字相乘法教案十字相乘法進(jìn)行因式分解

(1)理解二次三項(xiàng)式的意義；

(2)理解十字相乘法的根據(jù)；

(3)能用十字相乘法分解二次三項(xiàng)式；

(4)重點(diǎn)是掌握十字相乘法，難點(diǎn)是首項(xiàng)系數(shù)不為1的二次三項(xiàng)式的十字相乘法.

1.二次三項(xiàng)式多項(xiàng)式a2bc,稱(chēng)為字母的二次三項(xiàng)式，其中a2稱(chēng)為二次項(xiàng)，b為一次項(xiàng)，c為常數(shù)項(xiàng).例如，223和256都是關(guān)于的二次三項(xiàng)式.22在多項(xiàng)式6y8y中，如果把y看作常數(shù)，就是關(guān)于的二次三項(xiàng)式；如果把看作常數(shù)，就是關(guān)于y的二次三項(xiàng)式.在多項(xiàng)式2a2b27ab3中，把a(bǔ)b看作一個(gè)整體，即2（ab）27（ab）3，就是關(guān)于ab的二次三項(xiàng)式同樣，多項(xiàng)式（y）27（y）12，把y看作一個(gè)整體，就是關(guān)于y的二次三項(xiàng)式.十字相乘法是適用于二次三項(xiàng)式的因式分解的方法.2十字相乘法的依據(jù)和具體內(nèi)容利用十字相乘法分解因式，實(shí)質(zhì)上是逆用（ab）（cd）豎式乘法法那么.它的一般規(guī)律是：

(1)對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式2pq，如果能把常數(shù)項(xiàng)q分解成兩個(gè)因數(shù)a,b的積，并且ab為一次項(xiàng)系數(shù)p,那么它就可以運(yùn)用公式2（ab）ab（a）（b）分解因式.這種方法的特征是“拆常數(shù)項(xiàng)，湊一次項(xiàng).公式中的可以表示單項(xiàng)式，也可以表示多項(xiàng)式，當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為正數(shù)時(shí)，把它分解為兩個(gè)同號(hào)因數(shù)的積，因式的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同；當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)時(shí)，把它分解為兩個(gè)異號(hào)因數(shù)的積，其中絕對(duì)值較大的因數(shù)的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相

(2)對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)不是1的二次三項(xiàng)式a2bc（a,b,c都是整數(shù)且a*0）來(lái)說(shuō)，如果存在四個(gè)整數(shù)aa2,c!,c2，使a1a2a，qc2c，且a1c2a2c1b，那么abcaja2（aca2）GC2（aj）（a2C2）它的特征是“拆兩頭，湊中間，這里要確定四個(gè)常數(shù)，分析和嘗試都要比首項(xiàng)系數(shù)是1的情況復(fù)雜，因此，一般要借助“畫(huà)十字交叉線的方法來(lái)確定學(xué)習(xí)時(shí)要注意符號(hào)的規(guī)律為了減少?lài)L試次數(shù)，使符號(hào)問(wèn)題簡(jiǎn)單化，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，先提出負(fù)號(hào)，使二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)，然后再看常數(shù)項(xiàng)；常數(shù)項(xiàng)為正數(shù)時(shí)，應(yīng)分解為兩同號(hào)因數(shù)，它們的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同；常數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)時(shí)，應(yīng)將它分解為兩異號(hào)因數(shù)，使十字連線上兩數(shù)之積絕對(duì)值較大的一組與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同.用十字相乘法分解因式，還要注意防止以下兩種錯(cuò)誤出現(xiàn)：一是沒(méi)有認(rèn)真地驗(yàn)證交叉相乘的兩個(gè)積的和是否等于22一次項(xiàng)系數(shù)；二是由十字相乘寫(xiě)出的因式漏寫(xiě)字母.如：56y8y（2）（54）（使交叉相乘再相加后的和等于一次項(xiàng)系數(shù)，在橫向?qū)懗龇e的形式。）3因式分解一般要遵循的步驟多項(xiàng)式因式分解的一般步驟：先考慮能否提公因式，再考慮能否運(yùn)用公式或十字相乘法，最后考慮分組分解法.對(duì)首先提取公因式，然后考于一個(gè)還能繼續(xù)分解的多項(xiàng)式因式仍然用這一步驟反復(fù)進(jìn)行以上步驟可用口訣概括如下：慮用公式、十字相乘試一試，分組分解要適宜，四種方法反復(fù)試，結(jié)果應(yīng)是乘積式1）將常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)因數(shù)積的形式。2）確定和為一次項(xiàng)系數(shù)的兩個(gè)因數(shù)。3）把這個(gè)多項(xiàng)式寫(xiě)成積形式。例1把以下各式分解因式：

(1)2215；

(2)25y6y2點(diǎn)悟：

(1)常數(shù)項(xiàng)15可分為3

(5)，且3

(5)=1）（3）（3）.

(2)7（y）35（y）22（y）2（y）7（y）5（y）2=（y）（y）17（y）2=（y）（y1）（77y2）.

(3)（a28a）222（a28a）12022（a8a12）（a8a10）（a2）（a6）（a28a10）點(diǎn)撥：要深刻理解換元的思想，這可以幫助我們及時(shí)、準(zhǔn)確地發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式中究竟把哪一個(gè)看成整體，才能構(gòu)成二次三項(xiàng)式，以順利地進(jìn)行分解同時(shí)要注意已分解的兩個(gè)因式是否能繼續(xù)分解，如能分解，要分解到不能再分解為止.例4分解因式：（223）（2224）90.點(diǎn)悟：把22看作一個(gè)變量，利用換元法解之.解：設(shè)22y，那么原式=（y3）（y24）902y227y162=（y18）（y9）（2218）（229）.點(diǎn)撥：此題中將22視為一個(gè)整體大大簡(jiǎn)化了解題過(guò)程，表達(dá)了換元法化簡(jiǎn)求解的良好效果.此外，2y27y162（y18）（y9）一步，我們用了“十字相乘法進(jìn)行分解.例5分解因式645XXXX3825

6.點(diǎn)悟：可考慮換元法及變形降次來(lái)解之.2211解：原式653XXXX2650,令-y，貝V原式2（6y25y50）2（2y5）（3y10）232（25）（310）（2252）（32103）（2）（21）（3）（31）.點(diǎn)撥：此題連續(xù)應(yīng)用了“十字相乘法分解因式的同時(shí)，還應(yīng)用了換元法，方法巧妙，令人眼花瞭亂但是，品味之余應(yīng)想到對(duì)換元后得出的結(jié)論一定要“復(fù)原，這是一個(gè)重要環(huán)節(jié).例6分解因式22yy255y

6.點(diǎn)悟：方法1：依次按三項(xiàng)，兩項(xiàng)，一項(xiàng)分為三組，轉(zhuǎn)化為關(guān)于（y）的二次三項(xiàng)式.方法2：把字母y看作是常數(shù)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次三項(xiàng)式.22解法1:2yy55y629（2yy）（55y）6（y）25（y）6（y1）（y6）解法2：22yy255y62（2y5）2y5y62（2y5）（y6）（y1）（y6）（y1）=（y6）（y1）例7分解因式：ca（ca）bc（bc）ab（ab）.點(diǎn)悟：先將前面的兩個(gè)括號(hào)展開(kāi)，再將展開(kāi)的局部重新分組.解:ca（ca）bc（bc）ab（ab）2222acacbcbcab（ab）222c2（ab）c（a2b2）ab（ab）2c2（ab）c（ab）（ab）ab（ab）（ab）c2c（ab）ab=（ab）（ca）（cb）.點(diǎn)撥：因式分解，有時(shí)需要把多項(xiàng)式去括號(hào)、展開(kāi)、整理、重新分組，有時(shí)僅需要把某幾項(xiàng)展開(kāi)再分組此題展開(kāi)四項(xiàng)后，根據(jù)字母c的次數(shù)分組，出現(xiàn)了含ab的因式，從而能提公因式隨后又出現(xiàn)了關(guān)于c的二次三項(xiàng)式能再次分解例XXX有一個(gè)因式是2a4,求a值和這個(gè)多項(xiàng)式的其他因式.點(diǎn)悟：因?yàn)?6212是四次多項(xiàng)式,有一個(gè)因式是2a4,根據(jù)多項(xiàng)式的乘法原那么可知道另一個(gè)因式是2b3（a、b是待定常數(shù)）,故有46212（2a4）（2b3）.根據(jù)此恒等關(guān)系式,可求出a,b的值.解：設(shè)另一個(gè)多項(xiàng)式為2b3,那么46212（2a24）（2b3）4（ab）3（34ab）2（3a4b）12,46212與4（a3b）3（34ab）2（3a4b）12是同一個(gè)多項(xiàng)式,所以其對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)分別相等即有由、解得，a=1,b=1,代入，等式成立.a=1,另一個(gè)因式為2

3.點(diǎn)撥：這種方法稱(chēng)為待定系數(shù)法，是很有用的方法.待定系數(shù)法、配方法、換元法是因式分解較為常用的方法，在其他數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)中也經(jīng)常運(yùn)用希望讀者不可輕視例9分解因式：5a2b223aby10y2錯(cuò)解：/10=5