高立幾知點結(jié)

S

直棱柱側(cè)

一、空間幾何（一）空間幾何體的類型

直棱柱表面

=c

底1多面體：

由若干個平面多邊形圍成的幾何體。圍成多面體各個多邊形叫做多面體的面，

V

棱柱

=S

底

·h相鄰兩個面的共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點叫做面體的頂點。2旋轉(zhuǎn)體：把一平面圖形繞它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)形成了封閉幾何體。其中，這條直線稱為轉(zhuǎn)體的軸。（二）幾種空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征1、棱柱的結(jié)構(gòu)特征1.1棱的定義個互相平行各都是四邊形，并且每相鄰兩四邊形的公共邊都互相平行這面所圍成的幾何體叫棱柱。

2、棱錐的結(jié)構(gòu)特征2.1棱錐的定義（1）錐：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐。（2）正棱錐：如果有一個棱錐的底面是正多邊形，并且頂點在底面的投影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。2.2正棱錐的結(jié)構(gòu)特征Ⅰ、平行于底面的截面是與底面相似的正多邊形，相似比等于頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比；它們面積的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的平方1.2棱柱的分類

圖棱柱

比；截得的棱錐的體積與原棱錐的體積的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的立方比；Ⅱ、正棱錐的各側(cè)棱相等，各側(cè)面是全等的等腰三角形；正棱錐面積：

正棱椎

'c為底周長h為斜高）

棱柱

底面是四邊形

四棱柱

底面是平行四邊形

平行六體

側(cè)棱垂直于底面

直行面

體積：棱椎

（S底面積為高）

DO

H

CA

B底面是矩形

底面是正方形

棱長都相等體長方體正四棱柱性質(zhì)Ⅰ、側(cè)面都是行四邊形，且各側(cè)棱互相平行且相等；Ⅱ、兩底面是等多邊形且互相平行；Ⅲ、平行于底的截面和底面全等；1.3棱柱的面積和體積公式

正體

正四面：2對于棱長a正四面體的問題可將它補成一個邊長為a的正方體問題。2對棱間的距離為a（正方體的邊長）1

正方體小錐正方體622222222正方體小錐正方體6222222222262正四面體的高al3

正方體體對角線

）

體叫做圓錐。5.2圓錐的結(jié)構(gòu)特征21正四面體的體積為3V）12311正四面體的中到面與頂點的距離之比為:（l：l）正方體體對角線正體對角線3、棱臺的結(jié)構(gòu)特征3.1棱臺的定義：用一個平行于底面的平面去截棱錐，我們把截面和底面之間的部分稱為棱臺。3.2正棱臺的結(jié)構(gòu)特征（1）各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰梯形；（2）正棱臺的兩個底面和平行于底面的截面都是正多邊形；（3）正棱臺的對角面也是等腰梯形；（4）各側(cè)棱的延長線交于一點。4、圓柱的結(jié)構(gòu)特征4.1圓柱的定義：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱。4.2圓柱的性質(zhì)（1）上、下底及平行于底面的截面都是等圓；（2）過軸的截面(軸截面)是全等的矩形。4.3圓柱的側(cè)面展開圖：圓柱的側(cè)面展開圖是以底面周長和母線長為鄰邊的矩形。4.4圓柱的面積和體積公式

（1）行于底面的截面都是圓截面直徑與底面直徑之比等于頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比；（2）軸截面是等腰三角形；（3）母線的平方等于底面半徑與高的平方和：圖1-5圓錐l=+h5.3圓錐的側(cè)面展開圖：圓錐的側(cè)面展開圖是以頂點為圓心，以母線長為半徑的扇形。6、臺的結(jié)特征6.1圓臺的定義：用一個平行于底面的平面去截圓錐，我們把截面和底面之間的部分稱為圓臺。6.2圓臺的結(jié)構(gòu)特征⑴圓臺的上下底面和平行于底面的截面都是圓；⑵圓臺的截面是等腰梯形；⑶圓臺經(jīng)常補成圓錐，然后利用相似三角形進(jìn)行研究。6.3圓臺的面積和體積公式=·r)·l(r、上下底面半徑)圓臺側(cè)=·rπ·+·(Rr)·l圓臺全V=1/3(πr+π+πh為圓臺的高)圓臺7球的結(jié)構(gòu)特征7.1球的定義：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體空

圓柱側(cè)面圓柱全

=2π(r為底面半徑h為圓柱的高=2πr+2πr

間中，與定點距離等于定長的點的集合叫做球面，球面所圍成的幾何體稱為球體。V=Sh=πr圓柱底5、錐的結(jié)特征

h

球的結(jié)構(gòu)特征⑴球心與截面圓心的連線垂直于截面；5.1圓錐的定義直角三角形的一直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何

⑵截面半徑等于球半徑與截面和球心的距離的平方差：r=–d2

23扇形323扇形3★球與其他多面體的組合體的問題球體與其他多面體組合，包括內(nèi)接和外切兩種類型，解決此類問題的基本思路是：

球體的體積：

43

⑴根據(jù)題意，確定是內(nèi)接還是外切，畫出立體圖形；⑵找出多面體與球體連接的地方，找出對球的合適的切割面，然后做出剖面圖；⑶將立體問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中圓與多邊形的問題；⑷注意圓與正方體的兩個關(guān)系：球內(nèi)接正方體，球直徑等于正方體對角線；球外切正方體，球直徑等于正方體的邊長。球的面積和體積公式

（四）空間幾何體的三視圖和直觀圖正視圖：光線從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖。側(cè)視圖：光線從幾何體的左邊向右邊正投影，得到的投影圖。俯視圖：光線從幾何體的上面向右邊正投影，得到的投影圖?！锂嬋龍D的原：正俯長相等、正側(cè)高相同、俯側(cè)寬一樣V

球面球

=4πR=4/3π

為球半徑)

注：球的三視圖都是圓；長方體的三視圖都是矩形直觀圖二測畫法斜二測法的步：（三）空間幾何體的表面積與體積空間幾體的表積棱柱、棱錐的表面積：各個面面積之和

（1）平行于坐標(biāo)軸的線依然平行于坐標(biāo)軸；（2）平行于y軸的線長度變半，平行于z軸線長度不變；（3）畫法要寫好用斜二畫法畫長方體步驟（1）畫軸2）畫底面（3）畫側(cè)棱（4成圖圓柱的表面積：S22r

二點直、面間關(guān)圓錐的表面積：圓臺的表面積：

SS

（一立體幾何網(wǎng)絡(luò)圖：

⑹球的表面積：

R

公理

⑴

線平行

⑵⑶

線面平

⑷⑸

面面平21扇形的面積公lr=r2空間幾體的體柱體的體積V底

2

（其中l(wèi)表示弧長，r表半徑，表示弧度）

三線理三線定理

⑺⑻

線垂直

⑿

⑾⑼⑽

線面垂

⒀

⒂⒃

⒁

面面垂1錐體的體積底

1、線平行判斷：臺體的體積：

（S上

上

下下

h

（1行于同一直線的兩直線平行。（3果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么3

這條直線和交線平行。（6果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。（12直于同一平面的兩直線平行。2、線垂直判斷：（7平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。（8平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它和這條斜線

⑷利用垂直于同一條直線的直線和平面平行(用于判斷)。2線面斜交和線面角lα=A2.1直線與平面所成的角(簡稱線面角)直線與平面斜交，則平面的斜線與該斜線在平面內(nèi)射影的夾角θ2.2線面角的范圍：θ∈[0°90°]注意：當(dāng)直線在平面內(nèi)或者直線平行于平面時，θ=0°；當(dāng)直線垂直于平面時，θ=90°4、面垂直判斷：

圖線面角的射影垂直。（10一直線垂直于一平面，這條直線垂直于平面內(nèi)所有直線。補充：一條直線和兩條平行直線中的一條垂直，也必垂直平行線中的另一條。3、面平行判斷：（2果平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。（5個平面平行，其中一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面。

⑼如果一直線和平面內(nèi)的兩相交直線垂直，這條直線就垂直于這個平面。⑾如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面。⒁一直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面。⒃如果兩個平面垂直，那么在—個平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另—個平面。判定定：判定定：性質(zhì)定：★判斷或證明線面平行的方法

性質(zhì)定：它垂直于平即：（2）垂直于同一平面的兩直線平行。即：★判斷或明線面直的方⑴利用定義，用反證法證明。⑵利用判定定理證明。

（1若直線垂直于平面則面內(nèi)任意一條直線。⑴利用定義(反證法)lI

，lα(用于判斷)；

⑶一條直線垂直于平面而平行于另一條直線，則另一條直線也垂直與平面。⑵利用判定定理：線線平行⑶利用平面的平行：面面平行

線面平行用于證明)；線面平行用于證明)；

⑷一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則也垂直于另一個。⑸如果兩平面垂直，在一平面內(nèi)有一直線垂直于兩平面交線，則該直線垂直于另一平面。4

★1.5三垂線定及其逆理⑴斜線定理從平面外一點向這個平面所引的所有線段中，斜線相等則射影相等，斜線越長則射影越長，垂線段最短。如圖：⑵三垂線定理及其逆定理已知⊥α，斜線在平面α內(nèi)的射影為，a平面α內(nèi)的一條直線。

圖2-7斜線定理

（）（）

圖面面垂直性質(zhì)3①三垂線定理若⊥OA則⊥即垂直射影則垂直斜線。②三垂線定理逆定理若⊥PA則⊥OA即垂直斜線則垂直射影。⑶三垂線定理及其逆定理的主要應(yīng)用①證明異面直線垂直；②作出和證明二面角的平面角；③作點到線的垂線段。

圖2-8三垂線定理

（二他定理：（1）確定平面的條件：①不公線的三點；②直線和直線外一點；③相交直線；（2）直線與直線的位置關(guān)系：相交；平行；異面；直與面位關(guān)：在面內(nèi)平；交（垂直是它特殊情）；平面與平面的位置關(guān)系：相交平行；5、面平行判斷：⑷一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面，這兩個平面平行。⒀垂直于同一條直線的兩個平面平行。6、面垂直判斷：⒂一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，這兩個平面互相垂直。判定定：性質(zhì)定：⑴若兩面垂直則這兩個平面的二面角的平面角

（3）等角定理：如果兩個角的兩邊分別平行且方向相同，那么這兩個角相等；如果兩條相交直線和另外兩條相交直線分別平行么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等；（）射影定理（斜線長、射影長定理從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中，射影相等的兩條斜線段相等；射影較長的斜線段也較長；反之，斜線段相等的射影相等；斜線段較長的射影也較長；垂線段比任何一條斜線段都短。（5）最小角定理：斜線與平面內(nèi)所有直線所成的角中最小的是與它在平面內(nèi)射影所成的角。為90；（2）

圖2-10面面垂直性質(zhì)

（6）異面直線的判定：①反證法；5

FF②過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線，和平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線。

線，ll

所成的角為，l

m所成的角為

,l所成的角，則這三個角（7）過已知點與一條直線垂直的直線都在過這點與這條直線垂直平面內(nèi)。（8）如果—直線平行于兩個相交平面，那么這條直線平行于兩個平面的交線。（三唯一性定理：（1）過已知點，有且只能作一直線和已知平面垂直。（2）過已知平面外一點，有且只能作一平面和已知平面平行。（3）過兩條異面直線中的一條能且只能作一平面與另一條平行。四、距離的求法：（1）點點、點線、點面距離：點與點之間的距離就是兩點之間線段的長、點與線、面間的距離是點到線、面垂足間線段的長。求它們首先要找到表示距離的線段，然后再計算。注意：求點到面的距離的方法：①直接法：直接確定點到平面的垂線段長（垂線段一般在二面角所在的平面上②轉(zhuǎn)移法：轉(zhuǎn)化為另一點到該平面的距離（利用線面平行的性質(zhì)③體積法：利用三棱錐體積公式。（2）線線距離：關(guān)于異面直線的距離，常用方法有：①定義法，關(guān)鍵是確定出,的公垂線段；②轉(zhuǎn)化為線面距離即轉(zhuǎn)化a而平行a的平面之間的距離關(guān)鍵是找出或構(gòu)造出這個平面；③轉(zhuǎn)化為面面距離；（3線面面距離線面間距離面面間距離與線線間點線間距離常常相互轉(zhuǎn)化；六、常用的結(jié)論：（1若直l在平內(nèi)的射影是直l是平內(nèi)經(jīng)l的斜足的一條直

之間的關(guān)系cos；（2）如何確定點在平面的射影位置：①Ⅰ、如果一個角所在平面外一點到角兩邊距離相等，那么這點在平面上的射影在這個角的平分線上；Ⅱ、經(jīng)過一個角的頂角引這個角所在平面的斜線，如果斜線和這個角的兩邊夾角相等那么斜線上的點在平面上的射影在這個角的平分線所在的直線上；Ⅲ、如果平面外一點到平面上兩點的距離相等，則這一點在平面上的射影在以這兩點為端點的線段的垂直平分線上。②垂線法：如果過平面外一點的斜線與平面內(nèi)的一條直線垂直，那么這一點在這平面上的射影在過斜足且垂直于平面內(nèi)直線的直線上(垂線定理和逆定理)；③垂面法：如果兩平面互相垂直，那么一個平面內(nèi)任一點在另一平面上的射影在這兩面的交線上(面面垂直的性質(zhì)定理)；④整體法：確定點在平面的射影，可先確定過一點的斜線