考點二十三二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃知識梳理1．二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域(1)直線l：Ax＋By＋C＝0把直角坐標(biāo)平面內(nèi)的所有點分成三類：在直線Ax＋By＋C＝0上的點；在直線Ax＋By＋C＝0上方區(qū)域內(nèi)的點；在直線Ax＋By＋C＝0下方區(qū)域內(nèi)的點．(2)二元一次不等式組表示的平面區(qū)域：不等式組中各個不等式表示平面區(qū)域的公共區(qū)域．2．確定二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的方法(1)基本方法：“直線定界，特殊點定域”，即先作直線，再取特殊點并代入不等式組．若滿足不等式組，則不等式(組)表示的平面區(qū)域為直線與特殊點同側(cè)的那部分區(qū)域；否則就對應(yīng)與特殊點異側(cè)的平面區(qū)域．(2)關(guān)于邊界問題：當(dāng)不等式中帶等號時，邊界為實線，不帶等號時，邊界應(yīng)畫為虛線，特殊點常取原點．3．線性規(guī)劃中的基本概念名稱定義約束條件變量x、y滿足的一次不等式組目標(biāo)函數(shù)欲求最大值或最小值所涉及的變量x、y的線性函數(shù)可行域約束條件所表示的平面區(qū)域稱為可行域最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下，求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題4．利用線性規(guī)劃求最值的基本步驟(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域．(2)考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將目標(biāo)函數(shù)進行變形．(3)確定最優(yōu)解：在可行域內(nèi)平行移動目標(biāo)函數(shù)變形后的直線，從而確定最優(yōu)解．(4)求最值：將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值.典例剖析題型一二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域例1(1)已知點P(3，－1)和A(－1,2)在直線ax＋2y－1＝0的兩側(cè)，則實數(shù)a的取值范圍為____________．(2)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y＋6≥0,x－y＋2＜0))表示的平面區(qū)域是____________．(填序號)②③④答案(1)(－∞，1)∪(3，＋∞)(2)②解析(1)∵P、A在直線ax＋2y－1＝0的兩側(cè)，∴(3a－3)(－a＋3)<0，得a>3或a<1.(2)把(0,0)代入第一條直線，滿足不等式，所以在x－3y＋6＝0的下方區(qū)域（含邊界），把(0,0)代入第二條直線，不滿足x－y＋2＜0，所以在直線x－y＋2＝0的上方區(qū)域（不含邊界），取二者公共區(qū)域，答案為②.變式訓(xùn)練求不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－6≤0，,x＋y－3≥0，,y≤2))表示的平面區(qū)域的面積．解析不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－6≤0，,x＋y－3≥0，,y≤2))表示的平面區(qū)域如圖所示(陰影部分)，△ABC的面積即為所求．求出點A，B，C的坐標(biāo)分別為A(1,2)，B(2,2)，C(3,0)，則△ABC的面積為S＝eq\f(1,2)×(2－1)×2＝1.解題要點判斷在直線哪一側(cè)，一般取特殊點，如果直線不過原點，就取原點判斷；若直線過原點，就另取點(1,0)或(0,1)等判斷.題型二求線性目標(biāo)函數(shù)最值問題例2（2015山東文）若x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－x≤1，,x＋y≤3，,y≥1，))則z＝x＋3y的最大值為______．答案7解析不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示．∵z＝x＋3y，∴y＝－eq\f(1,3)x＋eq\f(z,3).將直線y＝－eq\f(1,3)x向上平行移動，當(dāng)經(jīng)過點C時，z取得最大值，由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－x＝1，,x＋y＝3，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2.))∴C(1,2)，∴z的最大值為zmax＝1＋3×2＝7.變式訓(xùn)練（2015新課標(biāo)Ⅰ文）若x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≤0，,x－2y＋1≤0，,2x－y＋2≥0，))則z＝3x＋y的最大值為________．答案4解析x,y滿足條件的可行域如圖所示的陰影部分,當(dāng)z＝3x＋y過A(1,1)時有最大值，z＝4.解題要點求z＝ax＋by(ab≠0)的最值方法將函數(shù)z＝ax＋by轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)，通過求直線的截距eq\f(z,b)的最值間接求出z的最值．(1)當(dāng)b>0時，截距eq\f(z,b)取最大值時，z也取最大值；截距eq\f(z,b)取最小值時，z也取最小值；(2)當(dāng)b<0時，截距eq\f(z,b)取最大值時，z取最小值；截距eq\f(z,b)取最小值時，z取最大值．準(zhǔn)確做出可行域，是解決此類問題的關(guān)鍵.題型三利用線性規(guī)劃求解非線性問題最值例3變量x，y滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3≤0，,3x＋5y－25≤0，,x≥1.))(1)設(shè)z＝eq\f(y,x)，求z的最小值；(2)設(shè)z＝x2＋y2，求z的取值范圍．解析由約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3≤0，,3x＋5y－25≤0，,x≥1，))作出(x，y)的可行域如圖陰影部分所示．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,3x＋5y－25＝0，))解得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(22,5))).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,x－4y＋3＝0，))解得C(1，1)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3＝0，,3x＋5y－25＝0，))解得B(5，2)．(1)∵z＝eq\f(y,x)＝eq\f(y－0,x－0)，∴z的值即是可行域中的點與原點O連線的斜率．觀察圖形可知zmin＝kOB＝eq\f(2,5).(2)z＝x2＋y2的幾何意義是可行域上的點到原點O的距離的平方．結(jié)合圖形可知，可行域上的點到原點的距離中，dmin＝|OC|＝eq\r(2)，dmax＝|OB|＝eq\r(29).∴2≤z≤29.變式訓(xùn)練若實數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤x≤1，,y≥－x＋1，,y≤x＋1，))則eq\f(y＋1,x)的取值范圍是________．答案[1，5]解析由題可知eq\f(y＋1,x)＝eq\f(y－（－1）,x－0)，即為求不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)的點與(0，－1)的連線斜率k的取值范圍，由圖可知k∈[1，5]．解題要點解決此類問題，關(guān)鍵是弄清楚目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，然后利用數(shù)形結(jié)合思想求解。常見的目標(biāo)函數(shù)及其幾何意義如下：(1)斜率型：eq\f(y,x)表示點(x，y)與原點(0，0)連線的斜率值；eq\f(y－b,x－a)表示點(x，y)與點(a，b)連線的斜率值．(2)距離型：eq\r(x2＋y2)表示點(x，y)與原點(0，0)的距離；eq\r(（x－a）2＋（y－b）2)表示點(x，y)與點(a，b)的距離；題型四利用線性規(guī)劃求解實際問題例4(2013·湖北高考)某旅行社租用A，B兩種型號的客車安排900名客人旅行，A，B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，租金分別為1600元/輛和2400元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過21輛，且B型車不多于A型車7輛，則租金最少為____________．答案36800元解析設(shè)租用A型車x輛，B型車y輛，則約束條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(36x＋60y≥900，,y－x≤7，,y＋x≤21，,x，y∈N，)),目標(biāo)函數(shù)為z＝1600x＋2400y，作出可行域，如圖中陰影部分所示，由圖可知目標(biāo)函數(shù)過點(5,12)時，有最小值zmin＝36800(元)．解題要點利用線性規(guī)劃求解應(yīng)用題時，應(yīng)仔細審題，可借助表格來分析數(shù)據(jù)間聯(lián)系，從而正確列出約束條件。解題時還應(yīng)注意所求解是否為整數(shù)解。對于整點問題，通常是在可行解附近尋求距直線最近的整點，或者用調(diào)整優(yōu)值法尋求最優(yōu)解。當(dāng)堂練習(xí)1．（2015安徽文）已知x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y－4≤0，,y≥1，))則z＝－2x＋y的最大值是____________．答案－1解析約束條件下的可行域如圖所示，由z＝－2x＋y可知y＝2x＋z，當(dāng)直線y＝2x＋z過點A(1,1)時，截距最大，此時z最大為－1.2．（2015廣東理）若變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋5y≥8，,1≤x≤3，,0≤y≤2，))則z＝3x＋2y的最小值為____________．答案eq\f(23,5)解析不等式組所表示的可行域如下圖所示，由z＝3x＋2y得y＝－eq\f(3,2)x＋eq\f(z,2)，依題當(dāng)目標(biāo)函數(shù)直線l：y＝－eq\f(3,2)x＋eq\f(z,2)經(jīng)過Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(4,5)))時，z取得最小值即zmin＝3×1＋2×eq\f(4,5)＝eq\f(23,5).3.(2015湖北文)設(shè)變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤4，,x－y≤2，,3x－y≥0，))則3x＋y的最大值為________．答案10解析作出約束條件表示的可行域如圖所示：易知可行域邊界三角形的三個頂點坐標(biāo)分別是(3,1)，(1,3)，(－1，－3)，將三個點的坐標(biāo)依次代入3x＋y，求得的值分別為10,6，－6，比較可得3x＋y的最大值為10.4．（2015天津文）設(shè)變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2≤0，,x－2y≤0，,x＋2y－8≤0，))則目標(biāo)函數(shù)z＝3x＋y的最大值為____________．答案9解析作出約束條件對應(yīng)的可行域，如圖中陰影部分，作直線l：3x＋y＝0，平移直線l可知，經(jīng)過點A時，z＝3x＋y取得最大值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＝0，,x＋2y－8＝0，))得A(2,3)，故zmax＝3×2＋3＝9.5．（2015新課標(biāo)Ⅰ理）若x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,x－y≤0，,x＋y－4≤0，))則eq\f(y,x)的最大值為________．答案3解析由約束條件可畫出可行域，利用eq\f(y,x)的幾何意義求解．畫出可行域如圖陰影所示，∵eq\f(y,x)表示過點(x，y)與原點(0,0)的直線的斜率，∴點(x，y)在點A處時eq\f(y,x)最大．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,x＋y－4＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3.))∴A(1,3)．∴eq\f(y,x)的最大值為3.課后作業(yè)填空題1．（2015福建理）若變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≥0，,x－y≤0，,x－2y＋2≥0，))則z＝2x－y的最小值等于____________．答案－eq\f(5,2)解析如圖，可行域為陰影部分，線性目標(biāo)函數(shù)z＝2x－y可化為y＝2x－z，由圖形可知當(dāng)y＝2x－z過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))時z最小，zmin＝2×(－1)－eq\f(1,2)＝－eq\f(5,2).2．（2015新課標(biāo)II文）若x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－5≤0，,2x－y－1≥0，,x－2y＋1≤0，))則z＝2x＋y的最大值為________．答案8解析畫出約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－5≤0，,2x－y－1≥0，,x－2y＋1≤0))表示的可行域，為如圖所示的陰影三角形ABC.作直線l0：2x＋y＝0，平移l0到過點A的直線l時，可使直線z＝x＋y在y軸上的截距最大，即z最大，解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－5＝0，,x－2y＋1＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2))即A(3,2)，故z最大＝2×3＋2＝8.3．（2015陜西文）某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料，已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示，如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為____________．甲乙原料限額A(噸)3212B(噸)128答案18萬元解析設(shè)甲、乙的產(chǎn)量分別為x噸，y噸，由已知可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋2y≤12，,x＋2y≤8，,x≥0，,y≥0，))目標(biāo)函數(shù)z＝3x＋4y，線性約束條件表示的可行域如圖陰影部分所示：可得目標(biāo)函數(shù)在點A處取到最大值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝8，,3x＋2y＝12，))得A(2,3)．則zmax＝3×2＋4×3＝18(萬元)．4．（2015山東理）已知x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y≤2，,y≥0，))若z＝ax＋y的最大值為4，則a＝____________．答案2解析不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示．易知A(2,0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,x＋y＝2，))得B(1,1)．由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.∴當(dāng)a＝－2或a＝－3時，z＝ax＋y在O(0,0)處取得最大值，最大值為zmax＝0，當(dāng)a＝2或3時，z＝ax＋y在A(2,0)處取得最大值，∴2a＝4，∴a＝2.5．（2015廣東文）若變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤2，,x＋y≥0，,x≤4，))則z＝2x＋3y的最大值為____________．答案5解析如圖，過點(4，－1)時，z有最大值zmax＝2×4－3＝5.6．（2015湖南文）若變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥1，,y－x≤1，,x≤1，))則z＝2x－y的最小值為___________．答案－1解析作出eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥1，,y－x≤1，,x≤1))表示的平面區(qū)域如圖：平移直線y＝2x－z知，過點M(0,1)時，z最?。剑?.7．（2015天津理）設(shè)變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2≥0，,x－y＋3≥0，,2x＋y－3≤0，))則目標(biāo)函數(shù)z＝x＋6y的最大值為____________．答案18解析畫出約束條件的可行域如圖陰影，作直線l：x＋6y＝0，平移直線l可知，直線l過點A時，目標(biāo)函數(shù)z＝x＋6y取得最大值，易得A(0,3)，所以zmax＝0＋6×3＝18.8．（2015福建文）變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥0，,x－2y＋2≥0，,mx－y≤0.))若z＝2x－y的最大值為2，則實數(shù)m等于____________．答案1解析當(dāng)m＝－2時，可行域如圖(1)，直線y＝2x－z的截距可以無限小，z不存在最大值.當(dāng)m＝－1時，mx－y≤0等同于x＋y≥0，可行域如圖(2)，直線y＝2x－z的截距可以無限小，z不存在最大值.當(dāng)m＝1時可行域如圖(3)，當(dāng)直線y＝2x－z過點A(2,2)時截距最小，z最大為2.當(dāng)m＝2時，可行域如圖(4)，直線y＝2x－z與直線OB平行，截距最小值為0，z最大為0.9．（2015新課標(biāo)II理）若x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x－2y≤0，,x＋2y－2≤0，))則z＝x＋y的最大值為____________．答案eq\f(3,2)解析畫出約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x－2y≤0，,x＋2y－2≤0))表示的可行域為如圖所示的陰影三角形ABC.作直線l0：x＋y＝0，平移l0到過點A的直線l時，可使直線y＝－x＋z在y軸上的截距最大，即z最大，解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＝0，,x＋2y－2＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝\f(1,2)，))即Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，故z最大＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2).10．設(shè)變量x，y滿足約束條件：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥3，,x－y≥－1，,2x－y≤3，))則目標(biāo)函數(shù)z＝eq\f(y＋1,x)的最小值為__________．答案1解析不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中的△ABC，目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點與點P(0，－1)連線的斜率，顯然圖中AP的斜率最小．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,2x－y＝3，))解得點A的坐標(biāo)為(2,1)，故目標(biāo)函數(shù)z＝eq\f(y＋1,x)的最小值為eq\f(1＋1,2)＝1.11．已知x和y是實數(shù)，且滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤10，,x－y≤2，,2x≥7，))則z＝2x＋3y的最小值是________．答案eq\f(23,2)解析做出不等式對應(yīng)的可行域如圖所示，由z＝2x＋3y得y＝－eq\f(2,3)x＋eq\f(z,3)，做直線y＝－eq\f(2,3)x，平移直線y＝－eq\f(2,3)x，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過C點時，直線y＝－eq\f(2,3)x＋eq\f(z,3)的