PAGEPAGE6專題檢測(三)不等式一、選擇題1．關(guān)于x的不等式(ax－1)(x＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))，那么a＝()A．2B．－2C．－eq\f(1,2)D.eq\f(1,2)2．(2022·北京高考)A(2，5)，B(4，1)．假設(shè)點(diǎn)P(x，y)在線段AB上，那么2x－y的最大值為()A．－1B．3C．7D．83．(2022·福建四地六校聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(a,x)＋2的值域?yàn)?－∞，0]∪[4，＋∞)，那么a的值是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(3,2)C．1D．24．函數(shù)f(x)＝(x－2)(ax＋b)為偶函數(shù)，且在(0，＋∞)單調(diào)遞增，那么f(2－x)>0的解集為()A．{x|x>2或x<－2}B．{x|－2<x<2}C．{x|x<0或x>4}D．{x|0<x<4}5．(2022·贛中南五校聯(lián)考)對于任意實(shí)數(shù)a，b，c，d，有以下四個(gè)命題：①假設(shè)ac2>bc2，且c≠0，那么a>b；②假設(shè)a>b，c>d，那么a＋c>b＋d；③假設(shè)a>b，c>d，那么ac>bd；④假設(shè)a>b，那么eq\f(1,a)>eq\f(1,b).其中正確的有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)6．(2022·安徽江南十校聯(lián)考)假設(shè)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－y≥0，,x＋y－4≤0，,y≥\f(1,2)x2，))那么z＝y(tǒng)－x的取值范圍為()A．[－2，2]B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))C．[－1，2]D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))7．(2022·河北五校聯(lián)考)假設(shè)對任意正實(shí)數(shù)x，不等式eq\f(1,x2＋1)≤eq\f(a,x)恒成立，那么實(shí)數(shù)a的最小值為()A．1B.eq\r(2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(2),2)8．(2022·河南八市聯(lián)考)a>0，x，y滿足約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x＋y≤3，,y≥a〔x－3〕，))假設(shè)z＝3x＋2y的最小值為1，那么a＝()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4)D．19．某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料，生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示，如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，那么該企業(yè)每天可獲得最大利潤為()甲乙原料限額A(噸)3212B(噸)128A.12萬元B．16萬元C．17萬元D．18萬元10．(2022·湖北七市聯(lián)考)設(shè)向量a＝(1，k)，b＝(x，y)，記a與b的夾角為θ.假設(shè)對所有滿足不等式|x－2|≤y≤1的x，y，都有θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A．(－1，＋∞)B．(－1，0)∪(0，＋∞)C．(1，＋∞)D．(－1，0)∪(1，＋∞)11．假設(shè)兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝1，且不等式x＋eq\f(y,4)<m2－3m有解，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(－1，4)B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C．(－4，1)D．(－∞，0)∪(3，＋∞)12．設(shè)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)．假設(shè)?x∈R，不等式f(x)≥f′(x)恒成立，那么eq\f(b2,a2＋2c2)的最大值為()A.eq\r(6)＋2B.eq\r(6)－2C．2eq\r(2)＋2D．2eq\r(2)－2二、填空題13．(2022·湖北華師一附中聯(lián)考)假設(shè)2x＋4y＝4，那么x＋2y的最大值是________．14．(2022·河北三市聯(lián)考)如果實(shí)數(shù)x，y滿足條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≥0，,x－1≤0，,y－2≤0，))且z＝eq\f(y,x＋a)的最小值為eq\f(1,2)，那么正數(shù)a的值為________．15．(2022·江西兩市聯(lián)考)設(shè)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥x，,4x＋3y≤12，))那么eq\f(x＋2y＋3,x＋1)的取值范圍是________．16．(2022·湖南東部六校聯(lián)考)對于問題：“關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集為(－1，2)，解關(guān)于x的不等式ax2－bx＋c>0〞，給出如下一種解法：解：由ax2＋bx＋c>0的解集為(－1，2)，得a(－x)2＋b(－x)＋c>0的解集為(－2，1)，即關(guān)于x的不等式ax2－bx＋c>0的解集為(－2，1)．參考上述解法，假設(shè)關(guān)于x的不等式eq\f(k,x＋a)＋eq\f(x＋b,x＋c)<0的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，那么關(guān)于x的不等式eq\f(kx,ax＋1)＋eq\f(bx＋1,cx＋1)<0的解集為________．

一、選擇題1．解析：選B根據(jù)不等式與對應(yīng)方程的關(guān)系知－1，－eq\f(1,2)是一元二次方程ax2＋x(a－1)－1＝0的兩個(gè)根，所以－1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(1,a)，所以a＝－2，應(yīng)選B.2．解析：選C作出線段AB，如下圖．作直線2x－y＝0并將其向下平移至直線過點(diǎn)B(4，1)時(shí)，2x－y取最大值為2×4－1＝7.3．解析：選C由題意可得a>0，①當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x＋eq\f(a,x)＋2≥2eq\r(a)＋2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\r(a)時(shí)取等號；②當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝x＋eq\f(a,x)＋2≤－2eq\r(a)＋2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝－eq\r(a)時(shí)取等號．所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－2\r(a)＝0，,2\r(a)＋2＝4，))解得a＝1，應(yīng)選C.4．解析：選C由題意可知f(－x)＝f(x)，即(－x－2)·(－ax＋b)＝(x－2)(ax＋b)，(2a－b)x＝0恒成立，故2a－b＝0，即b＝2a，那么f(x)＝a(x－2)(x＋2)．又函數(shù)在(0，＋∞)單調(diào)遞增，所以a>0.f(2－x)>0即ax(x－4)>0，解得x<0或x>4.應(yīng)選C.5．解析：選B①ac2>bc2，且c≠0，那么a>b，①正確；②由不等式的同向可加性可知②正確；③需滿足a，b，c，d均為正數(shù)才成立；④錯(cuò)誤，比方：令a＝－1，b＝－2，滿足－1>－2，但eq\f(1,－1)<eq\f(1,－2).應(yīng)選B.6．解析：選B作出可行域(圖略)，設(shè)直線l：y＝x＋z，平移直線l，易知當(dāng)l過直線3x－y＝0與x＋y－4＝0的交點(diǎn)(1，3)時(shí)，z取得最大值2；當(dāng)l與拋物線y＝eq\f(1,2)x2相切時(shí)，z取得最小值，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(z＝y(tǒng)－x，,y＝\f(1,2)x2，))消去y得x2－2x－2z＝0，由Δ＝4＋8z＝0，得z＝－eq\f(1,2)，故－eq\f(1,2)≤z≤2，應(yīng)選B.7．解析：選C因?yàn)閑q\f(1,x2＋1)≤eq\f(a,x)，即a≥eq\f(x,x2＋1)，而eq\f(x,x2＋1)＝eq\f(1,x＋\f(1,x))≤eq\f(1,2)(當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號)，所以a≥eq\f(1,2).應(yīng)選C.8．解析：選B根據(jù)約束條件作出可行域(如圖中陰影局部所示)，把z＝3x＋2y變形為y＝－eq\f(3,2)x＋eq\f(z,2)，得到斜率為－eq\f(3,2)，在y軸上的截距為eq\f(z,2)，隨z變化的一族平行直線，當(dāng)直線z＝3x＋2y經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，截距eq\f(z,2)最小，即z最小，又B點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－2a)，代入3x＋2y＝1，得3－4a＝1，得a＝eq\f(1,2)，應(yīng)選B.9．解析：選D設(shè)該企業(yè)每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸，乙產(chǎn)品y噸，每天獲得的利潤為z萬元，那么有z＝3x＋4y，由題意得x，y滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋2y≤12，,x＋2y≤8，,x≥0，,y≥0，))作出可行域如圖中陰影局部所示，根據(jù)線性規(guī)劃的有關(guān)知識，知當(dāng)直線3x＋4y－z＝0過點(diǎn)B(2，3)時(shí)，z取最大值18，故該企業(yè)每天可獲得最大利潤為18萬元．應(yīng)選D.10．解析：選D首先畫出不等式|x－2|≤y≤1所表示的區(qū)域，如圖中陰影局部所示，令z＝a·b＝x＋ky，∴問題等價(jià)于當(dāng)可行域?yàn)椤鰽BC時(shí)，z>0恒成立，且a與b方向不相同，將△ABC的三個(gè)端點(diǎn)值代入，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＋1>0，,k＋3>0，,2＋0·k>0，))解得k>－1，當(dāng)a與b方向相同時(shí)，1·y＝x·k，那么k＝eq\f(y,x)∈[0，1]，∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是(－1，0)∪(1，＋∞)，應(yīng)選D.11．解析：選B由題可知，1＝eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)≥2eq\r(\f(4,xy))＝eq\f(4,\r(xy))，即eq\r(xy)≥4，于是有m2－3m>x＋eq\f(y,4)≥eq\r(xy)≥4，故m2－3m>4，化簡得(m＋1)(m－4)>0，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－∞，－1)∪(4，＋∞)．12．解析：選B由題意得f′(x)＝2ax＋b，由f(x)≥f′(x)在R上恒成立，得ax2＋(b－2a)x＋c－b≥0在R上恒成立，那么a>0且Δ≤0，可得b2≤4ac－4a2，那么eq\f(b2,a2＋2c2)≤eq\f(4ac－4a2,a2＋2c2)＝eq\f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)－1)),2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))\s\up12(2)＋1)，又4ac－4a2≥0，∴4·eq\f(c,a)－4≥0，∴eq\f(c,a)－1≥0，令t＝eq\f(c,a)－1，那么t≥0.當(dāng)t>0時(shí)，eq\f(b2,a2＋2c2)≤eq\f(4t,2t2＋4t＋3)＝eq\f(4,2t＋\f(3,t)＋4)≤eq\f(4,2\r(6)＋4)＝eq\r(6)－2(當(dāng)且僅當(dāng)t＝eq\f(\r(6),2)時(shí)等號成立)，當(dāng)t＝0時(shí)，eq\f(b2,a2＋2c2)＝0，故eq\f(b2,a2＋2c2)的最大值為eq\r(6)－2，應(yīng)選B.二、填空題13．解析：因?yàn)?＝2x＋4y＝2x＋22y≥2eq\r(2x×22y)＝2eq\r(2x＋2y)，所以2x＋2y≤4＝22，即x＋2y≤2，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝22y＝2，即x＝2y＝1時(shí)，x＋2y取得最大值2.答案：214．解析：根據(jù)約束條件畫出可行域如圖中陰影局部所示，經(jīng)分析可知當(dāng)x＝1，y＝1時(shí)，z取最小值eq\f(1,2)，即eq\f(1,1＋a)＝eq\f(1,2)，所以a＝1.答案：115．解析：設(shè)z＝eq\f(x＋2y＋3,x＋1)＝eq\f(x＋1＋2〔y＋1〕,x＋1)＝1＋2·eq\f(y＋1,x＋1)，設(shè)z′＝eq\f(y＋1,x＋1)，那么z′的幾何意義為動(dòng)點(diǎn)P(x，y)到定點(diǎn)D(－1，－1)的斜率．畫出可行域如圖中陰影局部所示，那么易得z′∈[kDA，kDB]，易得z′∈[