1.基本不等式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均與幾何平均．2．理解定理1和定理2.3．掌握利用基本不等式求一些函數(shù)的最值及解決實(shí)際的應(yīng)用問題.一、自學(xué)釋疑根據(jù)線上提交的自學(xué)檢測，生生、師生交流討論，糾正共性問題。二、合作探究探究1函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x)的最小值是2嗎？探究2在基本不等式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)中，為什么要求a>0，b>0?探究3利用eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)求最值的條件是怎樣的？探究4你能給出基本不等式的幾何解釋嗎？名師點(diǎn)撥1.常用基本不等式(1)(a－b)2≥0?a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)均值不等式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a，b∈R＋)．這兩個(gè)不等式都是在a＝b時(shí)，等號(hào)成立．而(1)只要求a，b∈R，而公式(2)條件加強(qiáng)了，要求a>0，b>0.注意區(qū)別．(3)利用基本不等式還可以得到以下不等式：a＋eq\f(1,a)≥2(a>0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝1時(shí)取等號(hào))．當(dāng)ab>0時(shí)，eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào))．a(chǎn)2＋b2≥eq\f(a＋b2,2)≥2ab(a，b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立)．2．均值不等式的應(yīng)用應(yīng)用均值不等式中等號(hào)成立的條件，可以求最值．(1)x，y∈R＋，且xy＝m(m為定值)，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值2eq\r(m)；(2)x，y∈R＋，且x＋y＝n(n為定值)，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值eq\f(n2,4).在應(yīng)用均值不等式求最值時(shí)，應(yīng)強(qiáng)調(diào)“一正、二定、三相等”．否則會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)果.例1已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：(1)eq\f(（a＋b）（b＋c）（c＋a）,abc)≥8；(2)a＋b＋c≥eq\r(ab)＋eq\r(bc)＋eq\r(ca).變式練習(xí)1．設(shè)a，b，c∈R＋，求證：eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2)＋eq\r(c2＋a2)≥eq\r(2)(a＋b＋c)．例2已知x＞0，y＞0，且eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，求x＋y的最小值．變式練習(xí)2．求函數(shù)f(x)＝eq\f(－2x2＋x－3,x)(x＞0)的最大值及此時(shí)x的值．例3某單位決定投資3200元建一倉庫(長方體)，高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢，正面用鐵柵，每米長造價(jià)40元，兩側(cè)用磚墻，每米長造價(jià)45元，頂部每平方米造價(jià)20元．倉庫底面積S的最大允許值是多少？為使S達(dá)到最大，而實(shí)際投資又不超過預(yù)算，那么正面鐵柵應(yīng)設(shè)計(jì)為多長？變式練習(xí)3．某食品廠定期購買面粉，已知該廠每天需用面粉6噸，每噸面粉的價(jià)格為1800元，面粉的保管等其他費(fèi)用為平均每噸每天3元，購買面粉每次需支付運(yùn)費(fèi)900元．(1)求該廠多少天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最少？(2)某提供面粉的公司規(guī)定：當(dāng)一次購買面粉不少于210噸時(shí)，其價(jià)格可享受9折優(yōu)惠，問該廠是否考慮利用此優(yōu)惠條件？請說明理由．

參考答案探究1【提示】函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x)的最小值不是2.當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2；(當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào))當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝x＋eq\f(1,x)＝－≤－2.(當(dāng)且僅當(dāng)x＝－1時(shí)取等號(hào))顯然f(x)無最小值，也無最大值.探究2【提示】對于不等式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，如果a，b中有兩個(gè)或一個(gè)為0，雖然不等式仍成立，但是研究的意義不大，當(dāng)a，b都為負(fù)數(shù)時(shí)，不等式不成立；當(dāng)a，b中有一個(gè)為負(fù)數(shù)，另一個(gè)為正數(shù)，不等式無意義．探究3【提示】利用基本不等式求最值的條件是“一正、二定、三相等”，即(1)各項(xiàng)或各因式為正；(2)和或積為定值；(3)各項(xiàng)或各因式能取得相等的值．探究4【提示】如圖，以a＋b為直徑的圓中，DC＝eq\r(ab)，且DC⊥AB.因?yàn)镃D為圓的半弦，OD為圓的半徑，長為eq\f(a＋b,2)，根據(jù)半弦長不大于半徑，得不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2).顯然，上述不等式當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合，即當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．因此，基本不等式的幾何意義是圓的半弦長不大于半徑；或直角三角形斜邊的中線不小于斜邊上的高．例1[精講詳析]本題考查基本不等式在證明不等式中的應(yīng)用，解答本題需要分析不等式的特點(diǎn)，先對a＋b，b＋c，c＋a分別使用基本不等式，再把它們相乘或相加即可．(1)∵a，b，c為正實(shí)數(shù)，∴a＋b≥2eq\r(ab)＞0，b＋c≥2eq\r(bc)＞0，c＋a≥2eq\r(ca)＞0，由上面三式相乘可得(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8eq\r(ab)·eq\r(bc)·eq\r(ca)＝8abc.即eq\f(（a＋b）（b＋c）（c＋a）,abc)≥8.(2)∵a，b，c為正實(shí)數(shù)，∴a＋b≥2eq\r(ab)，b＋c≥2eq\r(bc)，c＋a≥2eq\r(ca)，由上面三式相加可得(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥2eq\r(ab)＋2eq\r(bc)＋2eq\r(ca).即a＋b＋c≥eq\r(ab)＋eq\r(bc)＋eq\r(ca).變式練習(xí)1．證明：∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2.又a，b，c∈R＋，∴eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)|a＋b|＝eq\f(\r(2),2)(a＋b)．同理：eq\r(b2＋c2)≥eq\f(\r(2),2)(b＋c)，eq\r(c2＋a2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋c)．三式相加，得eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2)＋eq\r(c2＋a2)≥eq\r(2)(a＋b＋c)．當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取等號(hào).例2[精講詳析]本題考查基本不等式的應(yīng)用，解答本題可靈活使用“1”的代換或?qū)l件進(jìn)行必要的變形，然后再利用基本不等式求得和的最小值．∵x＞0，y＞0，eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，∴x＋y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(9,y)))(x＋y)＝eq\f(y,x)＋eq\f(9x,y)＋10≥6＋10＝16.當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(y,x)＝eq\f(9x,y)，又eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，即x＝4，y＝12時(shí)，上式取等號(hào)．故當(dāng)x＝4，y＝12時(shí)，(x＋y)min＝16.變式練習(xí)2．解：f(x)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(3,x))).因?yàn)閤＞0，所以2x＋eq\f(3,x)≥2eq\r(6)，得－(2x＋eq\f(3,x))≤－2eq\r(6)，因此f(x)≤1－2eq\r(6)，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝eq\f(3,x)，即x2＝eq\f(3,2)時(shí)，式子中的等號(hào)成立．由于x＞0，因而x＝eq\f(\r(6),2)時(shí)，等號(hào)成立．因此f(x)max＝1－2eq\r(6)，此時(shí)x＝eq\f(\r(6),2).例3[精講詳析]本題考查基本不等式的應(yīng)用，解答此題需要設(shè)出鐵柵和磚墻的長，然后根據(jù)投資費(fèi)用列出關(guān)系式，借助基本不等式即可解決．設(shè)鐵柵長為xm，一堵磚墻長為ym，則有S＝xy，由題意，得40x＋2×45y＋20xy＝3200，由基本不等式，得3200≥2eq\r(40x·90y)＋20xy＝120eq\r(xy)＋20xy＝120eq\r(S)＋20S，∴S＋6eq\r(S)≤160，即(eq\r(S)＋16)(eq\r(S)－10)≤0.∵eq\r(S)＋16＞0，∴eq\r(S)－10≤0，從而S≤100.因此S的最大允許值是100m2，取得此最大值的條件是40x＝90y，而xy＝100，由此求得x＝15，即鐵柵的長應(yīng)是15m.變式練習(xí)3．解：(1)設(shè)該廠應(yīng)每隔x天購買一次面粉，其購買量為6x噸，由題意可知，面粉的保管等其他費(fèi)用為3[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1)，設(shè)平均每天所支付的總費(fèi)用為y1元，則y1＝eq\f(9x（x＋1）＋900,x)＋1800×6＝eq\f(900,x)＋9x＋10809≥2eq\r(\f(900,x)·9x)＋10809＝10989，當(dāng)且僅當(dāng)9x＝eq\f(900,x)，(2)因?yàn)椴簧儆?10噸，每天用面粉6噸，所以至少每隔35天購買一次面粉，設(shè)該廠利用此優(yōu)惠條件后，每隔x(x≥35)天購買一次面粉．平均每天支付的總費(fèi)用為y2元，則y2＝eq\f(1,x)[9x(x＋1)＋900]＋＝eq\f(900,x)＋9x＋9729(x≥35)，令f(x)＝x＋eq\f(100,x)(x≥35)，x2＞x1≥35，則f(x1)－f(x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(100,x1)))－eq\b\lc\(\rc\