時間：二O二一年七月二十九日等差數(shù)列之邯鄲勺丸創(chuàng)作時間：二O二一年七月二十九日【知識梳理】1．等差數(shù)列的定義假如一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公役,通常常使用字母d暗示．2．等差中項假如三個數(shù)a,A,b成等差數(shù)列,那么A叫做a與ba＋b的等差中項．這三個數(shù)知足的關(guān)系式是A＝2.3．等差數(shù)列的通項公式已知等差數(shù)列{an}的首項為a1,公役為d遞推公式通項公式an－an－1＝an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)d(n≥2)【?？碱}型】題型一、等差數(shù)列的判斷與證明【例1】判斷以下數(shù)列能否為等差數(shù)列．(1)在數(shù)列{an}中an＝3n＋2；時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日(2)在數(shù)列{an}中an＝n2＋n.[解](1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N*)．由n的隨意性知,這個數(shù)列為等差數(shù)列．(2)an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n2,不是常數(shù),因此這個數(shù)列不是等差數(shù)列．【類題通法】定義法是判斷(或證明)數(shù)列{an}是等差數(shù)列的基本方法,其步伐為：作差an＋1－an；對差式進(jìn)行變形；當(dāng)an＋1－an是一個與n沒關(guān)的常數(shù)時,數(shù)列{an}是等差數(shù)列；當(dāng)an＋1－an不是常數(shù),是與n相關(guān)的代數(shù)式時,數(shù)列{an}不是等差數(shù)列．【對點訓(xùn)練】1．已知等差數(shù)列{an}的首項為a1,公役為d,數(shù)列{bn}中,bn＝3an＋4,問：數(shù)列{bn}能否為等差數(shù)列？并說明原因．解：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．原因：∵數(shù)列{an}是首項為a1,公役為d的等差數(shù)列,∴an＋1－an＝d(n∈N*)．時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日∴bn＋1－bn＝(3an＋1＋4)－(3an＋4)＝3(an＋1－an)＝3d.∴依據(jù)等差數(shù)列的定義,數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.題型二、等差數(shù)列的通項公式【例2】(1)在等差數(shù)列{an}中,已知a5＝10,a12＝31,求通項公式an.57(2)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列a3＝4,a7＝－4,求a15的值．[解](1)∵a5＝10,a12＝31,則a1＋4d＝10a1＝－2?d＝3.a1＋11d＝31∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5∴通項公式an＝3n－5.(n∈N*)5a3＝4法一：由7a7＝－4時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日5a1＋2d＝4得7a1＋6d＝－4.113解得a1＝4,d＝－4.∴a15＝a1＋(15－1)d113314＋14×(－4)＝－4.法二：由a7＝a3＋(7－3)d,753即－4＝4＋4d,解得d＝－4.5331∴a15＝a3＋(15－3)d＝4＋12×(－4)＝－4.【類題通法】1．應(yīng)用等差數(shù)列的通項公式求a1和d,運用了方程的思想．一般地,可由am＝a,an＝b,a1＋m－1d＝a得n－1求出a1和d,進(jìn)而確立a1＋d＝b通項公式．2．若已知等差數(shù)列中的隨意兩項am,an,求通項公式或其余項時,則運用am＝an＋(m－n)d則較為簡時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日捷．【對點訓(xùn)練】2．(1)求等差數(shù)列8,5,2,的第20項；(2)－401能否是等差數(shù)列－5,－9,－13,的項？假如是,是第幾項？解：(1)由a1＝8,d＝5－8＝－3,n＝20,得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.(2)由a1＝－5,d＝－9－(－5)＝－4,得這個數(shù)列的通項公式為an＝－5－4(n－1)＝－4n－1,由題意知,－401＝－4n－1.得n＝100,即－401是這個數(shù)列的第100項．題型三、等差中項【例3】已知等差數(shù)列{an},知足a2＋a3＋a4＝18,a2a3a4＝66.求數(shù)列{an}的通項公式．[解]在等差數(shù)列{an}中,∵a2＋a3＋a4＝18,∴3a3＝18,a3＝6.a2＋a4＝12a2·a4＝11時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日a2＝11a2＝1解得或a4＝1a4＝11.a2＝11時,a1＝16,d＝－5.當(dāng)a4＝1an＝a1＋(n－1)d＝16＋(n－1)·(－5)＝－5n＋21.a2＝1時,a1＝－4,d＝5.當(dāng)a4＝11an＝a1＋(n－1)d＝－4＋(n－1)·5＝5n－9.【類題通法】a＋c三數(shù)a,b,c成等差數(shù)列的條件是b＝2(或2ba＋c),可用來進(jìn)行等差數(shù)列的判斷或相關(guān)等差中項的計算問題．如若證{an}為等差數(shù)列,可證2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)．【對點訓(xùn)練】3．(1)已知數(shù)列8,a,2,b,c是等差數(shù)列,則a,b,c的值鑒別為________,________,________.已知數(shù)列{an}知足an－1＋an＋1＝2an(n≥2),且a2＝5,a5＝13,則a8＝________.分析：(1)由于8,a,2,b,c是等差數(shù)列,時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日8＋2＝2aa＝5因此a＋b＝2×2∴b＝－12＋c＝2b.c＝－4.由an－1＋an＋1＝2an(n≥2)知,數(shù)列{an}是等差數(shù)列,∴a2,a5,a8成等差數(shù)列．∴a2＋a8＝2a5,∴a8＝2a5－a2＝2×13－5＝21.答案：(1)5－1－4(2)21【練習(xí)反響】1．已知等差數(shù)列{an}的首項a1＝2,公役d＝3,則數(shù)列{an}的通項公式為()A．a(chǎn)n＝3n－1B．a(chǎn)n＝2n＋1C．a(chǎn)n＝2n＋3D．a(chǎn)n＝3n＋2分析：選A∵an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)·3＝3n－1.2．等差數(shù)列的前3項挨次是x－1,x＋1,2x＋3,則其通項公式為()A．a(chǎn)n＝2n－5B.an＝2n－3C．a(chǎn)n＝2n－1D．a(chǎn)n＝2n＋1分析：選B∵x－1,x＋1,2x＋3是等差數(shù)列的前3項,時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日2(x＋1)＝x－1＋2x＋3,解得x＝0.∴a1＝x－1＝－1,a2＝1,a3＝3,∴d＝2,∴an＝－1＋2(n－1)＝2n－3.3．等差數(shù)列的第3項是7,第11項是－1,則它的第7項是________．分析：設(shè)首項為a1,公役為d,由a3＝7,a11＝－1得,a1＋2d＝7,a1＋10d＝－1,因此a1＝9,d＝－1,則a7＝3.答案：34．已知：1,x,y,10構(gòu)成等差數(shù)列,則x,y的值鑒別為________．分析：由已知,x是1和y的等差中項,即2x＝1＋y①,是x和10的等差中項,即2y＝x＋10②,由①,②可解得x＝4,y＝7.答案：4,75．在等差數(shù)列{an}中,已知a5＝－1,a8＝2,求a1與d；已知a1＋a6＝12,a4＝7,求a9.時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年