1.2.1幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

1.2.2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(一)2.掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用.1.幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

【做一做1】

對(duì)于函數(shù)y=x2,其導(dǎo)數(shù)值等于原函數(shù)值的點(diǎn)是

.

解析:y'=2x,令2x=x2,解得x=0或x=2,所以滿足條件的點(diǎn)是(0,0),(2,4).答案:(0,0),(2,4)2.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

【做一做2】

(1)若f(x)=x5,則f‘(x)=

;

(4)若f(x)=lnx,則f'(3)=

.

1.如何理解常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的意義?剖析設(shè)f(x)=c,則f'(x)=0的幾何意義為函數(shù)f(x)=c的圖象上每一點(diǎn)處的切線的斜率都為0,其物理意義為若f(x)=c表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù),則f'(x)=0可以解釋為某物體的瞬時(shí)速度始終為0,即一直處于靜止?fàn)顟B(tài).2.如何分類(lèi)理解和記憶基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式?剖析基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可分為四類(lèi):第一類(lèi)為冪函數(shù),y'=(xα)'=αxα-1(注意冪指數(shù)α可推廣到全體實(shí)數(shù));第二類(lèi)為三角函數(shù),可記為正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為余弦函數(shù),余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為正弦函數(shù)的相反數(shù);第三類(lèi)為指數(shù)函數(shù),y'=(ax)'=axln

a,當(dāng)a=e時(shí),y=ex的導(dǎo)應(yīng)區(qū)分公式的結(jié)構(gòu)特征,找出它們的差異,熟練記憶公式.

題型一題型二題型三用求導(dǎo)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【例1】

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):分析:解答本題可先將解析式調(diào)整為基本初等函數(shù)的形式,再利用公式求導(dǎo).解:(1)y'=10'=0.(2)y'=(x10)'=10x10-1=10x9.題型一題型二題型三反思求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)有兩種基本方法:(1)利用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo),但運(yùn)算比較復(fù)雜;(2)利用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo),可以簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程、降低運(yùn)算難度.在解題時(shí),應(yīng)先根據(jù)所給問(wèn)題的特征,將題中的函數(shù)化為基本初等函數(shù),再選擇合適的求導(dǎo)公式求解.題型一題型二題型三【變式訓(xùn)練1】

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y=x-5;(2)y=4x;解:(1)y'=-5x-6.(2)y'=4xln

4.題型一題型二題型三求導(dǎo)公式的應(yīng)用【例2】

(1)已知f(x)=x3,g(x)=ex,則f'[g'(-1)]=

;

解析:(1)因?yàn)閒(x)=x3,g(x)=ex,所以f'(x)=3x2,g'(x)=ex,所以f'(x)=-sin

x.設(shè)P(x0,y0)是函數(shù)f(x)的圖象上任意一點(diǎn),則點(diǎn)P處的切線的斜率k=f'(x0)=-sin

x0∈[-1,1].設(shè)切線的傾斜角為θ,則-1≤tan

θ≤1,題型一題型二題型三反思求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),需要先對(duì)原函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),再將變量值代入導(dǎo)函數(shù)求解.題型一題型二題型三【變式訓(xùn)練2】

過(guò)原點(diǎn)作曲線y=ex的切線,求切點(diǎn)的坐標(biāo)及切線的斜率.題型一題型二題型三導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【例3】

已知直線x-2y-4=0與拋物線y2=x相交于A,B兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),試在x軸上方拋物線弧OA上求一點(diǎn)P,使△ABP的面積最大.分析:解答本題的關(guān)鍵是在x軸上方拋物線弧OA上尋求到直線x-2y-4=0的距離最大的點(diǎn)P,可考慮用切線或直接用點(diǎn)到直線的距離公式求解.題型一題型二題型三解:(方法一)因?yàn)閨AB|為定值,所以要使△ABP的面積最大,只要點(diǎn)P到直線AB的距離最大,即只要點(diǎn)P是拋物線弧OA上平行于AB的切線的切點(diǎn)即可.由y2=x(y>0),得y0=1,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1).題型一題型二題型三所以當(dāng)y0=1時(shí),d最大,此時(shí)△ABP的面積最大,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1).反思利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以解決一些與距離、面積相關(guān)的最值問(wèn)題.解題的關(guān)鍵是正確確定所求切線的位置,進(jìn)而求出切點(diǎn)坐標(biāo).另外也可利用函數(shù)求最值的方法確定點(diǎn)P的坐標(biāo).題型一題型二題型三【變式訓(xùn)練3】

設(shè)點(diǎn)P是曲線y=ex上