微專題05圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值及證明問題——2020高考數(shù)學(xué)（理）二輪復(fù)習(xí)微專題聚焦【考情分析】圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題是高考命題的常考題型，無論是選擇題、填空題，還是解答題，只要考查與曲線有關(guān)的運(yùn)動變化，都可能涉及探究定點(diǎn)或定值，注重與平面向量、函數(shù)、二次方程、不等式等融合與滲透，因而這類問題考查范圍廣泛，命題形式新穎，難度一般較大?！厩皞渲R】1、直線與圓錐曲線的三種位置關(guān)系將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立,化簡后得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程,則直線與圓錐曲線的位置關(guān)系有三種情況:(1)相交:Δ>0?直線與橢圓相交;Δ>0?直線與雙曲線相交,但直線與雙曲線相交不一定有Δ>0,故Δ>0是直線與雙曲線相交的充分不必要條件;Δ>0?直線與拋物線相交,但直線與拋物線相交不一定有Δ>0,故Δ>0也僅是直線與拋物線相交的充分條件,而不是必要條件.(2)相切:Δ=0?直線與橢圓相切;Δ=0?直線與雙曲線相切;Δ=0?直線與拋物線相切.(3)相離:Δ<0?直線與橢圓相離;Δ<0?直線與雙曲線相離;Δ<0?直線與拋物線相離.2、直線與圓錐曲線相交時(shí)的常見問題的處理方法(1)涉及弦長問題,常用“根與系數(shù)的關(guān)系”,采用設(shè)而不求,利用弦長公式計(jì)算弦長.(2)涉及弦中點(diǎn)的問題,常用“點(diǎn)差法”設(shè)而不求,將動點(diǎn)的坐標(biāo)、弦中點(diǎn)坐標(biāo)和弦所在直線的斜率聯(lián)系起來,相互轉(zhuǎn)化.(3)特別注意利用公式求弦長時(shí),是在方程有解的情況下進(jìn)行的,不要忽略判別式,判別式大于零是檢驗(yàn)所求參數(shù)的值是否有意義的依據(jù).考點(diǎn)一圓錐曲線的定點(diǎn)問題【例1】已知拋物線y2=2px(p>0)上的點(diǎn)T(3,t)到焦點(diǎn)F的距離為4.(1)求t,p的值.(2)設(shè)A,B是拋物線上分別位于x軸兩側(cè)的兩個(gè)動點(diǎn),且·=5(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)).求證:直線AB過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).【解析】(1)由拋物線的定義得,3+QUOTEp2p2=4,解得p=2,所以拋物線的方程為y2=4x,代入點(diǎn)T(3,t),解得.(2)設(shè)直線AB的方程為x=my+n,,聯(lián)立QUOTEy2=4x,x=my+n,消元得y2-4my-4n=0,則y1+y由·=5,得,所以y1y2=-20或y1y2=4(舍去),即-4n=-20,即n=5,所以直線AB的方程為x=my+5,所以直線AB過定點(diǎn)(5,0).【方法歸納提煉素養(yǎng)】——數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合、方程思想，核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算.求解定點(diǎn)問題常用的方法1、目標(biāo)等式法求定點(diǎn)目標(biāo)等式法是利用目標(biāo)等式恒成立的條件，即對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等，建立方程（組），求解定點(diǎn)的方法.解決問題的關(guān)鍵如下：坐標(biāo)化，將題目中的已知條件坐標(biāo)化處理；建立目標(biāo)等式，利用坐標(biāo)化的結(jié)論建立目標(biāo)等式，如；列方程（組），根據(jù)等式恒成立的條件，列出方程或方程組，如；找定點(diǎn)，解方程（組），可得直線或者曲線過的定點(diǎn).“特殊探路，一般證明”，即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目標(biāo)的一般性證明。“一般推理，特殊求解”即先由題設(shè)條件得出曲線的方程，在根據(jù)參數(shù)的任意性得到定點(diǎn)坐標(biāo)。求證直線過定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程來證明?？键c(diǎn)二圓錐曲線的定值問題【必備知識】圓錐曲線中定值問題的特點(diǎn)及兩大解法（1）特點(diǎn):待證幾何量不受動點(diǎn)或動線的影響而有固定的值.（2）兩大解法:①從特殊到一般求定值：其解題流程為：第一步：在運(yùn)算過程中，盡量減少所求表達(dá)式中變量的個(gè)數(shù)，以便于向定值靠攏；第二步：巧妙利用變量間的關(guān)系，例如點(diǎn)的坐標(biāo)符合曲線方程等，盡量做到整體代入，簡化運(yùn)算．②引進(jìn)變量法即運(yùn)用函數(shù)的思想方法:其解題流程為：第一步：變量，選擇適當(dāng)?shù)膭狱c(diǎn)坐標(biāo)或動線中的系數(shù)為變量；第二步：函數(shù)，把要證明為定值的量表示成上述變量的函數(shù)；第三步：定值，把得到的函數(shù)化簡，消去變量得到定值.【例2】已知點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn),直線與圓交于,兩點(diǎn),點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn).(1)求橢圓的離心率及左焦點(diǎn)的坐標(biāo);(2)求證:直線與橢圓相切;(3)判斷是否為定值,并說明理由.【解析】(1)由題意,,,所以離心率,左焦點(diǎn).(2)由題知,,即.當(dāng)時(shí)直線方程為或,直線與橢圓相切,當(dāng)時(shí),由,得,即,所以,故直線與橢圓相切.(3)設(shè),,當(dāng)時(shí),,,,,所以,即,當(dāng)時(shí),由,得,則,,.因?yàn)?所以,即,故為定值.【方法歸納提煉素養(yǎng)】——數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合、分類討論思想，核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算.圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略(1)求代數(shù)式為定值.依題意設(shè)條件,得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式,代入代數(shù)式、化簡即可得出定值;(2)求點(diǎn)到直線的距離為定值.利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式,再利用題設(shè)條件化簡、變形求得;(3)求某線段長度為定值.利用長度公式求得解析式,再依據(jù)條件對解析式進(jìn)行化簡、變形即可求得.【類比訓(xùn)練】已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的長半軸長為半徑的圓與直線相切.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)為動直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)，問:在軸上是否存在定點(diǎn),使得為定值？若存在，試求出點(diǎn)的坐標(biāo)和定值；若不存在,請說明理由.【解析】（1）由，得，即，①又以原點(diǎn)為圓心，橢圓的長半軸長為半徑的圓為，且圓與直線相切，所以，代入①得，則.所以橢圓的方程為.（2）由得，且，設(shè)，則，根據(jù)題意，假設(shè)軸上存在定點(diǎn)，使得為定值，則有要使上式為定值，即與無關(guān)，則應(yīng)，即，此時(shí)為定值，定點(diǎn)為.考點(diǎn)三圓錐曲線中的證明問題【必備知識】圓錐曲線證明問題的類型及求解策略(1)圓錐曲線中的證明問題，主要有兩類：①證明點(diǎn)、直線、曲線等幾何元素中的位置關(guān)系，如：某點(diǎn)在某直線上、某直線經(jīng)過某點(diǎn)、某兩條直線平行或垂直等；②證明直線與圓錐曲線中的一些數(shù)量關(guān)系(相等或不等)．(2)解決證明問題時(shí)，主要根據(jù)直線與圓錐曲線的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等，通過相關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用、代數(shù)式的恒等變形以及必要的數(shù)值計(jì)算等進(jìn)行證明．【例3】已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到點(diǎn)的距離比到直線x=-1的距離小，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線C.（1）求點(diǎn)P的軌跡曲線C的方程；（2）過曲線C上一點(diǎn)M作兩條直線與曲線C分別交于不同的兩點(diǎn)A，B，若直線的斜率分別為，且，證明：直線AB過定點(diǎn).【解析】（1）（1）由題意可知，動圓圓心到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線的方程為．（2）易知，設(shè)點(diǎn)，，直線的方程為：，聯(lián)立，得，所以，所以因?yàn)椋?，所以，所以，所以或?dāng)時(shí)，直線的方程：過定點(diǎn)與重合，舍去；當(dāng)時(shí)，直線的方程：過定點(diǎn)，所以直線過定點(diǎn).【方法歸納提煉素養(yǎng)】——數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合、方程思想，核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算.求軌跡方程的常用方法(1)直接法：直接利用條件建立x，y之間的關(guān)系F(x，y)=0.(2)待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程時(shí)先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù).(3)定義法：先根據(jù)條件得出動點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點(diǎn)的軌跡方程.(4)代入法(相關(guān)點(diǎn)法)：動點(diǎn)P(x，y)依賴于另一動點(diǎn)的變化而變化，并且又在某已知曲線上，則可先用x，y的代數(shù)式表示，再將代入已知曲線得要求的軌跡方程.(5)參數(shù)法：當(dāng)動點(diǎn)P(x，y)坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)動點(diǎn)可用時(shí)，可考慮將x，y均用一中間變量(參數(shù))表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程.【類比訓(xùn)練】橢圓E:QUOTEx2a2x2a2+QUOTEy2b2y2b2=1(a>b>0)的離心率為QUOTE33(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若斜率為k的直線l過點(diǎn)A(0,1),且與橢圓E交于C,D兩點(diǎn),B為橢圓E的下頂點(diǎn),求證:對于任意的k,直線BC,BD的斜率之積為定值.【解析】(1)因?yàn)?所以.①又橢圓過點(diǎn),所以QUOTE3a23a2+QUOTE2b22b2=1由①②,解得a2=6,b2=4,所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為QUOTEx26x26+QUOTEy24y2(2)設(shè)直線l:y=kx+1,C(x1,y1),D(x2,y2),聯(lián)立QUOTEx26+y24=1,y=kx所以x1+x2=-QUOTE6k3k2+26k3k2+2,x1x2=-QUOTE易知B(0,-2),所以kBC·kBD=QUOTEy1+2x1y1+2x1·QUOTEy2+2x2y2+2x2=QUOTEkx1+3=QUOTEk2x1x2+3k(x1+x2)+9x1x2k2x1x2+3k(x1+x2)+9x所以對于任意的k,直線BC,BD的斜率之積為定值.【自我總結(jié)】圓錐曲線中的證明問題多涉及幾何量的證明，比如涉及線段或角相等以及位置關(guān)系等等(注意一些常用的結(jié)論，如等腰三角形兩底角相等，兩直線斜率之和為0等)．證明時(shí)，常把幾何量用坐標(biāo)表示，建立某個(gè)變量的函數(shù)，用代數(shù)方法證明，常將斜率利用整體法求解．做高考真題提能力素養(yǎng)【解答題】1、（2019全國III卷·T21）已知曲線C：y=，D為直線y=上的動點(diǎn)，過D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.（1）證明：直線AB過定點(diǎn)：（2）若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積.【解析】(1)證明：設(shè),,則。又因?yàn)?，所?則切線DA的斜率為，故，整理得.設(shè)，同理得.,都滿足直線方程.于是直線過點(diǎn)，而兩個(gè)不同的點(diǎn)確定一條直線，所以直線方程為.即，當(dāng)時(shí)等式恒成立，所以直線恒過定點(diǎn).（2）由（1）得直線的方程為.由，可得，于是.設(shè)分別為點(diǎn)到直線的距離，則.因此，四邊形ADBE的面積.設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，則，由于，而，與向量平行，所以，解得或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)因此，四邊形的面積為3或.2、(2018·全國卷I高考理科·T19)設(shè)橢圓C:QUOTEx22x22+y2=1的右焦點(diǎn)為F,過F的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)M的坐標(biāo)為QUOTE2,02,(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí),求直線AM的方程.(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),證明:∠OMA=∠OMB.【解析】(1)由已知得F(1,0),l的方程為x=1.代入QUOTEx22x22+y2=1可得,點(diǎn)A的坐標(biāo)為QUOTE1,221,22或QUOTE1,-2所以直線AM的方程為y=-QUOTE2222x+QUOTE22或y=QUOTE2222x-QUOTE22.(2)當(dāng)l與x軸重合時(shí),∠OMA=∠OMB=0°.當(dāng)l與x軸垂直時(shí),OM為線段AB的垂直平分線,所以∠OMA=∠OMB.當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí),設(shè)l的方程為y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),則x1<QUOTE22,x2<QUOTE22,直線MA,MB的斜率之和為kMA+kMB=QUOTEy1x1-2y1x1-2+QUOTEy2x2-2由y1=kx1-k,y2=kx2-k得kMA+kMB=QUOTE2kx1x2-將y=k(x-1)代入QUOTEx22x22+y2=1得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0.所以,x1+x2=QUOTE4k22k2+14k22k2+1,x1x則2kx1x2-3k(x1+x2)+4k=QUOTE4k3-4k-12從而kMA+kMB=0,故MA,MB的傾斜角互補(bǔ),所以∠OMA=∠OMB.綜上,∠OMA=∠OMB.3、(2018·全國Ⅲ高考理科·T20)已知斜率為k的直線l與橢圓C:QUOTEx24x24+QUOTEy23y23=1交于A,B兩點(diǎn).線段AB的中點(diǎn)為MQUOTE1,mm>(1)證明:k<-QUOTE1212;(2)設(shè)F為C的右焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),且++=0.證明:,,成等差數(shù)列,并求該數(shù)列的公差.【解析】(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則QUOTEx124x124+QUOTEy123y123=1,QUOTEx224x224+兩式相減,并由QUOTEy1-y2x1-x2y1-y2x1-x2=k得QUOTEx由題設(shè)知QUOTEx1+x22x1+x22=1,QUOTEy1+y22y1+由題設(shè)得0<m<QUOTE3232,故k<-QUOTE1212.(2)由題意得F(1,0),設(shè)P(x3,y3),則(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及題設(shè)得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m<0.又點(diǎn)P在C上,所以m=QUOTE3434,從而PQUOTE1,-321,-32,||=QUOTE3232.于是||=QUOTE(x1-1)2+y12(x1-1)2+y12=同理||=2-QUOTEx22x22.所以||+||=4-QUOTE1212(x1+x2)=3.故2||=||+||,即||,||,||成等差數(shù)列.設(shè)該數(shù)列的公差為d,則2|d|=|||-|||=QUOTE1212|x1-x2|=QUOTE12(x1+x2)2將m=QUOTE3434代入①得k=-1.所以l的方程為y=-x+QUOTE7474,代入C的方程,并整理得7x2-14x+QUOTE1414=0.故x1+x2=2,x1x2=QUOTE128128,代入②解得|d|=QUOTE3212832128.所以該數(shù)列的公差為QUOTE3212832128或-QUOTE32128321(2017·全國乙卷理科·T20)已知橢圓C:QUOTEx2a2+QUOTEy2b2=1(a>b>0),四點(diǎn),,,P4QUOTE1,32中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.(1)求C的方程.(