課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)(二十五）向量的觀點(diǎn)及線(xiàn)性運(yùn)算[練基礎(chǔ)小題——加強(qiáng)運(yùn)算能力]―→―→1．設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，則EB＋FC＝________.(用一個(gè)向量表示)―→―→1―→―→1―→―→1―→―→―→分析：EB＋FC＝2(AB＋CB)＋2(AC＋BC)＝2(AB＋AC)＝AD.―→答案：AD2．設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實(shí)數(shù)λ＝________.分析：∵λa＋b與a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)，1即λa＋b＝ta＋2tb，∴λ＝t，解得λ＝2，1＝2t，1t＝.21答案：2―→―→―→3．在四邊形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，則四邊形ABCD的形狀是________．分析：由已知得，―→―→―→―→AD＝AB＋BC＋CD＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2―→，故―→∥―→.又由于―→與―→不平行，因此四邊形是梯形．BCADBCABCDABCD答案：梯形4．已知△和點(diǎn)M知足―→＋―→＋―→＝0.若存在實(shí)數(shù)m使得―→＋―→＝―→成ABCMAMBMCABACmAM立，則m＝________.―→―→―→―→分析：由MA＋MB＋MC＝0知，點(diǎn)M為△ABC的重心，設(shè)點(diǎn)D為底邊BC的中點(diǎn)，則AM2―→21―→―→1―→―→―→―→―→＝3AD＝3×2(AB＋AC)＝3(AB＋AC)，因此AB＋AC＝3AM，故m＝3.答案：3[練?？碱}點(diǎn)——查驗(yàn)高考能力]一、填空題―→3―→3―→1．設(shè)M是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，且MB＋2MA＋2MC＝0，D是AC|―→|的中點(diǎn)，則―→的值為_(kāi)_______．|BM|1分析：∵D是AC的中點(diǎn)，如圖，延伸MD至E，使得DE＝MD，∴四邊形MAEC為平行四―→1―→1―→―→―→―→―→―→3―→3―→―→邊形，∴MD＝2ME＝2(MA＋MC)，∴MA＋MC＝2MD.∵M(jìn)B＋2MA＋2MC＝0，∴MB3―→―→―→―→―→|―→||―→|1＝－2(MA＋MC)＝－3MD，∴BM＝3MD，∴―→＝|3―→＝3.|BM|MD|1答案：3―→―→―→―→―→1λ2的值為_(kāi)_______．2．在△ABC中，BD＝3DC，若AD＝λ1AB＋λ2AC，則λ―→―→―→―→3―→―→3―→―→1―→3―→分析：由題意得，AD＝AB＋BD＝AB＋4BC＝AB＋4(AC－AB)＝4AB＋4AC，∴λ1＝1，λ2＝3，∴λ1λ2＝3.44163答案：163．設(shè)O是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且―→＋―→＝－2―→，則△與△的面積之比為OAOCOBAOBAOC________．分析：設(shè)D為AC的中點(diǎn)，連接―→―→―→―→―→―→OD，則OA＋OC＝2OD.又OA＋OC＝－2OB，因此―→＝－―→，即O為的中點(diǎn)，進(jìn)而簡(jiǎn)單得△與△1的面積之比為.ODOBBDAOBAOC21答案：24．已知點(diǎn)O為△外接圓的圓心，且―→＋―→＋―→＝0，則△的內(nèi)角A等于ABCOAOBCOABC________．分析：由―→＋―→＋―→＝0，得―→＋―→＝―→，由O為△外接圓OAOBCOOAOBOCABC―→―→―→―→―→―→的圓心，可得|OA|＝|OB|＝|OC|.設(shè)OC與AB交于點(diǎn)D，如圖，由OA＋OB＝OC可知D為AB的中點(diǎn)，因此―→―→―→―→OC＝2OD，D為OC的中點(diǎn)．又由|OA|＝|OB|可知OD⊥AB，即OC⊥AB，因此四邊形OACB為菱形，因此△OAC為等邊三角形，即∠CAO＝60°，故A＝30°.答案：30°5．已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過(guò)點(diǎn)G作一條直線(xiàn)與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點(diǎn)，2―→―→―→―→xy且AM＝xAB，AN＝y(tǒng)AC，則x＋y的值為_(kāi)_______．分析：由已知得M，G，N三點(diǎn)共線(xiàn)，因此―→―→―→―→AG＝λAM＋(1－λ)AN＝λxAB＋(1－―→―→21―→―→1―→―→，∴λ)yAC.∵點(diǎn)G是△ABC的重心，∴AG＝×(AB＋AC)＝(AB＋AC)32311λx＝3，λ＝3，1111x＋yx－λy1即1，得3x＋3y＝1，即x＋y＝3，通分得xy＝3，＝，1－λ＝33yxy1x＋y＝3.1答案：36．(2018·如皋中學(xué)期末)若點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且知足―→―→5AM＝AB＋―→3AC，則△ABM與△ABC的面積的比值為_(kāi)_______．分析：設(shè)的中點(diǎn)為，如圖，連接，，由―→―→＋3―→，5＝ABACABDMDMCAM―→―→＋3―→①，即―→＝2―→＋3―→23，得5＝2ADACAM5AD5AC，即＋＝1，故AM55CM，D三點(diǎn)共線(xiàn)，又―→―→―→5―→―→AM＝AD＋DM②，①②聯(lián)立，得DM＝3DC，33即在△ABM與△ABC中，邊AB上的高的比值為5，因此△ABM與△ABC的面積的比值為5.3答案：57．已知，，F(xiàn)分別為△的邊，，的中點(diǎn)，且―→＝a，―→＝b，給出下DEABCBCCAABBCCA列命題：―→1―→1①AD＝2a－b；②BE＝a＋2b；―→11―→―→―→③CF＝－2a＋2b；④AD＋BE＋CF＝0.此中正確命題的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．―→―→―→1―→―→1―→―→1―→1分析：由BC＝a，CA＝b可得AD＝2CB＋AC＝－2a－b，BE＝BC＋2CA＝a＋2b，―→＝1(―→＋―→)＝1(－a＋b)＝－1a＋1b，―→＋―→＋―→＝－1a－b＋a＋1b－1aCF2CBCA222ADBECF2221＋2b＝0，因此①錯(cuò)，②③④正確．因此正確命題的個(gè)數(shù)為3.3答案：3―→―→―→―→，則―→―→8．若|AB|＝|AC|＝|AB－AC|＝2|AB＋AC|＝________.分析：∵―→|＝―→―→―→＝2，∴△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，|AB|AC|＝|AB－AC|―→―→―→―→π∴|AB＋AC|為△ABC的邊BC上的高的2倍，∴|AB＋AC|＝2×2sin3＝23.答案：239．若點(diǎn)O是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且知足―→―→―→―→―→|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，則△ABC的形狀為_(kāi)_______．―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→分析：由于OB＋OC－2OA＝OB－OA＋OC－OA＝AB＋AC，OB－OC＝CB＝―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→AB－AC，因此|AB＋AC|＝|AB－AC|，即AB·AC＝0，故AB⊥AC，△ABC為直角三角形．答案：直角三角形10．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝23，BC＝2，點(diǎn)E在線(xiàn)段CD―→―→―→上，若AE＝AD＋μAB，則μ的取值范圍是________．分析：由題意可求得AD＝1，CD＝―→―→―→3，因此AB＝2DC.∵點(diǎn)E在線(xiàn)段CD上，∴DE＝―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→2μλDC(0≤λ≤1)．∵AE＝AD＋DE，又AE＝AD＋μAB＝AD＋2μDC＝AD＋λ―→2μλ11DE，∴λ＝1，即μ＝2.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤2，即μ的取值范圍是0，2.1答案：0，2二、解答題11.如圖，以向量―→＝a，―→＝b為鄰邊作?，―→＝1OAOBOADBBM3―→―→1―→―→―→―→BC，CN＝3CD，用a，b表示OM，ON，MN.解：∵―→＝―→－111―→＝a－b，―→＝―→＝a－b，BAOAOBBM6BA66∴―→―→―→＋111＋5＝＋＝a－b＝6b.OMOBBMb666a―→又∵OD＝a＋b，―→―→1―→1―→1―→2―→22∴ON＝OC＋3CD＝2OD＋6OD＝3OD＝3a＋3b，4―→―→―→221511∴MN＝ON－OM＝3a＋3b－6a－6b＝2a－6b.―→15―→22―→11綜上，OM＝6a＋6b，ON＝3a＋3b，MN＝2a－6b.―→212.如下圖，在△ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，AE＝3―→―→―→AD，AB＝a，AC＝b.―→―→―→―→―→(1)用a，b表示向量AD，AE，AF，BE，BF；(2)求證：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)．―→1―→解：(1)延伸AD到G，使AD＝2AG，連接BG，CG，獲得?ABGC，如圖，―→―→―→因此AG＝AB＋AC＝