2022—2023年復(fù)旦附中高一上開學(xué)考

一、填空題（第1—6題每題4分，第7—12題每題5分.滿分54分）

1.使等式』：一6》+9=3-x成立的x的取值范圍是.

2,若一2?3,5/,廠+3號則實數(shù)》=,

3.設(shè)集合A=W1"X"2},B={小刊，若A=則實數(shù)。的取值范圍__________.

4,若對任意的x,均有（7%一療=49/一笈+9?、。為常數(shù)），則a+b=.

x—3>0

<

5,一組數(shù)據(jù)3,6,8,x的中位數(shù)是工，且工是滿足不等式組15一“<°的整數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是

y--^1―

6.已知M、N兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，且點(diǎn)M在雙曲線2x上，點(diǎn)N在直線X+3上，設(shè)點(diǎn)M對

稱點(diǎn)坐標(biāo)為（°'”）,則二次函數(shù)尸一的一+（0+”）x的最小值為.

xx2

~-6Z〃W-.--------

7設(shè)X-+X+1V2人則用含。的最簡分式形式表示代數(shù)式x+廠+1的值為.

8.小明想測量一棵樹的高度，他發(fā)現(xiàn)誰的影子恰好落在地面和一斜坡上（如圖1），此時測得地面上的影

長為8米，坡面上的影長為4米，已知斜坡的坡角為30。，同一時刻，一根長為1米、垂直于地面放置的

標(biāo)桿在地面上的影長為2米（如圖2）,則樹的高度為.

9.如圖，四邊形AB8是菱形,

NA=60。，AB=2,扇形跳尸的半徑為2,圓心角為60°,則圖中陰影部分的面積是.

AB

10.如圖，矩形紙片A8CO,長AD=9cm,寬AB=3cm,將其折疊，使點(diǎn)。與點(diǎn)8重合，那么折疊后

的長為______

11.一個三角形的邊長分別為。、。、b,另一個三角形的邊長

a

分別為〃、b、a,其中若兩個三角形的最小內(nèi)角相等，萬的值等于.

12.從1、2、3、L、22這22個正整數(shù)中取出〃個正整數(shù)，要求滿足：任何兩個正整數(shù)的差的絕對值

都不等于4或7,那么〃的最大值為.

二、選擇題（本大題共4題，滿分20分）

13,已知集合“=體葉1<“<5},8={0,1,2,3,4,5},則人、8間的關(guān)系為（》

A.A=BB.BcAC.AeBD.A=B

14.已知xeR,使代數(shù)式無+J」+1-----1=的值為有理數(shù)的x的集合是（）

X+A/JT+1

A.RB.QC.使，f+icQ的集合D.使x+Jf+ieQ的

集合

15.設(shè)。、b、c是實數(shù)，x=a2-2b+—,y=b2-2c+—,z=c2-2a+—,則x、>、z中至少有一

362

個值（）

A.大于0B.等于0C.不大于0D.小于0

16.如圖，扇形OAB的半徑。4=6,圓心角NAQB=90°，。是弧A8上不同于A、8的動點(diǎn)，過點(diǎn)C

2

作CZ）_LQ4于點(diǎn)。，作于點(diǎn)E，連接。E，點(diǎn)N在線段DE上，HEN=—DE,設(shè)EC的長

3

為x,ACEN的面積為y,下面表示y與x的函數(shù)關(guān)系式的圖象可能是（）

三、解答題(本大題共有5題、滿分76分)

17.解方程：|1-x|-，x2—7x+16=2x-5.

18.已知/?,4={2,4,%2-5x+9},B=13,x2+ar+tz|,C={f+(a+l)x-3,l卜求:

(1)使2wB，BAa，x的值；

(2)使8=C的的值.

,21=n

kx-x—yH—()x=x1X—尤2

19.已知方程組《2(x,y為未知數(shù))有兩組不同的實數(shù)解＜

y=k(2x-V)j=y

(i)求實數(shù)k的取值范圍；

(2)如果%必+J+J=3,求實數(shù)左的值.20.已知集合5={m+〃行|祖2一3〃2=1,〃?,“€2}.

(1)證明：若aeS，則,eS,----廣eS；

a2+，3

(2)證明：若l<pWq,則2<p+qWq+q,并由此證明S中元素人若滿足1<842+G，則

Z?=2+V3;

(3)設(shè)ceS,試求滿足2+6<c4(2+百了所有。的可能值.

21.若集合A具有以下性質(zhì)，則稱集合A是“好集"：①OeA,IGA；②若、、yiA,則x-yeA,且

"0時，—GA.

X

（1）分別判斷集合3={-1,0,1},有理數(shù)集。否是“好集”，并說明理由；

（2）設(shè)集合A是“好集”，求證：若X、yiA,則x+yeA；

（3）對任意的一個“好集”A,判斷下面命題的真假，并說明理由；命題：若x、yiA,則必有

xyeA.

2022—2023年復(fù)旦附中高一上開學(xué)考

一、填空題（第1—6題每題4分，第7—12題每題5分.滿分54分）

1.使等式J：-6x+9=3-x成立的％的取值范圍是

【答案】（F,3]

【解析】

【分析】先化簡_6%+9得—6x+9=|x—耳，再根據(jù)絕對值的意義即可得答案.

【詳解】解：因為x2-6x+9=（x-3六

所以yjx2-6x+9-=|X-3|

因Vx2-6x+9=3-x

所以|x-3]=3-x,

所以x—3W0,即xW3

故滿足條件的x的取值范圍是（-8,3]

故答案為：（-8,3]

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)根式化筒結(jié)果求參數(shù)范圍，是基礎(chǔ)題.

2.若一2e{3,5,%,x2+3x},則實數(shù)x=.

【答案】-1

【解析】

【分析】討論x=-2或V+3x=-2,解出X的值，由集合的互異性即可得出答案.

【詳解】當(dāng)x=-2時，X2+3X=-2.與互異性矛盾.

當(dāng)x?+3x=—2時，解得x=T或x=-2（舍去）.

當(dāng)x=-l時符合題意，

故答案為：-1.

3.設(shè)集合A={x[l<x<2},B={x|xNa},若A=則實數(shù)°的取值范圍___________

【答案】{a|a?l}

【解析】

【分析】在數(shù)軸上表示出兩個集合，然后根據(jù)集合的包含關(guān)系得出”的取值范圍.

【詳解】A={x\l<x<2],5={x|x>a},又AuB,在數(shù)軸上表示可得:

||由圖可知，a<\.

Oa12x

故答案為：{4。41}.

【點(diǎn)睛】本題主要考查由集合的包含關(guān)系求參數(shù)的范圍，考查邏輯思維能力和數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.

4.若對任意的x,均有(7x—a)2=49f_Ax+9(〃、〃為常數(shù))，則。+人=.

【答案】±45

【解析】

【分析】先化簡方程，再根據(jù)等式恒成立列等量關(guān)系，解得〃、b,即得結(jié)果.

【詳解】v(7x-a)2=49x2-bx+9(14a-b)x+9-a2=0

因為對任意的x,(14a-份x+9-/=0恒成立，

,fa=3[a=—3

所以14a—匕=0,9—。~=0,4或《：.a+b-±45

b=42[b=-42

故答案為：±45

【點(diǎn)睛】本題考查方程恒成立問題，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

X—320

5.一組數(shù)據(jù)3,6,8，x的中位數(shù)是x,且x是滿足不等式組《八的整數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是

5-A,<0

【答案】5.75

【解析】

【分析】由平均數(shù)和中位數(shù)的定義即可得出答案.

x—320

【詳解】解不等式組八得x>5,因為％是整數(shù)，

5-%<0

數(shù)據(jù)3,6,8,x的中位數(shù)是x,所以x=6.

這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是:(3+6+6+8)=5.75.

故答案為：5.75.6.已知M、N兩點(diǎn)關(guān)于V軸對稱，且點(diǎn)〃在雙曲線y=」-上，點(diǎn)N在直線丁=%+3

2x

上，設(shè)點(diǎn)〃的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為(。/)，則二次函數(shù)y=—出￡+(a+0)x的最小值為.

【答案】—3.5

【解析】

【分析】用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可.

【詳解】因為M、N兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（。力），所以M點(diǎn)的坐標(biāo)為（一。,人）,

又點(diǎn)M在反比例函數(shù)y的圖象上，點(diǎn)N在一次函數(shù)y=x+3的圖象上,

2x

-2ah=1

所以《整理得,所以3-。）2=9,即/+從=8,

b=a+3

a-b=-3

所以a+b=da?+b?+2ab=小8—2x3=V7,故二次函數(shù)y=—a"?+(〃+0)x=5/+,二次

-訴2

項系數(shù)為工>0,=-3.5

故函數(shù)有最小值,最小值為,I

2

2

故答案為：—3.5

7.設(shè)，方心只］,則用含“的最簡分式形式表示代數(shù)式-二_的值為

廠+x+lI1）x4+x2+l

2

【答案］」一

1一2a

【解析】

【分析】己知式取倒數(shù)后求得無+,,待求式變形為關(guān)于x+，的式子，代入后化簡可得.

XX

■、W4X（y1）/Ef+X+11211.

【詳解】由F-=6!a^~rf-B--------=—,所以X-I=---1.

V+X+1<2JxaXa

所以x4+x2+1

2

故答案為：，一

1一2。

8.小明想測量一棵樹的高度，他發(fā)現(xiàn)誰的影子恰好落在地面和一斜坡上（如圖1）,此時測得地面上的影

長為8米，坡面上的影長為4米，已知斜坡的坡角為30。，同一時?刻，一根長為1米、垂直于地面放置的

標(biāo)桿在地面上的影長為2米（如圖2）,則樹的高度為

【解析】

【分析】延長AC交BF延長線于。點(diǎn)，則BQ即為AB的影長，然后根據(jù)物長和影長的比值計算即可.

【詳解】延長AC交延長線于。點(diǎn)，

則/CEE=30°,作CELL8。于E,

在RIACFE中，NCFE=3Q°,CF=4m,

所以CE=2（米），E尸=4cos30°=2百（米），

在Rt△CED中,

???同一時刻，一根長為1米、垂直于地面放置的標(biāo)桿在地面上的影長為2米，CE=2米，CE：DE=1：

2,

DE=4（米），

BD=BF+EF+ED=12+273（米），

在RtAABO中，AB=g8Q=g（12+26）=（G+6）（米）.

故答案為：（6+6）米.

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用以及相似三角形的性質(zhì).解決本題的關(guān)鍵是作出輔助線得到AB的影長.

9.如圖，四邊形ABCO是菱形，ZA=60°,AB=2,扇形8所的半徑為2,圓心角為60。，則圖中陰

影部分的面積是

AB

【答案】一萬一

3

【解析】

【分析】先求扇形BE尸的面積，再求扇形B石尸在四邊形ABCD內(nèi)面積，最后相減得結(jié)果.

【詳解】扇形BEF的面積為上x代x2?=把,連接BQ,設(shè)BE^}AD=N,BF^}CD=M

233

TTn

ZNDB=NMCB=-,ZDBN=--NMBD=ZCBM,8。=B￡>因此QBN=CBM

33

即扇形在四邊形ABC。內(nèi)面積等于△BCD內(nèi)面積，即為立x2?=百，

4

因此圖中陰影部分的面積是2萬-6,

3

故答案為：—兀-6

3

【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

10.如圖，矩形紙片ABCQ,長AD=9cm,寬AB=3cm,將其折疊，使點(diǎn)。與點(diǎn)8重合，那么折疊后

OE的長為.

【答案】5cm

【解析】

【分析】設(shè)QE長為xcm,利用矩形性質(zhì)、勾股定理列方程求x值即可.

【詳解】設(shè)。E長為xcm,則AE=(9-x)cm,BE=xcm,

因為四邊形ABC￡>是矩形，所以/A=90。,

由勾股定理得A￡2+A32=BE2,即（9—》『+32=尤2,解得x=5,即。E長為5cm.

故答案為：5cm

11.一個三角形的邊長分別為。、。、b,另一個三角形的邊長分別為匕、b、a,其中。＞人若兩個三

角形的最小內(nèi)角相等，；的值等于.

【答案］立上!

【解析】

【分析】AASC中，AB=BC=a,AC=b,在△DEF中，DE=DF-h,EF—a,ZB=Z.E?

過點(diǎn)A作AHJ_3。于點(diǎn)“，過。作OTLE/于點(diǎn)T.設(shè)BH=x,利用勾股定理求得肛然后在兩個

直角三角形中由cosB=cos￡建立。力的關(guān)系求得二.

【詳解】如圖，A/WC中，AB=BC=a,AC=b,

在△￡）￡：/中，DE=DF=b,EF=a,NB=NE.

過點(diǎn)A作于點(diǎn)”，過。作。T_L￡戶于點(diǎn)T.設(shè)BH=x.

因為A"2=AB2—=AC2—C”2,所以“2一彳2=〃一g一無）2,

所以x=?———,因為NB=NE,所以cos3=cosE,所以巨二因為￡）E=Z）廠,

2aABDF

DT±EF，所以七丁二獷二,。，所以〃+。2一/2",解得@=正土1.

2F^=加b2

故答案為：避土I.

12.從1、2、3、L、22這22個正整數(shù)中取出"個

AbC

正整數(shù)，要求滿足：任何兩個正整數(shù)的差的絕對值都不等于4或7,那么〃的最大值為.

【答案】10

【解析】

【分析】分析可知在任意相鄰的11個正整數(shù)中，要想選出符合條件的，可求出滿組條件的數(shù)的最大個數(shù),

結(jié)合周期性可得解.

【詳解】根據(jù)4和7互素可知，取3攵+1、k+2、L、4+10（ZwN*）這11個整數(shù)，

按照上、2+4、左+8、左+1、k+5>2+9、k+2、k+6z+10、4+3、左+7排成一圈，

這樣能確保任意相鄰兩個數(shù)的差的絕對值為4或7,

所以，在任意相鄰的11個正整數(shù)中，要想選出符合條件的，最多能選出5個數(shù)，

因此，"=5x2=10.

而且滿足條件的一組數(shù)可以是：1、3、4、6、9、12、14、15、17、20,

故答案為：10.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵在于找出連續(xù)的111整數(shù)中所滿足條件的最多的整數(shù)的個數(shù)，結(jié)合周

期性求解.

二、選擇題（本大題共4題，滿分20分）

13.已知集合A={xeN|—l<x<5},B={0,l,2,3,4,5},則A、B間的關(guān)系為（）

A.A=BB.BcAC.AeBD.AcB

【答案】D

【解析】

【分析】求出集合A,即可得出結(jié)論.【詳解】因為A={xeN|—l<x<5}={O,l,2,3,4},故AqB.

故選：D.

14.已知xeR,使代數(shù)式x+-----\=的值為有理數(shù)的x的集合是（）

X+A/JT+1

A.RB.QC.使Jf+ieQ的集合D.使x+JV+icQ的

集合

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)分母有理化化簡后的結(jié)果判斷可得.

_______]_______/2jx

詳解】x+Vx2+1-----.=x+&+1------.，尤”+/:---=2xeQ,則xGQ,

X+A/V+I（?x+J廠+1）（，*2+1—x）

故選：B.

15.設(shè)。、匕、，是實數(shù)，x^a1-2b+-,y=b1-2c+-,z=c2-2a+-,則x、y、z中至少有一

個值()

A.大于0B.等于0C.不大于0D.小于0

【答案】A

【解析】

【分析】由已知可得x+y+z=(a—l)2+S—l)2+(c—l)2+7t—3>0,假設(shè)xWO、yWO、zW()推出

矛盾結(jié)論，即可得答案.

【詳解】由x+y+z=〃-2。+至+〃一2。+工+(?—2。+二=(。-1)2+3—+(c-l)2+兀-3>0

362

假設(shè)X、y、Z都不大于0,即xWO,y<0,Z<Q,則x+y+z?O,顯然出現(xiàn)矛盾.

所以假設(shè)不成立，即原命題的結(jié)論x、y、z中至少有一個大于0.

故選：A

16.如圖，扇形。W的半徑。4=6,圓心角NAO5=90°，C是弧AB上不同于A、8的動點(diǎn)，過點(diǎn)C

2

作CZ)_LQ4于點(diǎn)。，作CE_LO3于點(diǎn)E，連接DE，點(diǎn)N在線段。E上，HEN=—DE,設(shè)EC的長

3

【答案】A

【解析】

【分析】計算得出y與*的函數(shù)關(guān)系式，由此可得出y與x的函數(shù)圖象.

【詳解】連接。C，則。E=OC=6，OD=EC=x,：.CD=OE=dDE?-OU=，36-爐,

222222

y=|^=fx|x^-CO=^V36-x=1^（36-x）=1^-（x-18）+18,

則y關(guān)于x的函數(shù)不是一次函數(shù)，

令t=Y，則y=；（?-18）2+182,

內(nèi)層函數(shù)/=V在區(qū)間（0,6）上單調(diào)遞增,

外層函數(shù)y=；J—（—18）2+182在區(qū)間（0,18）上單調(diào)遞增,在區(qū)間（18,36）上單調(diào)遞減，當(dāng)0</<18

時，即0<工2<18，?.?*>（）,可得0<%<3及；

當(dāng)18</<36時，即18<d<36，;%>（），可得3后<x<6.

所以，函數(shù)在區(qū)間倒,3閭上單調(diào)遞增，在區(qū)間卜夜,6）上單調(diào)遞減，

故符合條件的圖象為選項A中的圖象.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的判斷，結(jié)合題意建立函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵，考查分析問題和解決問題的

能力，屬于中等題.

三、解答題（本大題共有5題、滿分76分）

17.解方程：|1-Jx?-7x+16=2x-5.

【答案】x二2"M

16

【解析】

【分析】方程變形為—2x+5=Jj2—7X+16,然后按絕對值的定義分類討論，去掉絕對值后平方

求解.

【詳解】由|1-目-42-7x+16=2x-5得|l-x|-2x+5=Jd-7X+16，

x21時，—x+4=Jx，-7x+16，所以x?—8x+16=x?—7x+16,

所以x=0(舍去)；

當(dāng)x<l時，6-3x=&-7=+16,所以9f-36x+36=f-7x+16，

所以8/—29X+20=0,又X<1，所以*="二朝.

16

18.已知a,xeR,A={2,4,x2-5x+9},B=^3,x23+ax+a^,C={d+(a+l)x-3』}.求:

(1)使2e3，8A的a，x的值；

(2)使8=。的”,x的值.

27

【答案】(1)x=2,a--或x=3,a=—；(2)x--l>。=-6或x=3,a--2

34

【解析】

【分析】（1）由元素與集合的關(guān)系和集合與集合的關(guān)系可得，x2+ax+a=2,x2-5x+9=3.聯(lián)立方程

x2+ax+a=\

即可得出結(jié)果.（2）根據(jù)集合相等，集合中的元素相同,可得《解方程即可得出結(jié)

X?++l)x—3—3

果O

【詳解】（1）因為2c8，所以％2+改+々=2

又因為BA,所以12一5%+9=3，解得X=2或X=3

2

當(dāng)x=2時，4+2Q+Q=2,解得Q=—

3

7

當(dāng)x=3時，9+3a+a=2,解得。=—

4

27

所以，x=2,a=—或x=3，a=—；

34

x2+ar+a=lx=-lx=3

(2)B=C,解得〈,或V

x~+(a+V)x-3=3a=-6ci=-2

所以，x=-\。=-6或x=3,a=-2.

【點(diǎn)睛】本題考查了集合的性質(zhì)及元素與集合、集合與集合間的關(guān)系，考查了運(yùn)算求解能力和邏輯推理能

力，屬于中檔題目.

721

kx—x-yH——n0X=Xx=x

19.已知方程組《2(x,y為未知數(shù))有兩組不同的實數(shù)解＜x2

y=y

-1)y=y2

(1)求實數(shù)A:的取值范圍;

11c

(2)如果X%+一+一=3,求實數(shù)々的值.

【答案】(1)1且女H0;(2)k=\.

2

【解析】

【分析】(1)先化簡方程組，再根據(jù)二次方程有兩個不同解列條件，解得結(jié)果:

(2)先化簡條件為關(guān)于當(dāng),々等量關(guān)系，再利用韋達(dá)定理化簡，解得人的值.

依2_x_)'+g=0：.京2_(1+2QX+%+'=0

【詳解】(1)

y=k(2x—1)

因為方程組有兩組不同的實數(shù)解，所以區(qū)2—(1+2女?+左+—=0有兩個不同的實數(shù)解

2

,11

=(1+2〃)2—4x%x(〃+-)>0所以％>-上且左wO；(2)

22

2

?/y2+—+—=3k(2%-l)(2x9-1)++*=3

xxx2-x]x2

k+l-

—2(玉+x)+1]H—--=-=3因為1+2Z

22，

XjXX+x=-------,X1X

2]22k

氏+!1+2Z:

所以公4，—2(噌)+1]+=3：?/=1

所以AZk+l

2

k

因&且左H0,所以％=1.

2

【點(diǎn)睛】本題考查方程組有解問題、利用韋達(dá)定理求參數(shù)，考查基本分析求解能力，屬中檔題.

20.已知集合S-{m+ri'/i\m2-3n2-l,m,neZ].

(1)證明：若aeS,則^eS,

a2+J3

(2)證明：若1<p$q,貝ij2cp+—Wq+一并由此證明S中的元素6若滿足1＜人42+K，則

pq

6=2+百；

（3）設(shè)cwS,試求滿足2+G<c4（2+gy的所有。的可能值.

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）c=7+46

【解析】

【分析】⑴若則叫i取W-3/=l，m，〃Z，得到:a

均滿足集合A的

2+百

性質(zhì)，進(jìn)而得到結(jié)論.

（2）構(gòu)造函數(shù)/（x）=x+J（xNl）,分析其單調(diào)性，進(jìn)而得到A中元素若滿足1<%42+6，則

b=2+>/3.

（3）設(shè)ciA,結(jié)合（1）（2）中的結(jié)論，可得c值.

【詳解】證明：（1）若〃WA,貝ij。=租+〃⑺且加2-3序=1,m，n￡Z,則

11m—ny[3/T/x/-rjOoz、、、r

—=-------==------=m—nyj5=m+（-〃）J3且加3（一“）/=1,m,一〃￡Z,

am+n<3m-3n^

故院A,

a

a

則互能二（2一6）（m+n乖,）=（2〃?-3〃）+（2〃-加）下）,

此時（2機(jī)-3〃）2-3（2〃-"7）』布-3層=],

a

故^---77GA；

2+A/3

（2）令f（x）=x+-（x>l）,則在（L+oo）上的單調(diào)遞增,

X

證明：設(shè)1工王<工，

則/（工2）一）（%）=x2+----（xi+—）=（工2-％）（1-----）

中2

*/1<Xj<X2

：.x2-xt>0,1--—>0,

中2

故/（々）一/（斗）>0，即/（%2）>/（西），八九）在（