nknkn五、數(shù)學(xué)歸納法歸納是一種有特殊事例導(dǎo)出一般原理的思維方法納推理分完全歸納推理與不完全歸納推理兩種完歸納推理只據(jù)一類事物中的部分對象具有的共同性質(zhì)斷該類事物全體都具有的性質(zhì)這推理方在學(xué)推理論證中是不允許的全歸納推理是在考察了一類事物的全部對象后歸納得出結(jié)論來。數(shù)學(xué)歸納法是用來證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種推理方法解學(xué)題中有著廣泛的應(yīng)用。它是一個遞推的數(shù)學(xué)論證方法，論證的第一步是證明命題在n＝1(或n)時0成立這遞推的基礎(chǔ)二步是假設(shè)在n＝k命題成立再證明n＝＋時命也成立，這是無限遞推下去的理論依據(jù)判命題的正確性能否由特殊推廣到一般際它使命題的正確性突破了有限，達(dá)到無限。這兩個步驟密切相關(guān)，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定“對任何自然數(shù)（或≥且n∈）結(jié)論都正確”。由這兩步可以看出，數(shù)學(xué)歸納0法是由遞推實現(xiàn)歸納的，屬于完全歸納。運用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時，關(guān)鍵是n＝＋1時命題成立的推證，此步證明要具有目標(biāo)意識注與最終要達(dá)到的解題標(biāo)進(jìn)行分析比較此確定和調(diào)控解題的方向差逐步減小，最終實現(xiàn)目標(biāo)完成解題。運用數(shù)學(xué)歸納法，可以證明下列問題：與自然數(shù)n有關(guān)恒等式、代數(shù)不等式、三角不等式、數(shù)列問題、幾何問題、整除性問題等等。Ⅰ再性組1.用學(xué)歸納法證(＋＋2)…(n＋＝··2…(2n1)（∈）從“k到k＋端需乘的代數(shù)式_____A.＋B.＋1)C.

kk

D.

2k12.用學(xué)歸納法證明1＋＋＋＋<n(n>1)，由n＝(k>1)不等式成32n立，推證n＝k＋時左邊應(yīng)增加的代數(shù)式的個數(shù)_____A.2

B.2－C.2D.2＋3.某命題與自然數(shù)n有，＝k(kN)該命題成立，那么可推得n＝k＋時該命題也成立現(xiàn)已知當(dāng)n＝該命題不成立么可推______。(94年上海高)A.當(dāng)n＝6時該命題不成立B.n6時該命題成立C.當(dāng)n＝4時該命題不成立D.n4時該命題成立4.數(shù){a}中，已知a＝，n2時a＝1猜想a的達(dá)式是____。n

n

＋2n－，次計算a、a、a后，234A.－B.n

C.3

n

D.4n－5.用學(xué)歸納法證明3

4n

＋5

n

(n∈N)能14整，n＝1對于式子3

4(

＋

2(k

應(yīng)變形為_。1N0.*

－）2＋2－）2＋2k26.設(shè)k棱有個角面k＋1棱對角面的個數(shù)為f(k+1)＝f(k)＋_________?！竞喗?小n＝k時左端的代數(shù)式(k1)(k＋…＋k),n＝k＋1時左端的代數(shù)式是k＋2)(k＋…(2k＋1)(2k2)，所以應(yīng)乘的代數(shù)式為

(2kkk

，選B；2小：2

－）（

k

，選C；3小原題與逆否命題等價＝＋1時題不成立則n＝k命題成立選C。4?。河嬎愠鯽＝、＝、＝、a＝16再想，選B；12n5?。捍鸢福?

42

）＋

（－）6?。捍鸢竗－。Ⅱ示性組例.已數(shù)列

812·32

得…，

8·nn·n

2

…S為前項求S、n1S、、，測S公，并用數(shù)學(xué)歸納法證明。93年全國理）234【解】計算S＝1

80，＝，＝，＝，225349481猜測S＝n

2

2

(n∈N)。當(dāng)n＝時等式顯然成立；假設(shè)當(dāng)n＝時式成立，即S＝k

(2k2(2

，當(dāng)n＝＋時，

k

＝＋k

8·(k(2k·(2k3)

2＝

(2(2

＋

((22·k＝＝

(2kkk2k(2k2(22(2k222＝,(2·(2k2k由此可知，當(dāng)n＝k＋時式也成立。綜上所述，等式對任何n∈N都立。2N0.*

【注】把證的等式S

k

＝

2

2

作為目標(biāo)，先通分使分母含(2k3)，考慮要約分而分子變形并意約分后得（2k3）－這證題過程中簡潔一些，有效地確定了證題的方向題思路是從試驗察出發(fā)不完全歸納法作出歸納猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行嚴(yán)格證明，這是關(guān)于探索性問題的常見證法，在數(shù)列問題中經(jīng)常見到。假如猜想后不用數(shù)學(xué)歸納法證明，結(jié)論不一定正確，即使正確，解答過程也不嚴(yán)密。必須要進(jìn)行三步：試值→猜想→證?！玖斫狻坑庙椣嘞ㄇ蠛停河蒩＝n

8·nn·(2

2

＝－得(2n(22S＝1－n

111）＋（－）＋……＋－＝－332(2n(22(2

2(2＝。2此種解法與用試值猜想證明相比，過程十分簡單，但要求發(fā)現(xiàn)

8·nn·(2

2

＝1－的項公式。可以說，用試值猜想證明三步解題，具有一般性。(2n(22例2.設(shè)a＝

×2

＋

2×3

＋…＋

n(n

(n∈N),證：

n(n＋1)<a<2(n＋?！痉治觥颗c自然數(shù)n有，考慮數(shù)學(xué)歸納法證明n＝1時易證得，n＝＋時因為a

k

＝a

k

＋

(

,所以在假設(shè)n＝k成立得到不等式中同時加上(k，再與目標(biāo)比較而進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s求解。1【解】當(dāng)n＝時，＝2，n(n+1)＝，(n+1)＝22∴n＝時不等式成立。1假設(shè)當(dāng)n＝時等式成立，即：k(k1)<a(k＋1)，2當(dāng)n＝＋時，＋1)＋(<a(k＋1)2＋

(

,111k(k＋1)＋(k>k(k＋1)＋(k＋＝(k1)(k3)>(k1)(k2)，2223N0.*

1k1k1k1k1131(k＋1)＋(k2)＝(k＋＋2k<(k＋1)＋(k＋)＝(k222＋，所以

1(k＋1)(k＋2)<a<(k＋，＝＋不等式也成立。2綜上所述，對所有的n∈，不等式

1n(n＋1)<a<(n＋恒立n2【注】用學(xué)歸納法解決與自然數(shù)有關(guān)的不等式問題，注意適當(dāng)選用放縮法。本題中分別將

(2)

縮小成k＋將

(2)

放大成k＋

32

)的兩步放縮是證n＝＋時不等式成立的關(guān)鍵。什么這樣放縮，而不放大(＋，是與目標(biāo)比較后的要求，也是遵循放縮要適當(dāng)?shù)脑瓌t。本題另一種解題思路是直接采用放縮法進(jìn)行證明。主要是抓住對

n(

的分析，注意與目標(biāo)比較后，進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆糯蠛涂s小。解法如下：由

n(n

>n可，>1＋2＋n111＋…＋n＝n(n＋；由n<n可，a<1＋＋3＋…＋＋×＝n(n＋22111)＋n＝(n＋2n)<(n＋。所以n(n＋1)<a<(n＋1)。222n例3.設(shè)數(shù)列a}的前n項和，若對于所有的自然數(shù)，都有＝證明{a}是等差數(shù)列。（年國文）n

(a)1

，【分析】要證明{a}是等差數(shù)列，可以證明其通項符合等差數(shù)列的通項公式的形式，n即證：＝＋－1)d。命與n關(guān)，考慮是否可以用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。n【解】設(shè)a－＝，猜測a＝＋－1)d2n當(dāng)n＝時a＝，∴當(dāng)n1猜測正確。n1當(dāng)n＝時a＋－＝＋＝a，∴當(dāng)n2猜測正確。12假設(shè)當(dāng)n＝（≥），猜測確，即a＝＋(k1)d，k1當(dāng)n＝＋時，

＝

－＝

(k))－，將a＝＋－1)d代上式，得2ak

k

＝(k＋1)(a＋1

k

)－－－，1整理得k－1)a

k

＝(k－1)a＋k(k－1)d，1因為k≥2,所以a

k

＝＋kd，即n＝k＋時測正確。14N0.*

11n111n111xxx綜上所述，對所有的自然數(shù)n，有a＝＋(n1)d從{a}是等差數(shù)列。nn【注】將證等差數(shù)列的問題化成證明數(shù)學(xué)恒等式關(guān)于自然數(shù)n成立問題。在證明過程中

的得出是本題解答的關(guān)鍵用已知的等式S＝

(a)1

數(shù)列中通項與前n項和關(guān)系a

k

＝

k

－建含ak

k

的方程，代入假設(shè)成立的式子a＝＋(kk－1)d解來a

k

。另外本題注意的一點是不能忽視驗證n＝、＝的確性，用數(shù)學(xué)歸納法證明時遞推的基礎(chǔ)是n＝等式成立，因為(k1)a

k

＝(k－1)a＋k(k－1)d得到1a

k

＝＋的條是k≥。1【另解】可a－＝a－ann

n

對于任意n≥都成立：當(dāng)n≥2時a＝－nn()(n)S＝－2

；同理有a＝－＝n

(n)1n

－(a)()(na)；從而a－＝－n(a＋)＋n2

，整理得a

n

－＝a－an

n

，從而a}是等差數(shù)列。n一般地，在數(shù)列問題中含有a與S時，我們可以考慮運用a＝－nnnn

n

的關(guān)系，并注意只對n≥2時系成立，象知數(shù)列的S求a一類型題應(yīng)用此關(guān)系最多。nnⅢ鞏性組1.用數(shù)學(xué)歸納法證明6

n

＋(n∈N)能被7整。2.用數(shù)學(xué)歸納法證明：1×＋×＋×10＋…n(3n＋1)＝n(n＋1)∈。3.n∈，比較2n與＋1)的大小，并用證明你的結(jié)論。4.

用數(shù)學(xué)歸納法證明等式：cos·cos·cos·…·cos＝222

2

sin

x2

(81年全國高考5.用數(shù)學(xué)歸納法證明：|sinnx|≤n|sinx|（∈N。（85年廣東高考）6.數(shù){a}的通項公式a＝n

(n

(n∈N)f(n)＝－)(1－)(1－)，12