第三章有旋（渦）流與無旋流（有勢流）3.1有旋流淌渦量機(jī)翼尾渦、龍卷風(fēng)等直觀上的旋渦現(xiàn)象是大尺度流體團(tuán)的猛烈有旋流淌。在有旋流淌中，只有當(dāng)流體團(tuán)積聚較強(qiáng)渦量并繞某一公共軸線旋轉(zhuǎn)時，才形成旋渦。有旋流淌中，猛烈旋渦運(yùn)動主宰流淌。從渦動力學(xué)動身探討旋渦運(yùn)動，比用N-S方程來探討更加便利。渦面與渦管渦線1渦量場渦通量速度環(huán)量Stokes定理沿渦管每一橫截面的包圍曲線的速度環(huán)量相等1＝22渦旋的運(yùn)動學(xué)特性渦旋場內(nèi)無源無匯對一個確定的渦管，它的隨意截面上的渦通量是一個常數(shù)。該常數(shù)稱為渦管強(qiáng)度J1＝J2渦線和渦管都不能在流體內(nèi)部中斷所以有3

渦量連續(xù)性方程對志向流體得到亥爾姆霍茲方程4不行壓粘性流體質(zhì)量力有勢時渦量輸運(yùn)方程習(xí)題已知速度場求（1）渦量及渦線方程（2）在平面上通過單位面積的渦通量。3.2無旋流淌的勢函數(shù)1無旋流淌的勢函數(shù)在無旋流淌中：存在函數(shù)：函數(shù)稱為速度勢函數(shù)。存在著速度勢函數(shù)的流動，稱為有勢流動，簡稱勢流。無旋流淌必定是有勢流淌?。?！速度在某一方向的重量等于勢函數(shù)在該方向上的偏導(dǎo)數(shù)。

2勢函數(shù)的性質(zhì)勢函數(shù)是調(diào)和函數(shù)不行壓縮流體的連續(xù)性方程為：即拉普拉斯方程3基本解疊加法勢流疊加原理線性方程疊加原理基本流淌2基本流淌1新的困難流淌（1）基本解勻整直線流點源匯流場中某一點處有流體注入流場，體積流量Q，稱點源強(qiáng)度。設(shè)坐標(biāo)原點在點源處，徑向流速偶極子：等強(qiáng)度的源匯無限靠近若存在（M為偶極強(qiáng)度），這樣的源匯點叫偶極點。（2）圓球繞流設(shè)坐標(biāo)原點在球心，求速度勢邊條件：物面不行穿透無窮遠(yuǎn)來流用基本解疊加求速度勢時，據(jù)流淌特征選擇適當(dāng)?shù)幕窘鈩蛘麃砹?偶極子無窮遠(yuǎn)來流條件滿足，再由物面條件求得偶極子強(qiáng)度速度場球面速度前后駐點球面壓強(qiáng)球面壓力系數(shù)01.0090180-1.25志向無旋繞流，球面壓強(qiáng)分布關(guān)于X軸和Y軸都是對稱的，合力為零。與實際繞流相比，迎風(fēng)面符合較好。大約從頂部起先，實際壓強(qiáng)分布偏離志向狀況。尤其在圓球后部，實際壓強(qiáng)遠(yuǎn)低于理論壓強(qiáng)。其緣由在于流體粘性導(dǎo)致的尾部分別，產(chǎn)生壓差阻力（形態(tài)阻力）。在流淌不發(fā)生分別或在分別點之前，志向無旋繞流是實際流淌的良好近似。3.3不行壓流體的平面勢流1流函數(shù)在不行壓縮流體平面流淌中，連續(xù)性方程簡化為：存在流函數(shù)：一切不行壓縮流體的平面流淌，無論是有旋流淌或是無旋流淌都存在流函數(shù)。流函數(shù)的性質(zhì)：（1）等流函數(shù)線即是流線。流線（2）兩流線間的流函數(shù)差值，等于兩流線間的單寬流量。（3）平面勢流的流函數(shù)是調(diào)和函數(shù)。2無旋流淌（1）勢函數(shù)為調(diào)和函數(shù)。（2）平面運(yùn)動沿隨意曲線AB的環(huán)量等于兩端點A及B的速度勢之差。3流函數(shù)與勢函數(shù)的關(guān)系（1）平面無旋運(yùn)動的勢函數(shù)和流函數(shù)共軛。（2）流函數(shù)的等值線與速度勢函數(shù)的等值線正交。柯西--黎曼條件4平面無旋運(yùn)動的流網(wǎng)流網(wǎng)是不行壓縮流體平面無旋流淌中，流線簇與等勢線簇構(gòu)成的正交網(wǎng)格。其存在條件是不行壓縮平面勢流。網(wǎng)中每一網(wǎng)格的邊長之比等于速度勢與流函數(shù)的增值之比；如取則網(wǎng)格成正方形。流網(wǎng)的性質(zhì)：組成流網(wǎng)的流線與等勢線相互垂直，即等流函數(shù)線與等勢線相互垂直。流網(wǎng)內(nèi)任一點A，的增值方向與方向一致；的增值方向為方向向正y軸旋轉(zhuǎn)90°后所得的方向。3.4平面勢流的復(fù)勢問題1復(fù)勢

為復(fù)自變量復(fù)勢是解析函數(shù)勢函數(shù)、流函數(shù)均為調(diào)和函數(shù)，且滿足柯西--黎曼條件，故為一對共軛調(diào)和函數(shù)。其組成的復(fù)變函數(shù)是解析函數(shù)。復(fù)勢的意義在于把兩個二元實函數(shù)變換成復(fù)變量的一元復(fù)函數(shù)。2

解析復(fù)函數(shù)的性質(zhì)

（1）解析函數(shù)的方向?qū)?shù)和求導(dǎo)方向無關(guān)。（2）解析函數(shù)的和是解析函數(shù)。（3）解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是解析函數(shù)，即可以無限求導(dǎo)。（4）解析函數(shù)的積分是解析函數(shù)。（5）在不包含原點的有限域中，解析函數(shù)的一般綻開式為羅朗級數(shù)（6）留數(shù)公式：L為包含z0的封閉周線.3

復(fù)速度

復(fù)勢的導(dǎo)數(shù)等于復(fù)速度的共軛4

繞流問題的復(fù)勢提法

任一解析函數(shù)，其實、虛部均滿足LAPLACE方程，必對應(yīng)一個平面勢流。具體繞流問題，考慮邊界條件即可確定唯一復(fù)勢：物面不行穿透：無窮遠(yuǎn)處：給定環(huán)量3.5平面勢流的基本解1勻整直線運(yùn)動流場內(nèi)速度的大小和方向均為常值的流淌。實例：勻整直線流繞過順流放置的無限薄平板。特例：①若，則②若，則極坐標(biāo)表示？復(fù)勢2點源及點匯（1）點源設(shè)某平面有一產(chǎn)生流體的源泉O，流體自源泉O點流出后沿一平面勻整的向四方作擴(kuò)散流淌，這種擴(kuò)散運(yùn)動叫著點源運(yùn)動。單位時間流出的流體體積Q稱為源強(qiáng)。實例：泉眼向各方的流淌；離心式水泵葉輪內(nèi)的流體運(yùn)動。極坐標(biāo)表示為:復(fù)勢（2）點匯當(dāng)產(chǎn)生流體的源泉O改為吸取流體的匯聚點O，四周流體勻整的向匯聚點集中，這種運(yùn)動叫著點匯運(yùn)動。點匯運(yùn)動與點源運(yùn)動僅符號相反。實例：地下水向井中的流淌。極坐標(biāo)表示為：3點渦流場中各流體質(zhì)點均繞某點O以輻向流速（c為常數(shù)）作圓周運(yùn)動，因而流線為同心圓簇，而等勢線則為自圓心O發(fā)出的射線簇，這種流動稱為點渦(環(huán)流)。實例：自然界中龍卷風(fēng)；離心式水泵;離心式除塵器等。極坐標(biāo)表示為：復(fù)勢4角域流淌復(fù)勢為冪函數(shù)A為實數(shù)，n是正實數(shù)極坐標(biāo)系中（1）n=1，w=Az，勻整流（2）n=1/2,當(dāng)時，為兩條零流線即該流淌為繞角流淌。(3)1/2<n<1時，為兩條零流線即該流淌是繞外角流淌。(4)n>1時，為兩條零流線即該流淌是繞內(nèi)角流淌。例n=2時，為直角繞流3.6平面勢流疊加舉例1源環(huán)流淌點源流淌與點渦流淌疊加。實例：容器底部小孔旋轉(zhuǎn)出流，旋風(fēng)除塵器、旋風(fēng)燃燒室、離心式水泵葉輪內(nèi)流體。復(fù)勢流線是一簇對數(shù)螺形線；等勢線是與流線正交的螺形線。流線方程為：等勢線方程為：2偶極流偶極流是把源點及匯點間距無窮小的等強(qiáng)度點源和點匯疊加起來形成的流淌。設(shè)點源（Q）與點匯（－Q）間的距離為2a，則隨意點M的速度勢為：若存在（M為偶極強(qiáng)度），這樣的源匯點叫偶極點。流線方程為：偶極流的流線是一族圓心在y軸上的圓族，并在坐標(biāo)原點與x軸相切；等勢線是一族圓心在x軸上的圓周族，并在坐標(biāo)原點與y軸相切。復(fù)勢3勻整直線流中的偶極流——無環(huán)量圓柱繞流偶極點在坐標(biāo)原點的偶極流與沿x軸的均勻直線流（）疊加而成。實例：河水流過橋墩，風(fēng)吹過煙囪。復(fù)勢流線方程為：其中，零流線方程為：解零流線方程得：零流線是由x軸和圓心在坐標(biāo)原點，半徑為的圓組成。速度場物面速度前后駐點物面壓強(qiáng)物面壓力系數(shù)01.0090180-3.0志向無旋繞流，物面壓強(qiáng)分布關(guān)于X軸和Y軸都是對稱的，合力為零。與實際繞流相比，迎風(fēng)面符合較好。大約從頂部起先，實際壓強(qiáng)分布偏離志向狀況。尤其在圓柱后部，實際壓強(qiáng)遠(yuǎn)低于理論壓強(qiáng)。其緣由在于流體粘性導(dǎo)致的尾部分別，產(chǎn)生壓差阻力（形態(tài)阻力）。在流淌不發(fā)生分別或在分別點之前，志向無旋繞流是實際流淌的良好近似。4勻整直線流+偶極流+點渦——有環(huán)量圓柱繞流r=r0是一條流線，圓。由伯努利方程可以確定圓面壓力分布，積分只有升力，而沒有阻力習(xí)題1已知不行壓平面勢流的流函數(shù)求復(fù)勢。習(xí)題2無環(huán)量圓柱繞流的復(fù)勢證明物面壓強(qiáng)分布若圖示水壓差計讀數(shù)求空氣來流速度h3.7求解平面無旋繞流問題的保角變換法基本思想：利用復(fù)變函數(shù)的解析變換尋求滿足邊界條件的復(fù)勢。1

解析變換是保角變換

隨意兩條曲線的夾角在解析變換下保持不變。xyk1k2θξηk1k2θ解析復(fù)變函數(shù)2

基本方法

利用圓柱繞流的復(fù)勢為基本流淌，通過解析變換，構(gòu)造各種平面無旋繞流的復(fù)勢。給定物面線方程尋求解析變換滿足無窮遠(yuǎn)點對應(yīng)、無窮遠(yuǎn)處導(dǎo)數(shù)為常數(shù)的條件，使得即將給定的物面線型變換成半徑為的圓。然后將代入圓柱繞流基本解，即可得到繞給定物形流淌之復(fù)勢。3

常用解析變換

（1）線性變換平面平面線性變換將平面上圓柱繞流變換成平面上一個新的圓柱繞流，圓心在，半徑，來流速度，來流方向與軸夾角。（2）冪函數(shù)為實數(shù)。平面上的勻整流平面上的繞角流（3）儒可夫斯基變換逆變換平面平面該變換的幾何性質(zhì)：ⅰ.是奇點，對應(yīng)平面上的無窮遠(yuǎn)點。ⅱ.ⅲ.ⅳ.ⅴ.無窮遠(yuǎn)點對應(yīng)。無窮遠(yuǎn)處線段長度縮小1/2，但方向不變。圓，變換到z平面上來回線段。圓，變換到z平面上即ⅵ.即為一橢圓，焦距長軸短軸射線變換到z平面即雙曲線平面上圓周線與射線正交平面上橢圓線與雙曲線正交即保角變換習(xí)題：已知橢圓柱來流平行于橢圓的長軸，速度，已知環(huán)量。求該繞流的復(fù)勢。3.8解有界域中平面無旋繞流問題的鏡像法1

基本思想

當(dāng)物體在貼近地面運(yùn)動，或繞