8.1二分法與求方程近似解

（第一課時）函數(shù)的零點課標要求素養(yǎng)要求1.結合學過的函數(shù)圖象與性質(zhì)，了解函數(shù)零點與方程解的關系.2.了解零點存在性定理、會判斷函數(shù)零點的個數(shù).通過本節(jié)內(nèi)容的學習，使學生體會轉(zhuǎn)化思想在研究函數(shù)中的作用，提升學生的數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象素養(yǎng).新知探究路邊有一條河，小明從A點走到了B點.觀察下列兩組畫面，并推斷哪一組能說明小明的行程一定曾渡過河？將這個實際問題抽象成數(shù)學模型.問題如圖，若將河看成x軸，建立平面直角坐標系，A，B是人的起點和終點，則點A，B應該滿足什么條件就能說明小明的行程一定曾渡過河？提示只要滿足點A與點B分布在x軸的兩側(cè)即可，即圖中A處的函數(shù)值與B處的函數(shù)值符號相反，這也是我們將要學習的零點的相關知識.1.函數(shù)的零點注意零點不是點，而是一個實數(shù)(1)概念：一般地，我們把使函數(shù)y＝f(x)的值為____的實數(shù)x稱為函數(shù)y＝f(x)的零點.(2)函數(shù)的零點、函數(shù)的圖象與x軸的交點、對應方程根的關系.0f(x)＝0橫坐標2.零點存在性定理 一般地，若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條不間斷的曲線，且___________，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上有零點.f(a)·f(b)<0基礎自測[判斷題]2.若函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)有零點，則f(a)f(b)<0.() 提示反例：f(x)＝x2－2x在區(qū)間(－1，3)內(nèi)有零點，但f(－1)·f(3)>0.××3.若函數(shù)f(x)的圖象在區(qū)間[a，b]上是一條連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，則f(x)在(a，b)內(nèi)只有一個零點.() 提示反例：f(x)＝x(x－1)(x－2)，區(qū)間為(－1，3)，滿足條件，但f(x)在(－1，3)內(nèi)有0，1，2三個零點.4.若函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上圖象連續(xù)，且f(a)f(b)>0，則y＝f(x)在(a，b)內(nèi)一定沒有零點.() 提示不正確，如函數(shù)f(x)＝x2在[－1，1]上有零點為0.××[基礎訓練]1.下列各圖象表示的函數(shù)中沒有零點的是()解析D中函數(shù)的圖象與x軸無交點，故函數(shù)無零點，故選D.答案D2.二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c中，ac<0，則函數(shù)的零點個數(shù)是() A.1個 B.2個 C.0個 D.無法確定解析∵Δ＝b2－4ac，ac<0，∴Δ>0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有兩個根，故函數(shù)有兩個零點.答案BA.(－1，0) B.x＝－1C.x＝1 D.x＝0答案B答案B[思考]提示f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，它在(－1，1)上不是連續(xù)的，不能用零點存在定理判定.事實上，∵f(x)∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，∴f(x)無零點.2.若函數(shù)y＝f(x)不滿足零點存在定理的兩個條件，這個函數(shù)可能有零點嗎？提示可能有零點，也可能沒有零點.3.在零點存在定理中，若f(a)·f(b)<0，則函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)存在零點.則滿足什么條件時f(x)在(a，b)上有唯一零點？ 提示滿足f(x)在(a，b)內(nèi)連續(xù)且單調(diào)，且f(a)·f(b)<0.題型一求函數(shù)的零點【例1】(1)函數(shù)f(x)＝x2－2x－3的零點為________. (2)若x＝2是f(x)＝x2－mx－3的一個零點，則m的值為________.解析(1)令x2－2x－3＝0，∴x＝3或－1，∴f(x)＝x2－2x－3的零點為3，－1.(2)由題意知f(2)＝4－2m－3＝0，【遷移】(變換結論)(1)函數(shù)f(x)＝x2－mx＋3在R上有兩個不同的零點，則m的取值范圍為________. (2)函數(shù)f(x)＝x2－mx－3在(1，2)上有唯一的零點，則m的取值范圍為________.解析(1)函數(shù)f(x)＝x2－mx＋3在R上有兩個不同的零點，等價于方程x2－mx＋3＝0有兩個不等實根.(2)法一f(x)＝x2－mx－3在(1，2)上有唯一的零點，則x2－mx－3＝0在(1，2)上有唯一的實數(shù)根，法二∵f(x)＝x2－mx－3是開口向上的拋物線且f(0)＝－3.規(guī)律方法探究函數(shù)零點的兩種求法(1)代數(shù)法：求方程f(x)＝0的實數(shù)根，若存在實數(shù)根，則函數(shù)存在零點，否則函數(shù)不存在零點.(2)幾何法：與函數(shù)y＝f(x)的圖象聯(lián)系起來，圖象與x軸的交點的橫坐標即為函數(shù)的零點.【訓練1】(1)函數(shù)f(x)＝ax＋b有一個零點是2，那么函數(shù)g(x)＝bx2－ax的零點是________. (2)函數(shù)f(x)＝(lgx)2－lgx的零點為________.解析(1)∵函數(shù)f(x)＝ax＋b有一個零點是2，∴2a＋b＝0?b＝－2a，∴g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1).(2)由(lgx)2－lgx＝0，得lgx(lgx－1)＝0，∴l(xiāng)gx＝0或lgx＝1，∴x＝1或x＝10.題型二判斷或證明函數(shù)零點的存在性【例2】求證：函數(shù)f(x)＝x3－3x＋2至少有一個零點.證明法一∵f(x)＝x3－3x＋2＝x3－1－3(x－1)＝(x－1)2(x＋2)，∴f(x)有兩個零點為－2，1.故f(x)至少有一個零點.法二由f(x)＝x3－3x＋2，得f(0)＝2，f(－3)＝－16，又∵f(x)圖象在[－3，0]上是一條連續(xù)曲線，∴由函數(shù)零點存在定理，知f(x)在[－3，0]上至少有一個零點.規(guī)律方法1.若函數(shù)的零點易求，可直接求出零點，否則利用函數(shù)零點存在定理判斷.2.利用函數(shù)零點存在定理時，關鍵在于找準區(qū)間，且只能判定在區(qū)間上零點的存在性，但需注意，不滿足定理的條件，也可能存在零點，另外要判定有幾個零點，需結合函數(shù)的性質(zhì)或圖象進行判定.【訓練2】證明：函數(shù)f(x)＝2x＋x在R上有零點.f(0)＝20＋0＝1>0，且函數(shù)f(x)在R上的圖象是不間斷的，所以函數(shù)f(x)在(－1，0)上有零點，從而f(x)＝2x＋x在R上有零點.題型三函數(shù)零點個數(shù)問題【例3】求函數(shù)f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零點個數(shù).解法一∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg2－2>0，∴f(x)在(0，1)上必定存在零點.又顯然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上為增函數(shù).故函數(shù)f(x)有且只有一個零點.法二在同一坐標系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草圖.由圖象知g(x)＝lg(x＋1)的圖象和h(x)＝2－2x圖象有且只有一個交點，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一個零點.規(guī)律方法判斷函數(shù)零點個數(shù)的四種常用方法(1)利用方程根，轉(zhuǎn)化為解方程，有幾個不同的實數(shù)根就有幾個零點.(2)畫出函數(shù)y＝f(x)的圖象，判定它與x軸的交點個數(shù)，從而判定零點的個數(shù).(3)結合單調(diào)性，利用零點存在性定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零點的個數(shù).(4)轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)圖象的交點問題.A.0 B.1 C.2 D.3答案C題型四判斷函數(shù)零點所在的區(qū)間【例4】(1)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的部分對應值如下表：不求a，b，c的值，判斷方程ax2＋bx＋c＝0的兩根所在區(qū)間是()A.(－3，－1)和(2，4)B.(－3，－1)和(－1，1)C.(－1，1)和(1，2)D.(－∞，－3)和(4，＋∞)x－3－2－101234y6m－4－6－6－4n6答案(1)A(2)C解析(1)易知f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，又f(－3)f(－1)＝6×(－4)＝－24<0，所以f(x)在(－3，－1)內(nèi)有零點，即方程ax2＋bx＋c＝0在(－3，－1)內(nèi)有根，同理方程ax2＋bx＋c＝0在(2，4)內(nèi)有根.故選A.規(guī)律方法確定函數(shù)f(x)零點所在區(qū)間的常用方法(1)解方程法：當對應方程f(x)＝0易解時，可先解方程，再看求得的根是否落在給定區(qū)間上.(2)利用函數(shù)零點存在定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點.(3)數(shù)形結合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷.【訓練4】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以斷定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一個根所在的區(qū)間是()A.(－1，0) B.(0，1)C.(1，2) D.(2，3)x－10123ex0.3712.727.4020.12x＋212345解析令f(x)＝ex－(x＋2)，則f(－1)≈0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)≈2.72－3<0，f(2)≈7.40－4＝3.40>0.由于f(1)·f(2)<0，∴方程ex－(x＋2)＝0的一根在(1，2)內(nèi).答案C一、課堂小結1.通過學習函數(shù)零點與方程根的關系培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng)，通過學習零點存在定理判斷零點的個數(shù)及判斷零點所在區(qū)間提升邏輯推理、直觀想象素養(yǎng).2.在函數(shù)零點存在定理中，要注意三點：(1)函數(shù)是不間斷的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一個零點.3.方程f(x)＝g(x)的根是函數(shù)f(x)與g(x)的圖象交點的橫坐標，也是函數(shù)y＝f(x)－g(x)的圖象與x軸交點的橫坐標.4.函數(shù)與方程有著密切的聯(lián)系，有些方程問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題求解，同樣，函數(shù)問題有時可以轉(zhuǎn)化為方程問題，這正是函數(shù)與方程思想的基礎.二、課堂檢測1.函數(shù)f(x)＝4x－2x－2的零點是()解析由f(x)＝4x－2x－2＝(2x－2)(2x＋1)＝0得2x＝2，解得x＝1.答案B答案B3.若函數(shù)f(x)＝mx－1在(0，1)內(nèi)有零點，則實數(shù)m的取值范圍是________.解析f(0)＝－1，要使函數(shù)f(x)＝mx－1在(0，1)內(nèi)有零點，需f(1)＝m－1>0，即m>1.答案(1，＋∞)4.已知函數(shù)f(x)＝2x－3x，則函數(shù)f(x)的零點個數(shù)是________.解析法一令f(x)＝0，則2x＝3x，在同一坐標系中分別作出y＝2x和y＝3x的圖象(圖略)，由圖知函數(shù)y＝2x和y＝3x的圖象有2個交點，所以函數(shù)f(x)的