2023屆高考理科數(shù)學(xué)專題（用樣本估計(jì)總體）復(fù)習(xí)教案

【考綱】

1.了解分布的意義與作用，能根據(jù)頻率分布表畫(huà)頻率分布直方圖、頻率折線

圖、莖葉圖，體會(huì)它們各自的特點(diǎn).

2.理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差.

3.能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差），并做出合理的

解釋.

4.會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的

基本數(shù)字特征.理解用樣本估計(jì)總體的思想，會(huì)用樣本估計(jì)總體的思想解決一些

簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.

【知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)】

1.常用統(tǒng)計(jì)圖表

（1）作頻率分布直方圖的步驟：

①求極差（即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差）.

②決定組距與組數(shù).

③將數(shù)據(jù)分組.

④列頻率分布表.

⑤畫(huà)頻率分布直方圖.

（2）頻率分布直方圖：反映樣本頻率分布的直方圖（如圖）

橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱軸表示頻端率，每個(gè)小矩形的面積表示樣本數(shù)據(jù)落在該

組內(nèi)的頻率.各小矩形的面積和為L(zhǎng)

（3）頻率分布折線圖和總體密度曲線

①頻率分布折線圖：將頻率分布直方圖中各相鄰的矩形的上底邊的生臣順次

連接起來(lái)，就得到頻率分布折線圖.

②總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時(shí)所分的組數(shù)增加，組距減小,

相應(yīng)的頻率折線圖會(huì)越來(lái)越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計(jì)中稱這條光滑曲線為總體

密度曲線.

(4)莖葉圖的畫(huà)法步驟：

第一步：將每個(gè)數(shù)據(jù)分為莖(高位)和葉(低位)兩部分；

第二步：將最小莖與最大莖之間的數(shù)按大小次序排成一列；

第三步：將各個(gè)數(shù)據(jù)的葉依次寫(xiě)在其莖的右(左)側(cè).

2.樣本的數(shù)字特征

(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù),叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

(2)中位數(shù)：把〃個(gè)數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最

中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

(3)平均數(shù)：把.=…+一稱為二X2,…，X”這〃個(gè)數(shù)的平均數(shù).

(4)標(biāo)準(zhǔn)差與方差：設(shè)一組數(shù)據(jù)尤1,X2,X3,…，X”的平均數(shù)為三，則這組數(shù)

據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差和方差分別是

%(XI-X>+(X2—X)2H-----|-(XLX￡1；

I———

52=^［(X|—X)2+(X2-X尸+…+(x“一x歸.

［常用結(jié)論］

1.頻率分布直方圖中的常見(jiàn)結(jié)論

(1)眾數(shù)的估計(jì)值為.高您形的史速、對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo):

(2)平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底

邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.

(3)中位數(shù)的估計(jì)值的左邊和右邊的小矩形的面積和是相等的.

2.平均數(shù)、方差的公式推廣

(1)若數(shù)據(jù)xi,必…，X”的平均數(shù)為x,那么mxi+a,mxz-\-a,mx3-\-a,,,,,

mxn+a的平均數(shù)是mx+a.

(2)數(shù)據(jù)Xl,X2,…，X"的方差為52.

2

①數(shù)據(jù)xi+a,xi-\-a,…，xn+a的方差也為d;

②數(shù)據(jù)oxi,oxi,,,,,ar”的方差為a2s2.

【課堂自測(cè)】

一、思考辨析(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).()

(2)一組數(shù)據(jù)的方差越大，說(shuō)明這組數(shù)據(jù)越集中.()

(3)頻率分布直方圖中，小矩形的面積越大，表示樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)間的頻

率越高.()

(4)莖葉圖一般左側(cè)的葉按從大到小的順序?qū)?，右?cè)的葉按從小到大的順序

寫(xiě)，相同的數(shù)據(jù)可以只記一次.()

［答案］(1)V(2)X(3)V(4)X

二、教材改編

1.一個(gè)容量為32的樣本，已知某組樣本的頻率為0.25,則該組樣本的頻數(shù)

為()

A.4B.8C.12D.16

B［設(shè)頻數(shù)為〃，則方=0.25,

Z7=32X^=8.］

2.若某校高一年級(jí)8個(gè)班參加合唱比賽的得分分別為

87,89,90,91,92,93,94,96,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是()

A.91.5和91.5B.91.5和92

C.91和91.5D.92和92

91+92

A「.?這組數(shù)據(jù)為87,89,90,91,92,93,94,96,.?.中位數(shù)是一弓—=91.5,

87+89+90+91+92+93+94+96

平均數(shù)x=--------------oO--------------=91.5.］

3.甲、乙兩位運(yùn)動(dòng)員在5場(chǎng)比賽的得分情況如莖葉圖所示，記甲、乙兩人

的平均得分分別為嚏甲，艮,則下列判斷正確的是()

3

甲乙

6715

82868

4033

A.7甲乙；甲比乙成績(jī)穩(wěn)定

B.Xq〉X乙；乙比甲成績(jī)穩(wěn)定

C.x甲vx乙；甲比乙成績(jī)穩(wěn)定

D.x甲vx乙；乙比甲成績(jī)穩(wěn)定

.一16+17+28+30+34—15+28+28+26+33

D[?x甲==25,x乙==26,

九甲<x乙,

...s4,=/(16—25)2+(17—25)2+(28-25)2+(30-25>+(34-25)2]=52,sl=

|[(15-26)2+(28-26)2+(26—26)2+(28-26)2+(33—26)2]=35.6,

：.s^>sl,所以乙成績(jī)穩(wěn)定，故選D.]

4.如圖是100位居民月均用水量的頻率分布直方圖，則月均用水量為[2,2.5)

范圍內(nèi)的居民有人.

25[0.5X0.5X100=25.]

【考點(diǎn)探究】

考點(diǎn)1樣本的數(shù)字特征的計(jì)算與應(yīng)用

利用樣本的數(shù)字特征解決決策問(wèn)題的依據(jù)

(1)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平；標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞

平均數(shù)波動(dòng)的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)

差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定.

4

(2)用樣本估計(jì)總體就是利用樣本的數(shù)字特征來(lái)描述總體的數(shù)字特征.

1.(2019?全國(guó)卷II)演講比賽共有9位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分，評(píng)

定該選手的成績(jī)時(shí)，從9個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到7個(gè)

有效評(píng)分.7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分相比，不變的數(shù)字特征是()

A.中位數(shù)B.平均數(shù)

C.方差D.極差

A[設(shè)9位評(píng)委評(píng)分按從小到大排列為X1<X2<T3<X4…<T8<X9,則原始中位數(shù)

為X5,去掉最低分XI,最高分X9后剩余X2<X3<X4…<X8,

中位數(shù)仍為X5,；.A正確.]

2.甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績(jī)的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖

所示，則()

頻數(shù)頻數(shù)

33r-i

22

ILnnnnn..口,n

0345678910環(huán)數(shù)0345678910環(huán)數(shù)

甲乙

A.甲的成績(jī)的平均數(shù)小于乙的成績(jī)的平均數(shù)

B.甲的成績(jī)的中位數(shù)等于乙的成績(jī)的中位數(shù)

C.甲的成績(jī)的方差小于乙的成績(jī)的方差

D.甲的成績(jī)的極差小于乙的成績(jī)的極差

C[根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖可知甲的中靶情況為4環(huán)、5環(huán)、6環(huán)、7環(huán)、8環(huán)；乙

—1—

的中靶情況為5環(huán)、5環(huán)、5環(huán)、6環(huán)、9環(huán).x單=g(4+5+6+7+8)=6,x乙=

|(5X3+6+9)=6,甲的成績(jī)的方差為

(4—6)2+(5—研+(6f)2+(7—研+(8—GJ2,乙的成績(jī)的方差為

(5—6)2義3+(6—6)2+(9—6)2

1=2.4;甲的成績(jī)的極差為4環(huán)，乙的成績(jī)的極差為

4環(huán)；甲的成績(jī)的中位數(shù)為6環(huán)，乙的成績(jī)的中位數(shù)為5環(huán)，綜上可知C正確，

故選C.]

3.某人5次上班途中所花的時(shí)間(單位：分鐘)分別為x,y,10,11,9.已知這

組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10,方差為2,則|x—y|的值為()

5

A.1B.2

C.3D.4

D[由題意可知

J|u+j+10+ll+9)=10,

x+y=20,

?<

|[(x-10)2+Cv-10)2+1+1]=2,?+尸208.

：.(x+y)2=x2+y2+2xy,即208+2孫=400,，xy=96.

(x—y)2=x2+y2-2xy=16,

：.\x-y\=4,故選D.]

4.(2019.全國(guó)卷H)某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況，隨

機(jī)調(diào)查了100個(gè)企業(yè)，得到這些企業(yè)第一季度相對(duì)于前一年第一季度產(chǎn)值增長(zhǎng)率

y的頻數(shù)分布表.

y的分組[-0.20,0)[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)

企業(yè)數(shù)22453147

(1)分別估計(jì)這類企業(yè)中產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負(fù)增長(zhǎng)的

企業(yè)比例；

(2)求這類企業(yè)產(chǎn)值增長(zhǎng)率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值(同一組中的數(shù)據(jù)用該

組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表).(精確到0.01)

附：取-8.602.

［解］(1)根據(jù)產(chǎn)值增長(zhǎng)率頻數(shù)分布表得，所調(diào)查的100個(gè)企業(yè)中產(chǎn)值增長(zhǎng)率

14+7

不低于40%的企業(yè)頻率為一^方-=0.21.

2

產(chǎn)值負(fù)增長(zhǎng)的企業(yè)頻率為而=0.02.

用樣本頻率分布估計(jì)總體分布得這類企業(yè)中產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于40%的企業(yè)

比例為21%,產(chǎn)值負(fù)增長(zhǎng)的企業(yè)比例為2%.

1

(2)y=-^(-0.10X24-0.10X24+0.30X53+0.50X144-0.70X7)=0.30,52

施O2

6

=j^[(-0.40)2X2+(-0.20)2X244-02X53+0.202X14+0.402X7]

=0.0296,

5=^0.0296=0.02X^/74?s0.17,

所以，這類企業(yè)產(chǎn)值增長(zhǎng)率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值分別為30%,17%.

方差的簡(jiǎn)化計(jì)算公式：=-----1?忌)一或?qū)懗?2=：(?+

送+…+章)一三2,即方差等于原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方.

考點(diǎn)2莖葉圖

莖葉圖中的2個(gè)關(guān)注點(diǎn)

(1)重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏.

(2)給定兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖，估計(jì)數(shù)字特征，莖上的數(shù)字由小到大排列，一

般“重心”下移者平均數(shù)較大，數(shù)據(jù)集中者方差較小.

某良種培育基地正在培育一小麥新品種A,將其與原有的一種優(yōu)良品種B

進(jìn)行對(duì)照試驗(yàn)，兩種小麥各種植了25畝，所得畝產(chǎn)量的數(shù)據(jù)(單位：千克)如下:

品種A：

357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,4

27,430,430,434,443,445,445,451,454.

品種B：

363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,4

03,406,407,410,412,415,416,422,430.

(1)作出品種A與B畝產(chǎn)量數(shù)據(jù)的莖葉圖；

(2)用莖葉圖處理現(xiàn)有的數(shù)據(jù)，有什么優(yōu)點(diǎn)？

(3)通過(guò)觀察莖葉圖，對(duì)品種A與B的畝產(chǎn)量及其穩(wěn)定性進(jìn)行比較，寫(xiě)出統(tǒng)

計(jì)結(jié)論.

[解](1)畫(huà)出莖葉圖如圖所示.

A

~9735

87363

53714

838356

92391244577

5040011367

542410256

7331422

400430

55344

4145

7

（2）由于每個(gè)品種的數(shù)據(jù)都只有25個(gè)，樣本容量不大，畫(huà)莖葉圖很方便；此

時(shí)莖葉圖不僅清晰明了地展示了數(shù)據(jù)的分布情況，便于比較，沒(méi)有任何信息損失,

而且可以隨時(shí)記錄新的數(shù)據(jù).

（3）通過(guò)觀察莖葉圖可以看出：①品種A的畝產(chǎn)量的平均數(shù)（或均值）比品種B

高；②品種A的畝產(chǎn)量的標(biāo)準(zhǔn)差（或方差）比品種B大，故品種A的畝產(chǎn)量的穩(wěn)

定性較差.

莖葉圖中數(shù)字大小排列不一定從小到大排列，解題時(shí)一定要看清楚.

1.（2019?樂(lè)山一模）胡蘿卜中含有大量的6胡蘿卜素，攝入人體消化器官

后，可以轉(zhuǎn)化為維生素A,現(xiàn)從a,。兩個(gè)品種的胡蘿卜所含的夕-胡蘿卜素（單位:

mg）得到莖葉圖如圖所示，則下列說(shuō)法不正確的是（）

ab

64423.1

33.2237

86413.311

43.411257

Xa<Xb

B.”的方差大于〃的方差

C.。品種的眾數(shù)為3.31

D.a品種的中位數(shù)為3.27

C［由莖葉圖得：b品種所含卅胡蘿卜素普遍高于a品種，故

A正確；a品種的數(shù)據(jù)波動(dòng)比。品種的數(shù)據(jù)波動(dòng)大，的方差大于人的方差，

故B正確；b品種的眾數(shù)為3.31與3.41,故C錯(cuò)誤：a品種的數(shù)據(jù)的中位數(shù)為：

323+331

-~旌」=3.27,故D正確.故選C.］

2.空氣質(zhì)量指數(shù)（AirQualityIndex,簡(jiǎn)稱AQI）是定量描述空氣________

-4--5-

質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量按照AQI大小分為六級(jí)，0?50為優(yōu)；5o

一一754

51?100為良；101?150為輕度污染；151?200為中度污染;201?93o

1178

300為重度污染；大于300為嚴(yán)重污染.從某地一環(huán)保人士某年的199

215

AQI記錄數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽取10個(gè)，用莖葉圖記錄如圖.根據(jù)該統(tǒng)

計(jì)數(shù)據(jù)，估計(jì)此地該年AQI大于100的天數(shù)約為.（該年為365天）

2

146［該樣本中AQI大于100的頻數(shù)是4,頻率為三，由此估計(jì)該地全年AQI

8

22

大于100的頻率為估計(jì)此地該年AQI大于100的天數(shù)約為365X~=146.]

考點(diǎn)3頻率分布直方圖

頻率、頻數(shù)、樣本容量的計(jì)算方法

頻率

⑴篇X組距=頻率.

頻數(shù)頻數(shù)

（2）,樣/工量=頻率,恭=樣本容量，樣本容量X頻率=頻數(shù).

（1）（2019.益陽(yáng)模擬）為了了解某校九年級(jí)1600名學(xué)生的體能情況，隨機(jī)抽

查了部分學(xué)生，測(cè)試1分鐘仰臥起坐的成績(jī)（次數(shù)），將數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖所

示的頻率分布直方圖，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖的數(shù)據(jù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.該校九年級(jí)學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)的中位數(shù)為26.25

B.該校九年級(jí)學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)的眾數(shù)為27.5

C.該校九年級(jí)學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過(guò)30的人數(shù)約為320

D.該校九年級(jí)學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于20的人數(shù)約為32

（2）（2019?全國(guó)卷III）為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下

試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成A,B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲

離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液，每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度

相同.經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比，根

據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：

9

頻率

ffiSR

0.30........................——

0.20....................................

0.15---1——

0.10------------------------------------

0.05-------------------------------------------1

02.53.54.55.56.5Z5百分比

甲離子殘留百分比直方圖

記。為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到

P(O的估計(jì)值為0.70.

①求乙離子殘留百分比直方圖中a,8的值；

②分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的

中點(diǎn)值為代表).

(1)D［由頻率分布直方圖可知，中位數(shù)是頻率分布直方圖面積等分線對(duì)應(yīng)

的數(shù)值，是26.25;眾數(shù)是最高矩形的中間值27.5;1分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過(guò)

30的頻率為0.2,所以估計(jì)1分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過(guò)30的人數(shù)為320;1分鐘

仰臥起坐的次數(shù)少于20的頻率為0.1,所以估計(jì)1分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于20

的人數(shù)為160.故D錯(cuò)誤.］

(2)［解］①由已知得0.70=a+0.20+0.15,故

a=0.35.

/?=1-0.05-0.15-0.70=0.10.

②甲離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為

2X0.15+3X0.20+4X0.30+5X0.20+6X0.10+7X0.05=4.05.

乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為

3X0.05+4X0.10+5X0.15+6X0.354-7X0.20+8X0.15=6.00.

頻率

頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)是磊，而不是頻率，切莫與條形圖混淆.

［教師備選例題］

(2018.全國(guó)卷I)某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)(單位:

10

n?)和使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下:

未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表

日用[0，[0.6,

[0.1,0.2)[0.2,0.3)[03,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)

水量0.1)0.7)

頻數(shù)13249265

使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表

[0.1,[0.2,[0.3,[0.4,[0.5,

日用水量[0,0.1)

0.2)0.3)0.4)0.5)0.6)

頻數(shù)151310165

(1)在下圖中作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖:

撅率砸

oai02aaa40506口用水叫

(2)估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35n?的概率；

(3)估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少水？(一年按365天計(jì)算,

同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表)

［解］(1)如圖所示：

(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，該家庭使用節(jié)水龍頭后50天日用水量小于0.35n?的頻

率為0.2X0.1+1X0.1+2.6X0.1+2X0.05=0.48,

因此該家庭使用節(jié)水龍頭后日用水量小于0.35n?的概率的估計(jì)值為0.48.

11

⑶該家庭未使用節(jié)水龍頭50天日用水量的平均數(shù)為

—]

xI=(0.05X1+0.15X3+0.25X2+0.35X4+0.45X9+0.55X26+

0.65X5)=0.48.

該家庭使用了節(jié)水龍頭后50天日用水量的平均數(shù)為

72=卷(0.05XI+0.15X5+0.25X13+0.35X10+0.45X16+0.55X5)=

0.35.

估計(jì)使用節(jié)水龍頭后，一年可節(jié)省水(0.48-0.35)X365=47.45(0?).

1.為了了解某校高三學(xué)生的視力情況，隨機(jī)地抽查了該校100名高三學(xué)生

的視力情況，得到頻率分布直方圖如圖，由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但知道后5

組頻數(shù)和為62,設(shè)視力在4.6到4.8之間的學(xué)生數(shù)為a,最大頻率為0.32,則。

的值為()

A.64B.54

C.48D.27

B[前兩組中的頻數(shù)為100X(0.05+0.11)=16.因?yàn)楹笪褰M頻數(shù)和為62,所

以前三組為38.所以第三組頻數(shù)為22.又最大頻率為0.32,對(duì)應(yīng)的最大頻數(shù)為

0.32X100=32.所以。=22+32=54.]

(1)求直方圖中x的值;

12

(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；

(3)在月平均用電量為［220,240),［240,260),［260,280),［280,300］的四組用

戶中，用分層抽樣的方法抽取11戶居民，則月平均用電量在［220,240)的用戶中

應(yīng)抽取多少戶？

［解］(1)(0.002+0.0095+0.011+0.0125+%+0.005+0.0025)X20=1,解

得x=0.0075.

即直方圖中x的值為0.0075.

220+240

(2)月平均用電量的眾數(shù)是一5一=23。-

7(0.002+0.0095+0.011)X20=0.45V0.5,

(0.002+0.0095+0.011+0.0125)X20=0.7>0.5,

二月平均用電量的中位數(shù)在［220,240)內(nèi).

設(shè)中位數(shù)為a,則0.45+0.0125X(a-220)=0.5,解得a=224,即中位數(shù)為

224.

(3)月平均用電量在［220,240)的用戶有0.0125X20X100=25(?).同理可得

月平均用電量在［240,260)的用戶有15戶，月平均用電量在［260,280)的用戶有10

戶，月平均用電量在［280,300］的用戶有5戶，故抽取比例為"上

NJI1"JII1UIJJ

，月平均用電量在［220,240)的用戶中應(yīng)抽取25X^=5(戶).

13

【課后階梯練習(xí)及答案】

基礎(chǔ)練習(xí)

一、選擇題

1.（2017.全國(guó)卷I）為評(píng)估一種農(nóng)作物的種植效果，選了〃塊地作試驗(yàn)田.這

〃塊地的畝產(chǎn)量（單位：kg）分別為幻，X2,…，%,下面給出的指標(biāo)中可以用來(lái)評(píng)

估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是（）

A.XI,X2,…，X”的平均數(shù)

B.XI,X2,…，X”的標(biāo)準(zhǔn)差

C.X\,X2,X"的最大值

D.XI,X2,X"的中位數(shù)

B[因?yàn)榭梢杂脴O差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)描述數(shù)據(jù)的離散程度，所以要評(píng)估畝

產(chǎn)量穩(wěn)定程度，應(yīng)該用樣本數(shù)據(jù)的極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差.故選B.]

2.（2019.全國(guó)卷III）《西游記》《三國(guó)演義》《水滸傳》和《紅樓夢(mèng)》是中國(guó)

古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國(guó)古典小說(shuō)四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大

名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生，其中閱讀過(guò)《西游記》或《紅樓夢(mèng)》的學(xué)

生共有90位，閱讀過(guò)《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有80位，閱讀過(guò)《西游記》且閱讀過(guò)

《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過(guò)《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生

總數(shù)比值的估計(jì)值為（）

A.0.5B.0.6

C.0.7D.0.8

C[根據(jù)題意閱讀過(guò)《紅樓夢(mèng)》《西游記》的人數(shù)用韋恩圖表示如下：

所以該校閱讀過(guò)《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為病=

0.7.]

3.（2019?合肥一模）科技研發(fā)是企業(yè)發(fā)展的驅(qū)動(dòng)力量.2007年至2018年，某

企業(yè)連續(xù)12年累計(jì)研發(fā)投入達(dá)4100億元，我們將研發(fā)投入與經(jīng)營(yíng)收入的比值

記為研發(fā)投入占營(yíng)收比.這12年間的研發(fā)投入（單位：十億元）用圖中的條形圖

表示，研發(fā)投入占營(yíng)收比用圖中的折線圖表示.

14

100

19%

研發(fā)投入-------研發(fā)投入占營(yíng)收比

根據(jù)折線圖和條形圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.2012年至2013年研發(fā)投入占營(yíng)收比增量相比2017年至2018年增量大

B.2013年至2014年研發(fā)投入增量相比2015年至2016年增量小

C.該企業(yè)連續(xù)12年來(lái)研發(fā)投入逐年增加

D.該企業(yè)連續(xù)12年來(lái)研發(fā)投入占營(yíng)收比逐年增加

D[由折線圖和條形圖可得2012年至2013年研發(fā)投入占營(yíng)收比增量相比

2017年至2018年增量大，2013年至2014年研發(fā)投入增量相比2015年至2016

年增量小，該企業(yè)連續(xù)12年來(lái)研發(fā)投入逐年增加，該企業(yè)連續(xù)12年來(lái)研發(fā)投入

占營(yíng)收比，有增有減，故選D.]

4.如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)（單位：

件）.若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x和y的值分別為（）

甲組乙組

659

25617y

x478

A.3,5B.5,5

C.3,7D.5,7

A[甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為65,由甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，得y=5.

又甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均值相等，.,.1x（56+65+62+74+70+x）=1x（59+61

+67+65+78）,，x=3.故選A.]

5.（2019.汕頭二模）在某次高中學(xué)科競(jìng)賽中，4000名考生的參賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)如

圖所示，60分以下視為不及格，若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)作代表，則下

列說(shuō)法中有誤的是（）

15

A.成績(jī)?cè)冢?0,80)分的考生人數(shù)最多

B.不及格的考生人數(shù)為1000人

C.考生競(jìng)賽成績(jī)的平均分約70.5分

D.考生競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)為75分

D［由頻率分布直方圖可得，成績(jī)?cè)冢?0,80)的頻率最高，因此考生人數(shù)最

多，故A正確；由頻率分布直方圖可得，成績(jī)?cè)冢?0,60)的頻率為0.25,因此，

不及格的人數(shù)為4000X0.25=1000,故B正確；由頻率分布直方圖可得：平均

分等于45X0.1+55X0.15+65X0.2+75X0.3+85X0.15+95X0.1=70.5,故C

正確；因?yàn)槌煽?jī)?cè)冢?0,70)的頻率為0.45,在［70,80)的頻率為0.3,所以中位數(shù)為

70+10義喏弋71.67,故D錯(cuò)誤.故選D.］

二、填空題

6.已知樣本數(shù)據(jù)xi,X2,-"1%的平均數(shù)x=5,則樣本數(shù)據(jù)2xi+1,2x2+

1,…，2x”+l的平均數(shù)為.

11［由XI,X2,…，Xn的平均數(shù)X=5,得2X1+1,2怒+1,…，2xn+1的平

均數(shù)為2三+1=2X5+1=11.］

7.(2019?江蘇高考)已知一組數(shù)據(jù)6,7,8,8,9,10,則該組數(shù)據(jù)的方差是

|［由題意，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為~-一~-——=8,所以該組數(shù)據(jù)的

方差是%(6—8)2+(7—8)2+(8—8)2+(8—8)2+(9—8)2+(10—8)2］=|.］

8.(2019.全國(guó)卷U)我國(guó)高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn).經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的

高鐵列車中，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.97,有20個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.98,有

10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.99,則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)

值為.

16

0.98［經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為

10XQ.97+20X0.98+10XQ.99

10+20+10=0.98.］

三、解答題

9.某市為了考核甲、乙兩部門的工作情況，隨機(jī)訪問(wèn)了50位市民.根據(jù)這

50位市民對(duì)這兩部門的評(píng)分(評(píng)分越高表明市民的評(píng)價(jià)越高)，繪制莖葉圖如下：

0448

97I22456677789

97665332110011234688

9887776655555444333210000113449

6655200123345

632220011456

000

(1)分別估計(jì)該市的市民對(duì)甲、乙兩部門評(píng)分的中位數(shù)；

(2)分別估計(jì)該市的市民對(duì)甲、乙兩部門的評(píng)分高于90的概率；

(3)根據(jù)莖葉圖分析該市的市民對(duì)甲、乙兩部門的評(píng)價(jià).

［解］(1)由所給莖葉圖知，50位市民對(duì)甲部門的評(píng)分由小到大排序，排在第

25,26位的是75,75,故樣本中位數(shù)為75,所以該市的市民對(duì)甲部門評(píng)分的中位

數(shù)的估計(jì)值是75.

50位市民對(duì)乙部門的評(píng)分由小到大排序,排在第25,26位的是66,68,故樣

本中位數(shù)為66；■=67,所以該市的市民對(duì)乙部門評(píng)分的中位數(shù)的估計(jì)值是67.

(2)由所給莖葉圖知，50位市民對(duì)甲、乙部門的評(píng)分高于90的比率分別為總

Q

=0.1,濟(jì)=0.16,故該市的市民對(duì)甲、乙部門的評(píng)分高于90的概率的估計(jì)值分

別為0.1,0.16.

(3)由所給莖葉圖知，市民對(duì)甲部門的評(píng)分的中位數(shù)高于對(duì)乙部門的評(píng)分的

中位數(shù)，而且由莖葉圖可以大致看出對(duì)甲部門的評(píng)分的標(biāo)準(zhǔn)差要小于對(duì)乙部門的

評(píng)分的標(biāo)準(zhǔn)差，說(shuō)明該市市民對(duì)甲部門的評(píng)價(jià)較高、評(píng)價(jià)較為一致，對(duì)乙部門的

評(píng)價(jià)較低、評(píng)價(jià)差異較大.

10.(2019?石家莊模擬)“一帶一路”是“絲綢之路經(jīng)濟(jì)帶”和“21世紀(jì)海

上絲綢之路”的簡(jiǎn)稱.某市為了了解人們對(duì)“一帶一路”的認(rèn)知程度，對(duì)不同年

齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，滿分為100分(90分及以

上為認(rèn)知程度高).現(xiàn)從參賽者中抽取了x人，按年齡分成5組，第一組：［20,25),

17

第二組：［25,30),第三組：［30,35),第四組：［35,40),第五組：［40,45］,得到

如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有6人.

頻率

組距

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

202530354045年齡/歲

⑴求X；

(2)求抽取的x人的年齡的中位數(shù)(結(jié)果保留整數(shù))；

(3)從該市大學(xué)生、軍人、醫(yī)務(wù)人員、工人、個(gè)體戶五種人中用分層抽樣的

方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分別記為1?5組，從這5個(gè)

按年齡分的組和5個(gè)按職業(yè)分的組中每組各選派1人參加知識(shí)競(jìng)賽，分別代表相

應(yīng)組的成績(jī)，年齡組中1?5組的成績(jī)分別為93,96,97,94,90,職業(yè)組中1?5

組的成績(jī)分別為93,98,94,95,90.

①分別求5個(gè)年齡組和5個(gè)職業(yè)組成績(jī)的平均數(shù)和方差；

②以上述數(shù)據(jù)為依據(jù)，評(píng)價(jià)5個(gè)年齡組和5個(gè)職業(yè)組對(duì)“一帶一路”的認(rèn)知

程度，并談?wù)勀愕母邢?

［解］(1)根據(jù)頻率分布直方圖得第一組的頻率為0.01X5=0.05,..(=0.05,

(2)設(shè)中位數(shù)為a,則0.01X5+0.07X5+3—30)X0.06=0.5,

95

.".a=-ys?32,則中位數(shù)為32.

(3)①5個(gè)年齡組成績(jī)的平均數(shù)為1i=1x(93+96+97+94+90)=94,方差

為［(-1)2+22+32+02+(-4)2］=6.

——1

5個(gè)職業(yè)組成績(jī)的平均數(shù)為x2=5X(93+98+94+95+90)=94,方差為0=

|x［(-1)2+42+02+124-(-4)2］=6.8.

②從平均數(shù)來(lái)看兩組的認(rèn)知程度相同，從方差來(lái)看年齡組的認(rèn)知程度更穩(wěn)定

(感想合理即可).

18

綜合練習(xí)

1.（2018?全國(guó)卷I）某地區(qū)經(jīng)過(guò)一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了

一倍，實(shí)現(xiàn)翻番.為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)

新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖：

（~~~第三產(chǎn)業(yè)收入

種植收入（60%其他收入

\/30V

7—%殖收人

建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例

K一、第三產(chǎn)業(yè)收入

/\7

種植收入（37%其他收入

\/30%/

7一/養(yǎng)殖收入

建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例

則下面結(jié)論中不正確的是（）

A.新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少

B.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上

C.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過(guò)了經(jīng)濟(jì)收入的一半

A[設(shè)新農(nóng)村建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入的總量為x,則新農(nóng)村建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入的總量

為2x.

建設(shè)前種植收入為0.6x,建設(shè)后種植收入為0.74x,故A不正確：

建設(shè)前其他收入為0.04%,建設(shè)后其他收入為O.lx,故B正確；

建設(shè)前養(yǎng)殖收入為0.3x,建設(shè)后養(yǎng)殖收入為0.6%,故C正確；

建設(shè)后養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和占建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入總量的58%,故D

正確.]

2.為了解某校高三學(xué)生的視力情況，隨機(jī)抽查了該校100名高三學(xué)生的視

力情況，得到頻率分布直方圖如圖.但不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，只知道前4組的頻

數(shù)成等比數(shù)列，后6組的頻數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)最大頻率為a,視力在4.6到5.0

之間的學(xué)生人數(shù)為兒則。，〃的值分別為（）

19

A.0.27,78B.0.27,83

C.2.7,78D.2.7,83

A[由頻率分布直方圖知組距為0.1,

視力在4.3到4.4之間的頻數(shù)為100X0.1X0.1=1,

視力在4.4到4.5之間的頻數(shù)為100X0.1X0.3=3.

?.?前4組的頻數(shù)成等比數(shù)列，...公比為3.

從而視力在4.6到4.7之間的頻數(shù)最大，為1X33=27,，a=0.27.

根據(jù)后6組的頻數(shù)成等差數(shù)列，且頻數(shù)之和為100—13=87,

6X5

設(shè)公差為d,則6*27+丁2=87,：,d=~5,

,,4X3

從而b=4X27+-y-X(-5)=78.]

3.(2019?鄭州市第三次質(zhì)量檢測(cè))某同學(xué)10次測(cè)評(píng)成績(jī)的數(shù)據(jù)如莖葉圖所

示，總體的中位數(shù)為12,若要使該總體的標(biāo)準(zhǔn)差最小，則4x+2y的值是()

02234

1xy99

201

A.12B.14

C.16D.18

A[因?yàn)橹形粩?shù)為12,所以x+y=4,數(shù)據(jù)的平均數(shù)為七X(2+2+3+4+x

+y+20+19+19+20+21)=11.4,要使該總體的標(biāo)準(zhǔn)差最小，即方差最小，所

2

A+v-28、

以(10+x—11.4)2+(10+y-11.4)2=(x-1.4)2+(J-1.4)2^2L~~2^)=0-72>

當(dāng)且僅當(dāng)x—1.4=y—1.4,即x=y=2時(shí)取等號(hào)，此時(shí)總體標(biāo)準(zhǔn)差最小，4x+2y

=12,故選A.]

4.某大學(xué)生在開(kāi)學(xué)季準(zhǔn)備銷售一種文具盒進(jìn)行試創(chuàng)業(yè)，在一個(gè)開(kāi)學(xué)季內(nèi)，

每售出1盒該產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)為30元，未售出的產(chǎn)品，每盒虧損10元.該大學(xué)

20

生通過(guò)查詢資料得到開(kāi)學(xué)季市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖，如圖所示.該大學(xué)生

為這個(gè)開(kāi)學(xué)季購(gòu)進(jìn)了160盒該產(chǎn)品，以式單位：盒，100WxW200)表示這個(gè)開(kāi)學(xué)

季內(nèi)的市場(chǎng)需求量，y(單位：元)表示這個(gè)開(kāi)學(xué)季內(nèi)經(jīng)銷該產(chǎn)品的利潤(rùn).

(1)根據(jù)直方圖估計(jì)這個(gè)開(kāi)學(xué)季內(nèi)市場(chǎng)需求量x的眾數(shù)和平均數(shù)；

(2)將y表示為x的函數(shù)；

(3)根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)y不少于4000元的概率.

［解］(1)由題中頻率分布直方圖得，這個(gè)開(kāi)學(xué)季內(nèi)市場(chǎng)需求量x的眾數(shù)是

150盒,

需求量在［100,120)內(nèi)的頻率為0.0050X20=0.1,

需求量在［120,140)內(nèi)的頻率為0.0100X20=0.2,

需求量在［140,160)內(nèi)的頻率為0.0150X20=0.3,

需求量在［160,180)內(nèi)的頻率為0.0125X20=0.25,

需求量在［180,200］內(nèi)的頻率為0.0075X20=0.15.

則平均數(shù)三