2022年湖南省益陽市普通高校對口單招高等數學一自考真題(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.

2.

3.

4.

5.當x→0時，與x等價的無窮小量是（）

A.

B.ln(1+x)

C.

D.x2(x+1)

6.微分方程y＋y＝0的通解為（）．A.A.

B.

C.

D.

7.A.A.sinx+sin2B.-sinx+sin2C.sinxD.-sinx

8.

9.

10.

11.

12.設函數f(x)在區(qū)間(0，1)內可導，f'(x)＞0，則在(0，1)內f(x)()．A.單調增加B.單調減少C.為常量D.既非單調，也非常量

13.

14.A.A.發(fā)散B.條件收斂C.絕對收斂D.無法判定斂散性

15.曲線y=x2+5x+4在點(-1，0)處切線的斜率為

A.2B.-2C.3D.-316.微分方程y'+y=0的通解為()。A.y=ex

B.y=e-x

C.y=Cex

D.y=Ce-x

17.設y=2x3，則dy=()

A.2x2dx

B.6x2dx

C.3x2dx

D.x2dx

18.設函數f(x)在[0，b]連續(xù)，在(a，b)可導，f′(x)>0．若f(a)·f(b)<0，則y=f(x)在(a，b)()．

A.不存在零點

B.存在唯一零點

C.存在極大值點

D.存在極小值點

19.設函數y=2x+sinx，則y'=

A.1+cosxB.1-cosxC.2+cosxD.2-cosx

20.

二、填空題(20題)21.

22.設函數x=3x+y2,則dz=___________

23.

24.

25.

26.

27.

28.=______．

29.

30.31.

32.

33.

34.設f(x)=xex，則f'(x)__________。

35.

36.

37.

38.

39.

40.

三、計算題(20題)41.求函數y=x-lnx的單調區(qū)間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．

42.已知某商品市場需求規(guī)律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

43.

44.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發(fā)散，其中常數a>0．45.

46.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

47.求微分方程的通解．48.設平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．49.求曲線在點(1，3)處的切線方程．

50.

51.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區(qū)間和極值．52.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則53.

54.

55.56.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．57.證明：58.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

59.

60.求函數一的單調區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點．四、解答題(10題)61.

62.計算其中D是由y=x,x=0，y=1圍成的平面區(qū)域．63.求y"-2y'-8y=0的通解．64.

65.

66.67.

68.設y=x2+2x，求y'。

69.

70.五、高等數學(0題)71.求y=ln(x2+1)的凹凸區(qū)間，拐點。

六、解答題(0題)72.

參考答案

1.B

2.C

3.B解析：

4.D

5.B?

6.D本題考查的知識點為－階微分方程的求解．

可以將方程認作可分離變量方程；也可以將方程認作－階線性微分方程；還可以仿二階線性常系數齊次微分方程，并作為特例求解．

解法1將方程認作可分離變量方程．

解法2將方程認作－階線性微分方程．由通解公式可得

解法3認作二階常系數線性齊次微分方程特例求解：

特征方程為r＋1＝0，

特征根為r＝－1，

7.D

8.D

9.B

10.D

11.C

12.A由于f(x)在(0，1)內有f'(x)＞0，可知f(x)在(0，1)內單調增加，故應選A．

13.B

14.C

15.C解析：

16.D可以將方程認作可分離變量方程；也可以將方程認作一階線性微分方程；還可以仿二階線性常系數齊次微分方程，并作為特例求解。解法1將方程認作可分離變量方程。分離變量

兩端分別積分

或y=Ce-x解法2將方程認作一階線性微分方程．由通解公式可得解法3認作二階常系數線性齊次微分方程特例求解：特征方程為r+1=0，特征根為r=-1，方程通解為y=Ce-x。

17.B

18.B由于f(x)在[a，b]上連續(xù)f(z)·fb)<0，由閉區(qū)間上連續(xù)函數的零點定理可知，y=f(x)在(a，b)內至少存在一個零點．又由于f(x)>0，可知f(x)在(a，b)內單調增加，因此f(x)在(a，b)內如果有零點，則至多存在一個．

綜合上述f(x)在(a，b)內存在唯一零點，故選B．

19.D本題考查了一階導數的知識點。因為y=2x+sinx，則y'=2+cosx.

20.A

21.

22.

23.

24.e-3/2

25.

26.本題考查了一元函數的一階導數的知識點。

27.6x228.本題考查的知識點為定積分的換元積分法。設t=x/2，則x=2t，dx=2dt．當x=0時，t=0；當x=π時，t=π/2。因此

29.(2x-y)dx+(2y-x)dy(2x-y)dx+(2y-x)dy解析：

30.tanθ-cotθ+C31.x—arctanx+C．

本題考查的知識點為不定積分的運算．

32.π/4

33.

34.(1+x)ex

35.

36.

37.

38.1/2本題考查了對∞-∞型未定式極限的知識點，

39.

40.(-33)(-3,3)解析：

41.

42.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

43.

則

44.

45.

46.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

47.48.由二重積分物理意義知

49.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

50.

51.函數的定義域為

注意

52.由等價無窮小量的定義可知

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.由一階線性微分方程通解公式有

60.

列表：

說明

61.

62.本題考查的知識點為二重積分運算和選擇二次積分次序．

由于不能用初等函數形式表示，因此不能先對y積分，只能選取先對x積分后對y積分的次序．

通常都不能由初等函數形式表示，即不可積分，考生應該記住這兩個常見的形式．63.特征方程為r2-2r-8=0特征根為r1=-2,r2=4方程的通解為

64.

65.

66.

67.

68.y=x2+2xy'=(x2)'+(2x)=2x+2xIn2。y=x2+2x，