2021-2022學(xué)年安徽省滁州市定遠(yuǎn)縣高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知數(shù)列滿足，，則（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】先利用題中所給的首項(xiàng)，以及遞推公式，將首項(xiàng)代入，從而判斷出數(shù)列是周期數(shù)列，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】由已知得，，，，，可以判斷出數(shù)列是以4為周期的數(shù)列，故，故選：C.2．《萊因德紙草書(shū)》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一，書(shū)是有一道這樣的題目：把100個(gè)面包分給5個(gè)人，使每人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小的一份為（

）A．10 B．15 C．20 D．15【答案】A【分析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式求解．【詳解】設(shè)最小的一份為個(gè)，公差為，，，由題意，解得．故選：A．3．等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則=（

）A．-2 B． C．2 D．【答案】A【分析】賦值法求出，，，利用等比中項(xiàng)得到方程，求出.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，，從而，由于是等比數(shù)列，故，解得：.故選：A4．為不超過(guò)x的最大整數(shù)，設(shè)為函數(shù)，的值域中所有元素的個(gè)數(shù).若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)題意求出，進(jìn)而用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，，故，即，當(dāng)時(shí)，，，，故，即，當(dāng)時(shí)，，，，故，即，以此類(lèi)推，當(dāng)，時(shí)，，，故可以取的個(gè)數(shù)為，即，當(dāng)n=1時(shí)也滿足上式，故，所以，，所以.故選：D【點(diǎn)睛】取整函數(shù)經(jīng)?？疾?，往往和數(shù)列，函數(shù)零點(diǎn)，值域等知識(shí)相結(jié)合考察大家，要能理解取整函數(shù)并能正確得到相關(guān)計(jì)算，才能保證題目能夠解集，本題中得到是解題的關(guān)鍵.5．傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子研究數(shù)，他們根據(jù)沙粒和石子所排列的形狀把數(shù)分成許多類(lèi)，若：三角形數(shù)、、、、，正方形數(shù)、、、、等等.如圖所示為正五邊形數(shù)，將五邊形數(shù)按從小到大的順序排列成數(shù)列，則此數(shù)列的第4項(xiàng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)前三個(gè)五邊形數(shù)可推斷出第四個(gè)五邊形數(shù).【詳解】第一個(gè)五邊形數(shù)為，第二個(gè)五邊形數(shù)為，第三個(gè)五邊形數(shù)為，故第四個(gè)五邊形數(shù)為.故選：D.6．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)記為，則（

）A．-3 B．3 C．-2 D．2【答案】D【分析】利用求導(dǎo)法則求出，即可知道，再利用，即可求解.【詳解】由已知得，則，，則，即，則，故選：.7．若函數(shù)的圖象上存在與直線垂直的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程，根據(jù)方程有解求a的取值范圍【詳解】由題意得，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，∵函?shù)的圖象上存在與直線x＋2y＝0垂直的切線，即有正數(shù)解，即在上有解，∵x>0，∴，∴．故選：A．8．已知R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最大值為 B．的極大值為C．有兩個(gè)零點(diǎn) D．有兩個(gè)極值點(diǎn)【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象確定值的正負(fù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，再逐項(xiàng)判斷作答.【詳解】由函數(shù)的圖象知，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因，即有，A不正確；函數(shù)在處取得極小值，在處取得極大值，B不正確，D正確；由于函數(shù)的極小值、極大值的符號(hào)不確定，則函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)就不確定，C不正確.故選：D9．已知是定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造，由已知及導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，進(jìn)而比較、、的大小即可.【詳解】令，則．因?yàn)閷?duì)于恒成立，所以，即在上單調(diào)遞增，又，，，且，所以，即．故選：A10．若函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】轉(zhuǎn)化問(wèn)題為在上恒成立，即在上恒成立，結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，所以在上恒成立，即，即恒成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，故選：B11．笛卡爾是法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家、物理學(xué)家，他發(fā)明了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)工具之一——坐標(biāo)系，將幾何與代數(shù)相結(jié)合，創(chuàng)立了解析幾何．相傳，52歲時(shí)，窮困潦倒的笛卡爾戀上了18歲的瑞典公主克里斯蒂娜，后遭驅(qū)逐，在寄給公主的最后一封信里，僅有短短的一個(gè)方程：，拿信的公主早已淚眼婆娑，原來(lái)該方程的圖形是一顆愛(ài)心的形狀．這就是著名的“心形線”故事．某同學(xué)利用幾何畫(huà)板，將函數(shù)，畫(huà)在同一坐標(biāo)系中，得到了如圖曲線．觀察圖形，當(dāng)時(shí)，的導(dǎo)函數(shù)的圖像為(

)A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題干已知圖像判斷x>0時(shí)g(x)圖像的形狀，根據(jù)g(x)圖像的單調(diào)性和切線斜率變化即可判斷其導(dǎo)數(shù)的圖像．【詳解】根據(jù)f(x)和g(x)的解析式可知f(x)和g(x)均為偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，當(dāng)x>0時(shí)，，設(shè)y，則，∴此時(shí)f(x)對(duì)應(yīng)的圖像是題干中圖像在第一部分的半圓，∴x>0時(shí)，g(x)對(duì)應(yīng)題干中的圖像在第四象限的部分，∵該部分圖像單調(diào)遞增，故的值恒為正，即圖像始終在x軸上方，故排除選項(xiàng)BC；且該部分圖像的切線斜率先減小后增大，故的值先減小后增大，由此對(duì)應(yīng)的只有A圖像滿足．故選：A．12．函數(shù)，的減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)求導(dǎo)運(yùn)算可得：，，分析可知，的符號(hào)與的符號(hào)一致，求解可得的減區(qū)間．【詳解】∵，令得：，∴即的減區(qū)間為．故選：B．二、填空題13．2022年北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式始于24節(jié)氣倒計(jì)時(shí)驚艷開(kāi)場(chǎng)，將中國(guó)人的物候文明、經(jīng)典詩(shī)詞、現(xiàn)代生活的畫(huà)面和諧統(tǒng)一起來(lái)．我國(guó)古人將一年分為24個(gè)節(jié)氣，如圖所示，相鄰兩個(gè)節(jié)氣的日晷長(zhǎng)變化量相同，冬至日晷最長(zhǎng)，夏至日晷最短，周而復(fù)始．已知冬至的日晷長(zhǎng)為13.5尺，清明的日晷長(zhǎng)為6.5尺，則夏至的日晷長(zhǎng)為_(kāi)_____尺．【答案】1.5##【分析】將24個(gè)節(jié)氣的日晷長(zhǎng)的各數(shù)據(jù)可看作等差數(shù)列，通過(guò)通項(xiàng)公式相關(guān)計(jì)算得到公差，從而求出夏至的日晷長(zhǎng).【詳解】因?yàn)橄噜弮蓚€(gè)節(jié)氣的日晷長(zhǎng)變化量相同，所以24個(gè)節(jié)氣的日晷長(zhǎng)的各數(shù)據(jù)可構(gòu)成等差數(shù)列，記冬至的日晷長(zhǎng)為，清明的日晷長(zhǎng)為，所以公差，所以夏至的日晷長(zhǎng)為．故答案為：1.514．在數(shù)列中，，，，若數(shù)列是遞減數(shù)列，數(shù)列是遞增數(shù)列，則______．【答案】【分析】根據(jù)所給條件可歸納出當(dāng)時(shí)，，利用迭代法即可求解.【詳解】因?yàn)?，，，所以，即，，且是遞減數(shù)列，數(shù)列是遞增數(shù)列或（舍去），，，故可得當(dāng)時(shí)，，故答案為：15．?dāng)?shù)列前四項(xiàng)滿足??成等差數(shù)列，??成等比數(shù)列，若則___________.【答案】2【分析】由題意設(shè)數(shù)列前四項(xiàng)為，，，，則由列方程可求出的值，從而可求出的值【詳解】設(shè)四個(gè)數(shù)為，，，，由，即，可得，則.故答案為：216．已知函數(shù)，對(duì)于任意不同的，，有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【分析】設(shè)，結(jié)合不等式可得，構(gòu)造函數(shù)，則，即單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化問(wèn)題為恒成立，進(jìn)而分離參數(shù)，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】對(duì)于任意，，有，不妨設(shè)，則，即，設(shè)，則，又，所以單調(diào)遞增，則恒成立，因?yàn)椋?，令，要使在恒成立，只需恒成立，即恒成立，又，所以，即，故答案為：三、解答題17．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列，且求其通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)【分析】（1）利用可得答案；（2）利用錯(cuò)位相減求和可得答案．【詳解】（1）當(dāng)n＝1時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，由①，得②，①－②得，，∴，∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）知，∴，∴，，∴，∴．18．等差數(shù)列中，其前項(xiàng)和為，若，，成等比數(shù)列，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意求出首項(xiàng)和公差，再根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)即可得解；（2）利用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法即可得出答案.【詳解】（1）解：設(shè)的公差為，由題意得：化簡(jiǎn)整理得：解得：，；（2）解：由（1）知，，，，，，，.19．已知數(shù)列，首項(xiàng)，前項(xiàng)和足.（1）求出，并猜想的表達(dá)式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.【答案】（1），，，；（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）有遞推公式，以及，即可容易求得，并作出猜想；（2）根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，進(jìn)行證明即可.【詳解】（1）根據(jù)題意，由，，得：，由，得：，由，得：，由，得：，猜想的表達(dá)式為：；綜上所述，答案為：，，，；；（2）證明：1.當(dāng)時(shí)，，∵，∴猜想正確；2.假設(shè)當(dāng)時(shí)，猜想正確，即；那當(dāng)時(shí)，由已知得：將歸納假設(shè)代入上式，得：∴，這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)，猜想正確；綜上所述1，2知：對(duì)一切，都有成立.【點(diǎn)睛】本題考查遞推公式的使用，涉及利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，屬綜合基礎(chǔ)題.20．已知函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)a＝1時(shí)，求在上的最值．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)最大值為，最小值為【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，，再分和兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性；（2），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最值.【詳解】（1）由題意得，，當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)在上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，令，解得，令，可得或；令，可得，所以在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．（2）由題意得，，由（1）知，在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．又，，，，故在上的最大值為，最小值為．21．當(dāng)時(shí)，函數(shù)（）有極值，(1)求函數(shù)的解析式；(2)若關(guān)于的方程有3個(gè)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題目條件得到方程組，求出的值，檢驗(yàn)是否符合要求；（2）在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，構(gòu)造，求導(dǎo)，求出其極值，列出不等式，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1），由題意得：，解得：，經(jīng)驗(yàn)證，函數(shù)在處有極值，故解析式為：．（2）令，由得：令得，，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)時(shí)，有極大值，當(dāng)時(shí)，有極小值，關(guān)于的方程有3個(gè)解，等價(jià)于函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，所以．故實(shí)數(shù)的取值范圍是22．已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)，處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(3)當(dāng)時(shí)，在區(qū)間有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，，，．(3)【分析】（1）求出