專題8立體幾何平行垂直的證明

一、解答題

1.(2022.全國.高考真題(理))如圖，四面體43co中，AD±CD,AD-CD,ZADB=ZBDC,

E為AC的中點(diǎn).

⑴證明：平面BED_L平面AC。；

(2)設(shè)A3=5r)=2,NAa?=6()。，點(diǎn)尸在BO上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求CF與平面

所成的角的正弦值.

【答案】(1)證明過程見解析

(2)CF與平面9所成的角的正弦值為生巨

7

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)已知關(guān)系證明△ABDgaCBD,得到AB=CB,結(jié)合等腰三角形三線合一得到垂

直關(guān)系，結(jié)合面面垂宜的判定定理即可證明；

(2)根據(jù)勾股定理逆用得到BELDE,從而建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線面角的運(yùn)算法則

進(jìn)行計(jì)算即可.

(I)

因?yàn)?O=CO,E為AC的中點(diǎn)"所以月CLOE；

在AABD和KBD中，因?yàn)?。=CD,ZADB=NCDB,DB=DB,

所以△AfiZ左所以AB=C8,又因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以AC_L8E；

又因?yàn)镈E,BEu平面BED，DEcBE=E,所以ACJ?平面BE。，

因?yàn)锳Cu平面AC￡),所以平面3E￡)J_平面ACZX

(2)

連接EF,由(1)知，4c_L平面8￡Z>,因?yàn)镋Fu平面B￡?，

所以AC_LEF,所以SAAFcugACEF,

當(dāng)EF_LBZ50寸，EF最小，即△AFC的面積最小.

因?yàn)椤饔嵶ⅰ鰿BD,所以C8=AB=2,

又因?yàn)镹ACB=60°,所以AABC是等邊三角形，

因?yàn)镋為AC的中點(diǎn),所以AE=EC=1,BE=6,

因?yàn)锳DLCZ),所以O(shè)E=l4C=l,

2

在AZ)E3中，DE?+BE2=BD)，所以5E_L￡>E.

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E-型，

則4(1,0,0),川0,后,0),。(0,0,1),所以而=(-1,0,1),麗=卜1,萬0),

設(shè)平面ABQ的一個(gè)法向量為7=(x,y,z),

n?AD=-x+z=0

取y=6，則〃=(3,省,3),

n?AB=-x+6y=0

又因?yàn)镃(-1,O,O)L],所以/

設(shè)c尸與平面曲所成的角的正弦值為64￡

所以sin。=卜os^,方，=—>

所以CF與平面9所成的角的正弦值為生叵.

7

2.(2022?全國?高考真題)如圖，PO是三棱錐P-ABC的高，PA=PB,AB1AC,E是PB

的中點(diǎn).

2

⑴證明：OE〃平面PAC；

(2)若NABO=NCBO=30。，PO=3,P4=5,求二面角C—A￡—B的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

【解析】

【分析】

(1)連接8。并延長交AC于點(diǎn)。，連接04、PD,根據(jù)三角形全等得到04=03,再根

據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AO=。。，即可得到。為班＞的中點(diǎn)從而得到0E//PD，即可得證；

(2)過點(diǎn)A作4z〃OP,如圖建立平面直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出:面角的余弦值,

再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得：

(1)

證明：連接8。并延長交AC于點(diǎn)連接。4、PD,

因?yàn)镻0是三棱錐尸一ABC的高，所以平面ABC,AO,BOu平面ABC,

所以P0LA0、POLBO,

又PA=PB,所以△PQ4三△PQB,即04=08,所以N04B=NOBA,

又A5_LAC,即N8AC=90。，所以NOAB+NOAO=90。，NOBA+NODA=90°,

所以N8A=NOA。

所以AO=。。，即A0=D0=08,所以。為8。的中點(diǎn)，又E為PB的中點(diǎn)，所以O(shè)E//PD,

又OE(Z平面PAC,尸Du平面PAC,

所以0E〃平面PAC

⑵

解：過點(diǎn)A作上//OP,如圖建立平面直角坐標(biāo)系,

因?yàn)镻O=3,AP=5,所以。4=JAP2-/3。？=4,

又NOa4=NO8C=30。，所以33=20L4=8,則AD=4,AB=,

所以AC=⑵所以006,2,0),網(wǎng)46,0,0),426,2,3),

則AE=,通=(460,0),AC=(0,12,0),

萬?AE=36x+y+—z=0

設(shè)平面的法向量為3=（蒼y,z）,則,"2，令z=2,則丁=-3,工=0,

萬?麗=4瓜=0

所以3=(0,-3,2)；

,m?AE-36。+Z?+—c=0

設(shè)平面AEC的法向量為加=（a,0,c）,則_2令a=8,則c=-6,

ni-AC=l2b=0

Z?=0,所以加=(0,0,-6)；

/----\nvn-1245/3

所以C°s(〃,力麗==

設(shè)二面角C-A￡-8為e,由圖可知二面角C-他-8為鈍二面角,

所以cos6=-±^,所以sin6>=Jl-cos?，=工

1313

故湎角C-AE-8的正弦值為*

3.（2022?全國?高考真題（理））在四棱錐尸-ABCD中，底面

ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=6.

4

⑴證明：BD1PA；

(2)求PD與平面Q43所成的角的正弦值.

【答案】(D證明見解析：

⑵手.

【解析】

【分析】

(1)作于E,CF1.AS于尸，利用勾股定理證明AD_L%>，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)

可得從而可得8。1平面PAD,再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；

(2)以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.

(1)

證明：在四邊形ABCO中，作力ELAB丁E,CF1ABTF,

因?yàn)镃￡>〃A8,A。=8=C8=1,A8=2,

所以四邊形A8CD為等腰梯形，

所以AE=BF=g,

J?I_________________

故?！?:BD7DE?+BE。=后

所以A￡)2+B￡)2=AB2，

所以AQJ_BO，

因?yàn)镻DL平面ABC。，8。u平面ABC。，

所以叨

又PZ)cAD=O,

所以8。_L平面PAO,

又因P4u平面上40，

所以89_LPA；

(2)

解：如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(1,O,O),3(O,4,O),P(O,O,K),

則麗6),麗=(o,-6,6),而=(o,o,G}

設(shè)平面的法向量”=(x,y,z),

n-AP=-x+\/3z=0-/l\

則有{一廠廠，可取力=G,LI,

無8P=-島+己=0''

則。呻研=摘當(dāng)，

所以與平面Q48所成角的正弦值為*.

4.(2022?青海?海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測(理))如圖，在三棱柱ABC-AqG中,

A]C=AA]=2AB=2AC=2BC,ZBA4,=60°.

6

pG

w

AAi

(1)證明：平面ABC_L平面A448.

(2)設(shè)P是棱cq的中點(diǎn)，求AC與平面摩￡所成角的正弦值.

【答案】(D證明見解析

4

【解析】

【分析】

(1)設(shè)AB=2,由余弦定理求出AS=2百，從而由勾股定理得到AB，AB,\BVBC,

進(jìn)而證明出線面垂直，面面垂直；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解線面角的正

弦值.

(1)

設(shè)AB=2.

在四邊形44田8中，?.?A4,=2AB,=60°,連接

，由余弦定理得4笈=A4：+A82-2AV45COS6()O=12,即AB=2>/5,

,/4加+AB2=AA；,

XVA,B2+BC2=/^C2,

：.A.B1BC,ABcBC=B,

AB_L平面ABC,

?；Afu平面

平面ABCJ.平面AAAB.

(2)

取AB中點(diǎn)O,連接CO,VAC=BC,：.CD±AB,

由(i)易知C￡>_L平面且cn=g.

如圖，以8為原點(diǎn)，分別以射線84,BA為x,y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系axyz,

則42,0,0),4(0,26,0)，C(l,o,6),B,(-2,273,0),￡(-L2g,?P(0,G,石).

艱=(-2,0,0),肝=(0苜,揚(yáng)，

萬,AB-0

設(shè)平面必4的法向量為3=(尤y,z),則2J",

萬?A尸=。

f-2x=0

得陶尹后二?！頸則取"=(。仙，

髭=(T0,揚(yáng)，同〈衣葉留p系當(dāng)

AC與平面P\BX所成角的正弦值為逅.

4

5.(2022.青海?海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測(文))如圖，在四棱錐P-45C3中，平面PC。，

平面ABC。，APC￡)為等邊三角形，CD=2AB=2,AD=&，ABAD=ZADC=90°,M

是棱PC上一點(diǎn).

⑴若MC=2MP,求證："〃平面MB。.

(2)若MC=MP,求點(diǎn)P到平面瓦加的距離.

【答案】(1)證明見解析

⑵座

3

【解析】

【分析】

(1)連接AC,記AC與即的交點(diǎn)為耳，連接先證明AP〃MH,再由線面平行的判

8

定定理即可證明.

（2）由等體積法匕即可求出點(diǎn)尸到平面及W的距離.

(1)

連接AC,記AC與3。的交點(diǎn)為H,連接

山/E4￡)=ZADC=90。，得AB//CD,-=—=又絲=!，則處=也，

CDHC2MC2HCMC

AP//MH,又u平面MBD,PAU平面MBD.

AP〃平面

3

所以在等邊中，BM邊上的高為/?=萬，

所以ABMD的面積為=、6、3=空，

isoiviij224

易知三棱錐B-PDM的體積為％aw=-x-xlx>^x>/2=—,

326

又因?yàn)閂B_DMP=Vp-BMD,

所以點(diǎn)尸到平面BDM的距離為d=誓皿=羋.

,△BMD3

6.（2021?上海市建平中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，三棱錐P—ABC,側(cè)棱R4=2,底面三角形ABC

為正三角形，邊長為2,頂點(diǎn)P在平面A8C上的射影為￡>,有45JLD3,且。3=1.

⑴求證：AC7/平面尸￡）3；

（2）求二面角P-AB-C的余弦值.

【答案】（I）證明見解析:

⑵一里

7

【解析】

【分析】

（1）證明D8//AC,原題即得證：

（2）以。為原點(diǎn)，AD方向直線為工軸，為>軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

利用向量法求解.

（1）

解：因?yàn)锳￡>_L￡>8，且￡>8=1,AB=2,所以AO=6，

所以NOB4=60。.

因?yàn)锳ABC為正三角形，所以NC48=60。，

又由已知可知ACBO為平面四邊形，所以DB//AC.

因?yàn)锳C<t平面尸￡）8,E）8u平面P￡）8，

所以AC//平面尸￡>3.

（2）

解：由點(diǎn)尸在平面ABC上.的射影為?？傻肞ZU平面AC3O,

所以PZ）_LZM,PD1DB.

如圖，以。為原點(diǎn)，A。方向直線為X軸，為y軸，OP為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則山己知可知B（0,1,。），A（-場,0,0）,P（0,0,1）,C（-G,2,。）.

平面ABC的法向量7=(0,0,1),所以忌=(_6_1,0),而=(0,-1,1)，

設(shè)￡=（x，兀z）為平面R4B的一個(gè)法向量，則

m?BA=0—y/3x_V=0.1—1—

由，_，得"，令x=1,則y=_乖>,z=-^3

m-BP=0一y+z=0

T->

所以平面以8的一個(gè)法向量￡=（1，-瓜-也）,所以cos<n.m>=—=--

<7x17

由圖象知二面角P-AB-C是鈍二面角,

所以二面角尸-AB-C的余弦值為-叵

7

10

7.(2022?內(nèi)蒙古?赤峰紅旗中學(xué)松山分校模擬預(yù)測(理))如圖，在四棱錐尸一A8CO中，底

面ABCD為正方形，P￡)_L底面ABC。，M為線段PC的中點(diǎn)，PD=AD,N為線段BC上

的動(dòng)點(diǎn).

(1)證明：平面平面PBC

(2)當(dāng)點(diǎn)N在線段BC的何位置時(shí)，平面MNQ與平面出B所成銳二面角的大小為30。？指出

點(diǎn)N的位置，并說明理由.

【答案】(1)證明見解析

(2)點(diǎn)N在線段8c的中點(diǎn)

【解析】

【分析】

(1)由POL底面A8CO,可得POLBC,而CDJ_BC,可證得BC平面PCD,從而得

BCJ.DM,而。M_LPC,所以ZW_L平面PBC,再由面面垂直的判定定理可得結(jié)論，

(2)設(shè)P￡>=AD=1,以。為原點(diǎn)，以DA.QCOP所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角

坐標(biāo)系，然后利用空間向量求解即可

(1)

證明：因?yàn)镻DJ_底面A8CD,8Cu底面4BC。，

所以P￡>_LBC,

因?yàn)镃￡>J_BC,CDC\PD=D,

所以BC_L平面PC。，

因?yàn)镈Wu平面PC￡),

所以8C1.OW,

因?yàn)樗倪呅蜛8CD為正方形，PD=AD，

所以PO=CD,

因?yàn)樵凇鱌DC中，PD=CD,例為線段PC的中點(diǎn)，

所以DWJ■尸C,

因?yàn)镻CcBC=C,

所以。0_L平面P8C,

因?yàn)镈Mu平面DMN,

所以平面MNDJL平面PBC,

(2)

當(dāng)點(diǎn)N在線段BC的中點(diǎn)時(shí)，平面A/N。與平面B48所成銳二面角的大小為30。，理由如卜:

因?yàn)镻Z5_L底面A8CZ),DAQCu平面43C。，

所以PO_LD4,POJ,￡>C,

因?yàn)镈4J.OC,

所以ZHZ)C,DP兩兩垂直，

所以以。為原點(diǎn)，以DADGOP所在的直線分別為x，〉，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

設(shè)即=仞=1,則。(0,0,0),41,0,0),5(1,1,0),P(0,0,1),C(0,l,0),M^0,1,1j,

設(shè)N(/l,l,O)(O<2<1),則Z/5=(-1,0,1)./!/?=(0,1,0),DN=(2,1,0),,

設(shè)正=(x,y,z)為平面248的法向量，則

ifi-AP=-x4-z=0令x=l,則4=(1,0,1),

th-AB=y=0

設(shè)百=(a,A,c)為平面MVD的法向量，則

/??DN=Aa+h=0

-----11令a=l,則3=(1,—A,%),

n-DM=—h+—c=0

22

因?yàn)槠矫鍹ND與平面PAB所成銳二面角的大小為30°,

12

所以W砌=葡=后端r邛，

化簡得4義2_4/1+1=0,得為=；，

所以當(dāng)點(diǎn)N在線段8c的中點(diǎn)時(shí)，平面MND與平面以8所成銳二面角的大小為30。

8.(2022?四川?成都七中模擬預(yù)測(理))如圖1,在邊上為4的菱形A8CD中，ZDAB=60°,

點(diǎn)M,N分別是邊BC,CO的中點(diǎn)，ACcBD=O\,ACcMN=G.沿MN將△CMV翻

折到APMN的位置，連接R4,PB,PD,得到如圖2所示的五棱錐

(1)在翻折過程中是否總有平面尸8。L平面PAG?證明你的結(jié)論；

(2)當(dāng)四棱錐P-MVDB體積最大時(shí)，求直線尸8和平面所成角的正弦值；

(3)在(2)的條件下，在線段PA上是否存在一點(diǎn)。，使得二面角Q-MV-P余弦值的絕對

值為回？若存在，試確定點(diǎn)。的位置；若不存在，請說明理由.

10

【答案】(1)在翻折過程中總有平面平面PAG,證明見解析

⑵叵

10

(3)。存在且。為線段出的中點(diǎn)

【解析】

【分析】

(1)證明出8。，平面P4G,進(jìn)而證明面面垂直；(2)找到當(dāng)PGJ■平面時(shí)，四棱

錐P-MNDB體枳最大，直線尸B和平面所成角的為NPBG,

求出PG=g，BG=y/l,山勾股定理得：PB=JPG?+BG?=M，從而求出/P3G的正

弦值；(3)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量和二面角的大小，列出方程，確定點(diǎn)Q的位

置

(1)

在翻折過程中總有平面_L平面PAG,

證明如下：：點(diǎn)〃，N分別是邊CO,C8的中點(diǎn)，

又ND4B=60。，且ABWN是等邊三角形，

：G是MN的中點(diǎn)，AMNVPG,

,?,菱形ABCO的對角線互相垂直，二5OLAC,.,?用NLAC,

：ACcPG=G,ACu平面PAG,PGu平面PAG，

.,.MN，平面PAG,，BOJ_平面以G,

?/3￡>u平面尸應(yīng))，；.平面尸平面PAG.

(2)

由題意知，四邊形MND3為等腰梯形，

且￡)8=4,MN=2,O\G=g,

所以等腰梯形MNDB的面積S=(2+4*&=36,

2

要使得四棱錐P-MNDB體積最大，只要點(diǎn)尸到平面MNDB的距離最大即可,

當(dāng)PGJ_平面MNDB時(shí)，點(diǎn)尸到平面MNDB的距離的最大值為6,

此時(shí)四棱錐尸-體積的最大值為V=gx36xG=3,

直線PB和平面MNDB所成角的為NPBG,

連接BG,在直角三角形APBG中，PG=￡,BG=J7,

由勾股定理得：PBAPG'+BG。=河

sin/PBG=a=*=^

PBM10

(3)

假設(shè)符合題意的點(diǎn)。存在.

以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，GA,GM,GP所在直線分別為x軸、>軸、z軸，建立如圖所示空間直

14

角坐標(biāo)系,

則A（36,0,0）,M（0,1,0）,^（0-1,0）,尸（0,0,6）,

由（2）知，AGA.PG,

又AGLMN,且MNcPG=G,MNu平面PMN,PGu平面尸MV,

AG_L平面尸MV,

u

故平面PMV的個(gè)法向量為4=（1,0,0）,

設(shè)而=/l而（0W/IW1）,

AP=（-3X/3,O,73）,

而=（-3瘋0,網(wǎng)，故（3同-2）,0,網(wǎng)，

AW=（0,2,0）,QM=（3>/3（A-l）,l,-^2）,

平面QMN的一個(gè)法向量為〃2=(&,〉2/2)，

則,NM=0,%?QM-0,

即！2…

、［3x/3（/l-l）x2+y2->/32z2=0,

y2=。，

令Z2=i,所以，_2

%~3（A-1）

研舟卜尋產(chǎn)?。ㄐ。?/p>

則平面QMN的一個(gè)法向量3=(40,3(/1-1)),

設(shè)二面角Q-MV-P的平面角為，,

則|cos0=指揩=-I—.解得：2，

|?||?,|，分+9（.7）2102

故符合題意的點(diǎn)Q存在且。為線段P4的中點(diǎn).

9.（2022?全國?模擬預(yù)測）在四棱錐P-ABCO中，以_L平面ABC。，四邊形AfiCO是矩形,

AB=AP=；AD,E,F分別是4P,8c的中點(diǎn).

P

⑴求證：E尸〃平面PCD；

（2）求二面角C-E尸—￡>的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

力3次

10

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)平行四邊形，可得線線平行，進(jìn)而可證明線面平行.（2）根據(jù)空間向量，計(jì)算法

向量，利用法向量的夾角求二面角.

（1）

證明：取OP的中點(diǎn)G,連接EG,CG,

又E是”的中點(diǎn)，所以EG〃A￡>,且

2

因?yàn)樗倪呅蜛8CQ是矩形，所以8c=4）且8CV/AO,所以EG=g8C,且EGUBC.

因?yàn)镕是BC的中點(diǎn)，所以CF=gBC,所以EG=C尸且EG//CF,

所以四邊形EFCG是平行四邊形，故EFIICG.

因?yàn)镋FU平面PCD,CGu平面PCD,

所以所〃平面PCO.

16

因?yàn)锳4_L平面A8C￡>,四邊形A8CD是矩形，所以AB,AD,AP兩兩垂直,

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),直線A8,AD,AP分別為x軸，，軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如

設(shè)4B=AP=』Ar>=2,

所以AB=AP=2,AD=BC=4.

2

因?yàn)镋,F分別為AP,8c的中點(diǎn),

所以C(2,4,0),0(0,4,0),￡(0,0,1),尸(2,2,0)

所以加=(2,2,—1),DF=(2,-2,0),CF=(O,-2,O).

設(shè)平面C￡尸的一個(gè)法向量為加=（%,%,zj,

24+2y-Z|=0,

由

-2y)=0.

令X1=l,則Z]=2,必=0,所以仇=(1,0,2).

設(shè)平血￡>EF的一個(gè)法向量為n=（x2,y2,z2）,

2X2+2y2-z2=0,

!±1-

2X2-2y2-0.

令工2=1，則%=1，Z2=4,

所以元=（1,1,4）.

inn93西

所以（而㈤=

cosH-H-75x718--io

由圖知二面角C-EF—D為銳角,

所以二面角C-EF-O的余弦值為'叵.

10

10.(2022?內(nèi)蒙古?烏蘭浩特一中模擬預(yù)測(文))如圖在梯形中，BC//AD,AB=AD=2BC=2,

N43C=T2萬，E為中點(diǎn)，以BE為折痕將△回￡折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，連接

PD.PC,

(1)證明：平面尸ED_L平面BCDE；

(2)當(dāng)PC=2時(shí)，求點(diǎn)。到平面尸EB的距離.

【答案】(1)證明見解析

⑵直

2

【解析】

【分析】

(1)首先根據(jù)題意易證BE_L￡D.BEYPE,從而得到BE1平面的，再根據(jù)面面垂直

的判定即可證明平面阻)，平面BCDE.

(2)利用三棱錐等體積轉(zhuǎn)換求解即可.

(1)

在梯形ABCO中，NA2C=4，所以=

在AABE中，AB=2,A￡=l,所以BE=護(hù)+f-2x2xlxg=6,

TT

所以AE2+8E2=A32,即=梯形438為直角梯形.

因?yàn)?￡_LED，BE工PE,PERED=E,

所以8E_L平面產(chǎn)田，

又因?yàn)锽Eu平面BCDE,所以平面PED_L平面BCDE.

(2)

因?yàn)槠矫媸珽D_L平面8CDE=￡?,CDA.ED,所以C￡)L平面PED,

又P￡)u平面的＞,所以COJLPD,

18

所以叨=/2-（6『=1,即VPED為等邊三角形.

取的中點(diǎn)尸，連接P尸，如圖所示：

因?yàn)镻E=PD,F為ED中點(diǎn),所以PFJ_￡D.

因?yàn)槠矫娼M＞_L平面8cDE=￡?,PFLED,所以P尸_L平面EBC。,

因?yàn)椤甘?理,

T,

設(shè)。到平面PEB的距離為h,

因?yàn)?一南=%一的，所以\Bxh=L叵速,解得仁

323222

即點(diǎn)D到平面PE3的距離為—.

2

11.（2022.全國?南京外國語學(xué)校模擬預(yù)測）如圖，在三棱臺ABC-AB?中，AB1AC,

AB=AC=4,AA=Ag=2,側(cè)棱AA，平面ABC,點(diǎn)。是棱CG的中點(diǎn).

（1）證明：平面BBC，平面AB。；

（2）求二面角C-B。-A的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵誓

【解析】

【分析】

（1）先根據(jù)線面垂直的性質(zhì)與判定證明ACLBB,,再根據(jù)勾股定理證明A旦1.B旦，進(jìn)而根

據(jù)線面垂直得到B4，平面A8C,從而根據(jù)面面垂宜的判定證明即可

(2)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AC,AA的所在的直線分別為x,z軸建立空間直角坐標(biāo)

系，再分別求解平面的一個(gè)法向量，進(jìn)而得到面面角的正弦即可

(1)

證明：因?yàn)槠矫鍭BC,ACu平面ABC,所以AA_LAC,

又43_LAC,AAnAB=A,4人，ABi平面所以ACL平面AB8M.

又BB}u平面ABBtAt,所以AC1.

又因?yàn)?4=逝2+22=2&,*=J(4-2)2+2?=20,所以AB?=AB：+BB；,所以

A41BB、.

又A4nAe=A,AB,,ACu平面AB。，所以84_1_平面A^C,

因?yàn)?線＜=平面B4C,所以平面BBQ，平面48c.

(2)

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AC,A4的所在的直線分別為x,九z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

如圖所示.

因?yàn)锳B=AC=4,A[A=4耳=AG=2,

所以A（0,0,0）,3（4,0,0）,C（0,4,0）,C,（0,2,2）,0（0,3,1）.

設(shè)平面的,個(gè)法向量為〃[=（再,y,zj,設(shè)平面C8。的一個(gè)法向量為%=（%，為，22），且

麗=（4,0,0）,而=（0,3,1）,方=（4,yo）,CD=（O,-lJ）,

因?yàn)椤丛?一：所以[“°,八令乂=1,則玉=0,4=-3,所以）=（0,1,-3）.

ADn}=0,[3y+4=0,

又因喘晨所以{二葭令"匕則％”口,所以履卬).

所以8§儂兄\=山”=1-3而

同同6I，.

設(shè)二面角的大小為6,則sin"

20

所以二面角C-8。-A的正弦值為叵.

15

12.(2022?青海?模擬預(yù)測(理))如圖，在四棱錐A-BCQE中，底面BCQE為矩形，M為CD

中點(diǎn)，連接8例，CE交于點(diǎn)、F,G為△ABE的重心.

(1)證明：GF〃平面ABC

(2)已知平面ABC_L8CQE,平面AC￡)_L平面BCQE,BC=3,CD=6,當(dāng)平面GCE與平面ACE

所成銳二面角為60。時(shí)，求G到平面AOE的距離.

【答案】(I)證明見解析

⑵G

【解析】

(1)延長反；交/18于"，連接NC,

EG

因?yàn)镚為△48E的重心，所以點(diǎn)N為A8的中點(diǎn)，且二7=2,

GN

EFBF

因?yàn)镃M〃BE，故KMFS.EBF'所以而=方=2'

故9=^，故GFUNC,

CFGN

而NCu平面A8C,GFU平面A8C,

故GF〃平面ABC；

(2)由題意知，平面A8C_L平面8CDE,平面A8Cf］平面8CDE=BC,DCLBC,

OCu平面8COE,故0c_L平面ABC,ACu平面ABC,

則DCA.AC，同理BCLAC,

又3CnOC=c,BC,DCu平面BCDE,

所以AC_L平面BCDE,

以C為原點(diǎn)，以CBCDCA所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

A

設(shè)點(diǎn)G到平面BCDE的距離為W>0),

則A(0,0,308(3,0,0),E[3,6,0),G(2,2,0,0(0,6,0),

故前=(2,2j),分=(3,6,0),而=(0,6,-3r),DE=(3,0,0),

mCG=02%+2y+/Z]=0

設(shè)平面GCE的法向量為帆=(X],y],zJ,則即

m-CE=Q3%+6%=0

2—2

取y=1,則，Z[=一小=-2,即帆=(-2,1,-),

河.AD=0-3fz2=0

設(shè)平面4OE的法向量為〃=(孫%*2)，貝人反方后_0，即

區(qū)=0

取zz=2,則必=，，則3=(0",2),

,4,

\m-n\I'+J1廣

所以8s60V'解得產(chǎn)=3=26,

,5+尸”+4

又麗=(2,-4,2如，

故點(diǎn)G到平面ADE的距離為d=*川=1=6.

\n\4

13.(2022?北京市第九中學(xué)模擬預(yù)測)如圖，在四棱錐尸-ABC。中，底面ABC。是邊長為

2的正方形，△以8為正三角形，且側(cè)面物底面A8C。，“為PD的中點(diǎn).

22

⑴求證：PB//平面ACM；

(2)求直線BM與平面巾。所成角的正弦值;

(3)求二面角C-E1-O的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；

【解析】

【分析】

(1)連接B￡>nAC=N,連MN,證明P8//MN,再利用線面平行的判定推理作答.

(2)(3)取AB中點(diǎn)0,連P。，證明P0_L平面ABCD,以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)

系，借助空間向量求線面角的正弦，二面角的余弦作答.

(1)

連接8￡>nAC=N,連MN,如圖，正方形A8CD中，N為8。的中點(diǎn)，而M為的中點(diǎn)，

則必〃MV,而MVu平面ACM,戶8<z平面ACM,

所以P8〃平面ACM.

(2)取AB中點(diǎn)。，連PO,如圖，正中，POLAB,

z

因側(cè)面PAB_L底面4?C￡),側(cè)面PABc底面=POu側(cè)面F45,則PO_L平面

ABCD,

在平面ABCD內(nèi)過。作Oy±AB,則射線03,Oy,O尸兩兩垂直，

以點(diǎn)。為原點(diǎn)，射線OB,Oy,OP分別為x,y,z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，

1行

則8(1,0,0),A(-1,0,0),。(一1,2,0),P(0,0,百),M(-彳,1,邛),C(l,2,0)，

22

布=(0,2,0),麗=(1,0,揚(yáng),8而=(-|,1,孚，

一[in-AD=2y.=0__

設(shè)平面尸4。的法向量〃2=(%,y,zj,則｛一.廠，令4=1,得而=(一6,0,1),

m?AP=%+>/3Z[=0

設(shè)直線BM與平面PAD所成角為。，則sin0=|cos〈質(zhì)BM)|=|竺吧=巫=旦、

\m\\BM\2x22

所以直線BM與平面R4D所成角的正弦值是也.

2

L111U

⑶由(2)知，AC=(2,2,0),

n-AC=2X+2y2=0

設(shè)平面CPA的法向量n=(%,%*2)，則'2，令z2=i,得〃=（一G,G,i）,

萬?AP=x24-A/3Z2=0

于是得cos〈根一,一〃〉=?m■?n-=—4==竽，顯然二面角。-24-￡>大小為銳角,

\m\\n\2xV77

所以二面角C-F4-。的余弦值為2包.

7

14.(2022.浙江?三模)如圖，四面體ABCD的棱ABi平面見8=而，

2

AB=AC=AD=3,cosZBAC=cosN5Ao=

3

24

(1)證明：平面A8C_L平面4步；

(2)若平面A8C與平面a所成銳二面角的正切值為線段CD與平面a相交，求平面ACD

與平面a所成銳二面角的正切值.

【答案】(1)證明見解析

⑵逅

6

【解析】

【分析】

(1)作CMJ.A8于M,通過余弦定理解三角形得到CM，MD,即可證得CM±平面ABD,

即可證得平血ABC±平面ABD；

(2)作。于G,CMLa于H,求出C”=l,〃例=2,MG=1,DG=2,延長DC,G”

交于點(diǎn)M連接⑷V,作GK,4V于K,平面ACD與平面a所成銳二面角即NDKG,通過

解三角形計(jì)算出tanZDKG即可.

(1)

則AD?=池〃+。知2，DM±AB.又仞>+MC2=]o=a>2,則CM_LMD,又

ABcDM=M,A8,OMu平面ABD,故。/_1_平面48￡),

又CMu平面ABC,則平面ABC_L平面ABD.

⑵

作。G_La于G,。/_1。于“，由(1)知。知_1.43,又。/門8=。，CM,CHu平面,

則AB_L平面,

又MF7u平面CMW,則MG_LA8,又DM_LAB,同理可得AB_L平面GOW,MH±AB,

則G,”,M三點(diǎn)共線.

由平面ABC與平面a所成銳:面角的正切值為J,則tan/CM"=:，又CM=6,則

CH=\,HM=2.又CM工MD,

貝|JNCMH=]-N￡>MG,DM=5則MG=1,OG=2.延長QC,G”交于點(diǎn)M連接AN,

作GK,4V于K,

易得。G_LAN,又。GcGK=G,OG,GKu平面。GK,則AN_L平面ZX7K,又。Ku平

面。GK,則M_LOK,

則平面ACD與平面a所成銳二面角即NDKG.又CH=gz)G,則G〃="N=3,又40=2,

則MN=5,AN=回，

故GK=GNsinNGNK=6x-)L=另，故tanNOKG=吧=叵.

,29J29GK6

15.(2022.內(nèi)蒙古?海拉爾第二中學(xué)模擬預(yù)測(理))已知四棱錐S-4J8中，四邊形A8C￡>

為菱形，NSAB=NSBA,SD±AB.

(1)求證：△AB3是等邊三角形；

(2)若夜SA=SO=AQ=2，求SC與平面SAO所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵叵

14

【解析】

【分析】

(I)取A8的中點(diǎn)。，連接S。、OD,證明出AB_L平面S。。，可得出A8LOO,可得出

AD=BD,再利用菱形的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；

(2)證明出SOLDO,以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。4、OD,OS所在直線分別為了、)'、z軸

建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得SC與平面必力所成角的正弦值.

26

(1)

證明：取AB的中點(diǎn)0，連接S。、OD,

因?yàn)镹S48=NS54,。為A3的中點(diǎn)，則SOLA8,

因?yàn)镾D_LA8,SOnSD=S,.LJ"平面S。。，

?.?ODu平面S￡)O,則”>_LAB,故AO=BE>,

因?yàn)樗倪呅??8為菱形，則=所以，AD=AB=BD,

因此，△ABD為等邊三角形.

(2)

解：由已知S4=SB=&,AB=2,貝”4?+SB?=432,：.SA±SB,

???O為4?的中點(diǎn)，所以，SO=-AB=\,

2

因?yàn)椤鰽BD是邊長為2的等邊三角形，則DO=2sin三=6

因?yàn)镾D=2,則SO-OO'SiJZ,...so_L￡X9,

因?yàn)锳3,平面S。。，以點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，。4、OD、QS所在直線分別為x、y、z軸建

立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(l,0,0)、O(0,6,0)、C(-2,A/3,0),S(0,0,1),

設(shè)平面SAD的法向量為5=(x,y,z),4。=卜1,6,0),AS=(-1,0,1),

n-AD=-x+\[3y=0

取x=6可得G=(6,l,@,

nAS=-x+z=0

SCn26二屈

5C=(-2,A-1)COS<SC,n>=

2五乂出一14

因此，sc與平面sw所成角的正弦值為叵.

14

16.(2022?寧夏中衛(wèi)?三模(理))如圖1,菱形A8CO中，ZA=60°,AB=4,于E,

將沿OE翻折到使如圖2.

DC

圖2

(1)求三棱錐C-A3D的體積;

(2)在線段上是否存在一點(diǎn)F,使“〃平面A，8C?若存在，求二的值；若不存在，

FA

說明理由.

【答案】(1)苧

DF

(2)存在，—=1.

FA

【解析】

【分析】

(1)利用線面垂直的判定定理證明AE1?平面EBCD,再利用等體積法及棱錐的體積公式

計(jì)算即可.

(2)設(shè)線段的中點(diǎn)為尸，線段AC的