≥a(x?1)+b對(duì)x∈R恒成立，可得b≤2a?alna，

則a2b≤2a3?a3lna，

設(shè)g(a)=2a3?a3lna，g'(a)=6a2?(3a2lna+a2)=5a2?3某蓮藕種植塘每年的固定成本是1萬元，每年最大規(guī)模的種植量是8萬斤，每種植一斤藕，成本增加0.5元.如果銷售額函數(shù)是f(x)=?18x3+916ax2+12x(xA.8萬斤 B.6萬斤 C.3萬斤 D.5萬斤【答案】B【解析】解：設(shè)銷售利潤(rùn)為g(x)，得g(x)=?18x3+916ax2+12x?1?12x=?18x3+916ax2?1，

當(dāng)x=2時(shí)，g(2)=?1若關(guān)于x的不等式xlnx+12x2?2x?kx?k<0的解集為a,ba<b，且a,b內(nèi)只有一個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是A.[?34,ln4?23) B.[3【答案】D【解析】解：不等式，

即，

令，

gx=kx+k，

f'x=lnx+x?1，

gx過點(diǎn)M?1,0，當(dāng)x=1時(shí)，

f'x=0，當(dāng)x>1時(shí)，f'x>0,fx為增函數(shù)，

當(dāng)0<x<1時(shí)，f'x<0,fx為減函數(shù)，

則fx的最小值為f(1)=?32，

記A1,?32，，記B2,ln4?2，

如圖，有一塊半圓形鋼板，計(jì)劃裁剪成等腰梯形ABCD的形狀，它的下底AB是圓O的直徑，上底CD的端點(diǎn)在圓周上.為研究這個(gè)梯形周長(zhǎng)的變化情況，有以下兩種方案，方案一：設(shè)腰長(zhǎng)AD=x，周長(zhǎng)為f?(x)；方案二：設(shè)∠BAD=θ，周長(zhǎng)g(θ)，當(dāng)x，θ在定義域內(nèi)增大時(shí)

(

)

A.f(x)先增大后減小，g(θ)先減小后增大

B.f(x)先增大后減小，g(θ)先增大后減小

C.f(x)先減小后增大，g(θ)先增大后減小

D.f(x)先減小后增大，g(θ)先減小后增大【答案】A【解析】解：方案一：如圖所示，連接OD，OC，則OC=OD=OA=OB=R，

在△OAD中，設(shè)∠AOD=θ，AD=x，由余弦定理，得

x2=2R2?2R2?cosθ，θ∈(0,90°)，

∴cosθ=2R2?x22R2；x∈(0,2R)．

在△OCD中，∠COD=180°?2θ，

同理DC2=2R2?2R2?cos(180°?2θ)

=2R2(1+cos2θ)=2R2?2cos2θ=4R2?cos2θ，

∴DC=2R?cosθ=2R?2R2?x22R2=2R?x2R二、填空題如圖，有一塊半徑為2的半圓形鋼板，計(jì)劃裁剪成等腰梯形ABCD的形狀，它的下底AB是圓O的直徑，上底C、D的端點(diǎn)在圓周上，則所裁剪出的等腰梯形面積最大為________．【答案】33【解析】解：連接OD，過C，D分別作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)．

設(shè)∠AOD=θ(θ∈(0,π2))．

OE=2cosθ，DE=2sinθ．

可得CD=2OE=4cosθ，

∴梯形ABCD的面積S=12(4+4cosθ)×2sinθ

=4sinθ(1+cosθ)，

S2=16sin2θ(1+2cosθ+cos2θ)

=16(1?cos2θ)(1+2cosθ+cos2θ)

令cosθ=t∈(0,1)．

則S2=16(1?t2)(1+2t+t2)=f(t)．

則f'(t)=?32(t+1)2(2t?1)．

f'某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品x件的總成本C(x)=1200+127x2(單位：萬元)，又知產(chǎn)品單價(jià)的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比，生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品單價(jià)為50萬元，則產(chǎn)量定為【答案】225【解析】【解答】解：設(shè)產(chǎn)品單價(jià)為m，

因?yàn)楫a(chǎn)品單價(jià)的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比，所以m2=kx(其中k為非零常數(shù))，

又生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品時(shí)，單價(jià)為50萬元，

所以502=k100，解得k=250000，則m2=250000x．

記生產(chǎn)x件產(chǎn)品時(shí)，總利潤(rùn)為f(x)，

則f(x)=mx?C(x)=500x?1200?127x2(x>0)，f'(x)=250x?227x，

由f'(x)>0得為滿足人民對(duì)美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改，設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時(shí)間t的關(guān)系為W=f(t)，用?f(b)?f(a)b?a的大小評(píng)價(jià)在[a,b]這段時(shí)間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱，已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系如下圖所示．

給出下列四個(gè)結(jié)論：①在t1,②在t2時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；③在t3時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)；④甲企業(yè)在0,t1,t其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是____________________．【答案】①②③【解析】解：設(shè)甲企業(yè)的污水排放量W與時(shí)間t的關(guān)系為W=f(t)，乙企業(yè)的污水排放量W與時(shí)間t的關(guān)系為W=g(t)．

對(duì)于①，在[t1,t2]這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力為?f(t2)?f(t1)t2?t1，

乙企業(yè)的污水治理能力為?g(t2)?g(t1)t2?t1．

由圖可知，f(t1)?f(t2)>g(t1)?g(t2)，∴?f(t2)?f(t1)t2?t1>?g(t2)?g(t1)t2如圖，平面內(nèi)△AOB，△COD均為等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，OA=2，OC=1，點(diǎn)C在△AOB的內(nèi)部(不包括邊界)，△ACB，△BO