PAGEPAGE20第四章三角形(2022～2022)第23課時(shí)銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用(2022～2022)江蘇近4年中考真題精選命題點(diǎn)1銳角三角函數(shù)(2022年6次，2022年5次，2022年6次，2022年7次)1.(2022無(wú)錫7題3分)sin30°的值為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(3),3)2.(2022南通6題3分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線OA過(guò)點(diǎn)(2，1)，那么tanα的值是()A.eq\f(\r(5),5)B.eq\r(5)C.eq\f(1,2)D.2第2題圖第3題圖3.(2022宿遷4題3分)如圖，將∠AOB放置在5×5的正方形網(wǎng)格中，那么tan∠AOB的值是()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,2)C.eq\f(2\r(13),13)D.eq\f(3\r(13),13)4.(2022徐州14題3分)假設(shè)等腰三角形的頂角為120°，腰長(zhǎng)為2cm，那么它的底邊長(zhǎng)為_(kāi)_____cm.5.(2022南通14題3分)如圖，Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，CD＝2，AC＝3，那么cosA＝________．第5題圖6.(2022連云港25題10分)如圖，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB＝eq\f(1,8).(1)求BC的長(zhǎng)；(2)利用此圖形求tan15°的值．(精確到0.1.參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.4，eq\r(3)≈1.7，eq\r(5)≈2.2)第6題圖命題點(diǎn)2eq\a\vs4\al(銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用)(2022年8次，2022年7次，2022年10次，2022年7次)7.(2022蘇州10題3分)如圖，在一筆直的海岸線l上有A、B兩個(gè)觀測(cè)站，AB＝2km，從A測(cè)得船C在北偏東45°的方向，從B測(cè)得船C在北偏東22.5°的方向，那么船C離海岸線l的距離(即CD的長(zhǎng))為()A.4kmB.(2＋eq\r(2))kmC.2eq\r(2)kmD.(4－eq\r(2))km第7題圖8.(2022宿遷22題6分)如圖，觀測(cè)點(diǎn)A、旗桿DE的底端D、某樓房CB的底端C三點(diǎn)在一條直線上，從點(diǎn)A處測(cè)得樓頂端B的仰角為22°，此時(shí)點(diǎn)E恰好在AB上，從點(diǎn)D處測(cè)得樓頂端B的仰角為38.5°，旗桿DE的高度為12米，試求樓房CB的高度．(參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin38.5°≈0.62，cos38.5°≈0.78，tan38.5°≈0.80)第8題圖9.(2022淮安24題8分)為了對(duì)一棵傾斜的古杉樹(shù)AB進(jìn)行保護(hù)，需測(cè)量其長(zhǎng)度，如圖，在地面上選取一點(diǎn)C，測(cè)得∠ACB＝45°，AC＝24m，∠BAC＝66.5°，求這棵古杉樹(shù)AB的長(zhǎng)度．(結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.41，sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30)第9題圖10.(2022南京23題8分)如圖，梯子斜靠在與地面垂直(垂足為O)的墻上，當(dāng)梯子位于AB位置時(shí)，它與地面所成的角∠ABO＝60°；當(dāng)梯子底端向右滑動(dòng)1m(即BD＝1m)到達(dá)CD位置時(shí)，它與地面所成的角∠CDO＝51°18′.求梯子的長(zhǎng)．(參考數(shù)據(jù)：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248)第10題圖11.(2022淮安24題8分)小華想測(cè)量位于池塘兩端的A、B兩點(diǎn)的距離，他沿著與直線AB平行的道路EF行走，當(dāng)行走到點(diǎn)C處，測(cè)得∠ACF＝45°，再向前行走100米到點(diǎn)D處，測(cè)得∠BDF＝60°，假設(shè)直線AB與EF之間的距離為60米，求A、B兩點(diǎn)的距離．第11題圖12.(2022鹽城26題10分)如圖是某地下商業(yè)街的入口，數(shù)學(xué)課外興趣小組的同學(xué)打算運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)測(cè)量側(cè)面支架的最高點(diǎn)E到地面的距離EF，經(jīng)測(cè)量，支架的立柱BC與地面垂直，即∠BCA＝90°，且BC＝1.5m，點(diǎn)F、A、C在同一條水平線上，斜桿AB與水平線AC的夾角∠BAC＝30°，支撐桿DE⊥AB于點(diǎn)D，該支架的邊BE與AB的夾角∠EBD＝60°，又測(cè)得AD＝1m，請(qǐng)你求出該支架的邊BE及頂端E到地面的距離EF的長(zhǎng)度．第12題圖13.(2022南京22題8分)不等臂蹺蹺板AB長(zhǎng)4m．如圖①，當(dāng)AB的一端A碰到地面時(shí)，AB與地面的夾角為α；如圖②，當(dāng)AB的另一端B碰到地面時(shí)，AB與地面的夾角為β.求蹺蹺板AB的支撐點(diǎn)O到地面的高度OH.(用含α、β的式子表示)第13題圖14.(2022泰州22題10分)圖①、②分別是某種型號(hào)跑步機(jī)的實(shí)物圖與示意圖，踏板CD長(zhǎng)為1.6m，CD與地面DE的夾角∠CDE為12°，支架AC長(zhǎng)為0.8m，∠ACD為80°，求跑步機(jī)手柄的一端A的高度h(精確到0.1m)．(參考數(shù)據(jù)：sin12°＝cos78°≈0.21，sin68°＝cos22°≈0.93，tan68°≈2.48)第14題圖15.(2022鹽城25題10分)如下圖，一幢樓房AB背后有一臺(tái)階CD，臺(tái)階每層高0.2米，且AC＝17.2米．設(shè)太陽(yáng)光線與水平地面的夾角為α，當(dāng)α＝60°時(shí)，測(cè)得樓房在地面上的影長(zhǎng)AE＝10米．現(xiàn)有一只小貓睡在臺(tái)階的MN這層上曬太陽(yáng)(eq\r(3)取1.73)．(1)求樓房的高度約為多少米？(2)過(guò)了一會(huì)兒，當(dāng)α＝45°時(shí)，問(wèn)小貓還能否曬到太陽(yáng)？請(qǐng)說(shuō)明理由．第15題圖16.(2022徐州25題8分)如圖，輪船從點(diǎn)A處出發(fā)，先航行至位于點(diǎn)A的南偏西15°且與點(diǎn)A相距100km的點(diǎn)B處，再航行至位于點(diǎn)B的北偏東75°且與點(diǎn)B相距200km的點(diǎn)C處．(1)求點(diǎn)C與點(diǎn)A的距離．(精確到1km)(2)確定點(diǎn)C相對(duì)于點(diǎn)A的方向．(參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732)第16題圖17.(2022宿遷23題8分)如圖是某通道的側(cè)面示意圖，AB∥CD∥EF，AM∥BC∥DE，AB＝CD＝EF，∠AMF＝90°，∠BAM＝30°，AB＝6m，(1)求FM的長(zhǎng)；(2)連接AF，假設(shè)sin∠FAM＝eq\f(1,3)，求AM的長(zhǎng)．第17題圖答案1.A【解析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可．sin30°＝eq\f(1,2).2.C【解析】令(2，1)為點(diǎn)B，如解圖，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，tanα＝eq\f(BC,OC)＝eq\f(1,2).第2題解圖3.B【解析】由圖可得tan∠AOB＝eq\f(3,2).4.2eq\r(3)【解析】如解圖，由得，∠B＝∠C＝eq\f(1,2)(180°－120°)＝30°，AB＝2，∴BC＝2BD＝2AB·cos30°＝2eq\r(3).第4題解圖5.eq\f(3,4)【解析】∵在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，CD＝2，∴AB＝4，∴cosA＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(3,4).6.解：(1)如解圖①，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，第6題解圖①∵∠ACB＝150°，∴∠ACD＝30°，∴AD＝eq\f(1,2)AC＝2，CD＝AC×cos30°＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，∵在Rt△ABD中，tanB＝eq\f(AD,BD)＝eq\f(1,8)，∴eq\f(2,2\r(3)＋BC)＝eq\f(1,8)，∴BC＝16－2eq\r(3)；(2)如解圖②，在CB上截取CE＝CA＝4，那么∠CEA＝∠CAE＝eq\f(1,2)∠ACD＝15°，第6題解圖②∴tan15°＝eq\f(AD,DE)＝eq\f(2,4＋2\r(3))＝eq\f(1,2＋\r(3))＝2－eq\r(3)≈0.3.7.B【解析】如解圖，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD交AC于點(diǎn)E.那么BE＝AB＝2，AE＝2eq\r(2)；∠AEB＝∠EBC＋∠ECB，∵∠AEB＝45°，∠EBC＝22.5°，∴∠ECB＝22.5°，∴CE＝BE＝2，所以AC＝2eq\r(2)＋2，所以CD＝(2＋eq\r(2))km.第7題解圖8.解：在Rt△ADE中，∵tan22°＝eq\f(DE,AD)，∴AD＝eq\f(DE,tan22°)≈eq\f(12,0.4)＝30，在Rt△BCD中，設(shè)BC＝x，那么CD＝eq\f(BC,tan38.5°)≈eq\f(x,0.8)＝eq\f(5,4)x，∵DE∥BC，∴eq\f(DE,BC)＝eq\f(AD,AC)，∴eq\f(12,x)＝eq\f(30,30＋\f(5,4)x)，解得x＝24.答：樓房CB的高度約為24米．9.解：如解圖，過(guò)B點(diǎn)作BD⊥AC于點(diǎn)D.第9題解圖∵∠ACB＝45°，∠BAC＝66.5°，∴在Rt△ADB中，AD＝eq\f(BD,tan66.5°)，在Rt△CDB中，CD＝BD，∵AC＝AD＋CD＝24，∴eq\f(BD,tan66.5°)＋BD＝24，解得BD≈17，∴AB＝eq\f(BD,sin66.5°)≈18，答：這棵古杉樹(shù)AB的長(zhǎng)度大約為18m．10.解：設(shè)梯子的長(zhǎng)為xm.在Rt△ABO中，cos∠ABO＝eq\f(OB,AB)，∴OB＝AB·cos∠ABO＝x·cos60°＝eq\f(1,2)x，在Rt△CDO中，cos∠CDO＝eq\f(OD,CD)，∴OD＝CD·cos∠CDO＝x·cos51°18′≈0.625x，∵BD＝OD－OB，∴0.625x－eq\f(1,2)x＝1，解得x＝8.答：梯子的長(zhǎng)約為8m．11.解：如解圖，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥EF于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥EF于點(diǎn)H，第11題解圖由題意可知，CD＝100米，AG＝BH＝60米，∠ACF＝45°，∠BDH＝60°.在Rt△ACG中，AG＝60，∠ACF＝45°，∴CG＝60.在Rt△BDH中，BH＝60，∠BDH＝60°，∴tan60°＝eq\f(BH,DH)，∴eq\r(3)＝eq\f(60,DH)，∴DH＝20eq\r(3)，∴AB＝CD＋DH－CG＝100＋20eq\r(3)－60＝40＋20eq\r(3).答：AB兩點(diǎn)之間的距離為(40＋20eq\r(3))米．12.解：如解圖，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥EF于點(diǎn)H，第12題解圖∴四邊形BCFH為矩形，BC＝HF＝1.5m，∠HBA＝∠BAC＝30°，在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，BC＝1.5m，∴AB＝3m，∵AD＝1m，∴BD＝2m，在Rt△EDB中，∵∠EBD＝60°，∴∠BED＝90°－60°＝30°，∴EB＝2BD＝2×2＝4m，又∵∠HBA＝∠BAC＝30°，∴∠EBH＝∠EBD－∠HBD＝30°，∴EH＝eq\f(1,2)EB＝2m，∴EF＝EH＋HF＝2＋1.5＝3.5m.答：該支架的邊BE為4m，頂端E到地面的距離EF的長(zhǎng)度為3.5m．13.解：在Rt△AHO中，sinα＝eq\f(OH,OA)，∴OA＝eq\f(OH,sinα)，在Rt△BHO中，sinβ＝eq\f(OH,OB)，∴OB＝eq\f(OH,sinβ)，∵AB＝4，∴OA＋OB＝4，即eq\f(OH,sinα)＋eq\f(OH,sinβ)＝4，∴OH＝eq\f(4sinαsinβ,sinα＋sinβ)m．14.解：如解圖，過(guò)C點(diǎn)作FG⊥AB于點(diǎn)F，交DE于點(diǎn)G.第14題解圖∵CD與地面DE的夾角∠CDE為12°，∠ACD＝80°，∴∠ACF＝∠FCD－∠ACD＝90°＋12°－80°＝22°，∴∠CAF＝68°，在Rt△ACF中，CF＝AC·sin∠CAF＝0.8·sin68°≈0.744m，在Rt△CDG中，CG＝CD·sin∠CDE＝1.6·sin12°≈0.336m，∴FG＝FC＋CG≈1.1m.答：跑步機(jī)手柄的一端A的高度h約為1.1m．15.解：(1)在Rt△AEB中，∠A＝90°，∠α＝60°，AE＝10，∴AB＝AE·tan60°＝10×eq\r(3)≈17.3.答：樓房的高約為17.3米；(2)當(dāng)α＝45°時(shí)，小貓仍然能曬到太陽(yáng)．第15題解圖理由如下：假設(shè)沒(méi)有臺(tái)階，如解圖，當(dāng)α＝45°時(shí)，從點(diǎn)B射下的光線與地面AD的交點(diǎn)為F，與MC的交點(diǎn)為H.∵∠BFA＝∠ABF＝45°，∴BA＝AF，此時(shí)影長(zhǎng)AF＝BA＝17.3，∴CF＝AF－AC＝17.3－17.2＝0.1＜0.2，∴CH＝CF＝0.1，那么大樓影子落在臺(tái)階MC這個(gè)側(cè)面上．∴小貓仍然能曬到太陽(yáng)．16.解：(1)如解圖，過(guò)點(diǎn)A