PAGE42PAGE43第九講第九講平面幾何技巧（二）名人名言希爾伯特名人名言希爾伯特我們必須知道，我們必將知道．這是年希爾伯特（D·Hilbert,1862~1943,德國數(shù)學(xué)家）在科尼斯堡講演的最后一句話，題為《認(rèn)識自然和邏輯》．無論從哪個角度看，這都是偉大而有決定意義的詩句，表達(dá)了數(shù)學(xué)家探索數(shù)學(xué)的決心和信心．正如年庫朗（R.Courant,1988~1972,德國數(shù)學(xué)家）在紀(jì)念希爾伯特誕生周年大會上發(fā)表的演講“我確信，希爾伯特那具有感染力的樂觀主義，即使到今天也在數(shù)學(xué)中保持著它的生命力．唯有希爾伯特精神，才會引導(dǎo)數(shù)學(xué)繼往開來，不斷成功．”此外年巴黎國際數(shù)學(xué)家代表大會上，希爾伯特發(fā)表了題為《數(shù)學(xué)問題》的演講．他根據(jù)過去特別是十九世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的成果和發(fā)展趨勢，提出了個最重要的數(shù)學(xué)問題．這個問題被稱為“希爾伯特問題”，稱為許多數(shù)學(xué)家力圖攻克的難關(guān)，對現(xiàn)代數(shù)學(xué)的研究和發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響并積極地推動作用．希爾伯特是一位正直的數(shù)學(xué)家，第一次世界大戰(zhàn)前夕，他拒絕在德國政府為進(jìn)行欺騙宣傳而發(fā)表的《告文明世界書》上簽字．戰(zhàn)爭期間，他敢于公開發(fā)表文章悼念“敵人的數(shù)學(xué)家”達(dá)布（Darboux，1842~1917，法國數(shù)學(xué)家）．希特勒上臺后，他抵制并上書反對納粹政府排斥和迫害猶太科學(xué)家的政策．由于納粹政府的反動政策日益加劇，許多科學(xué)家被迫移居外國，曾經(jīng)盛極一時的哥廷根學(xué)派衰落了，希爾伯特也于年在孤獨(dú)中逝世．然而，希爾伯特的精神卻在歷史深處發(fā)出永遠(yuǎn)的回響，那就是他在科尼斯堡演說的最后一句話：我們必須知道，我們必將知道．知識點(diǎn)撥知識點(diǎn)撥直線共點(diǎn)也是平面幾何中的典型問題，也常從角、線、形、有關(guān)結(jié)論等幾個方面去考慮．1．先設(shè)其中的兩條直線交于某點(diǎn)，再證這個交點(diǎn)在第三、第四……條直線上；2．欲證直線共點(diǎn)，先在上取一特殊點(diǎn)，再證其余直線都過此點(diǎn)；3．設(shè)法證兩兩相交直線的交點(diǎn)重合；4．運(yùn)用三角形的巧合點(diǎn)（三角形的五心）證直線共點(diǎn)；5．注意到特殊圖形或多邊形的中心的性質(zhì)，證直線共點(diǎn)于圖形中的特殊點(diǎn)；6．運(yùn)用旋轉(zhuǎn)、對稱等變換的保結(jié)合性證明直線共點(diǎn)；7．運(yùn)用賽瓦定理之逆定理證直線共點(diǎn)；8．運(yùn)用反證法等證明直線共點(diǎn)．例題精講例題精講設(shè)是內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于，，的內(nèi)平分角線的對稱點(diǎn)分別為，，．證明：，，相交于一點(diǎn)．如圖，設(shè)平面上兩不相等的圓和圓相交于，兩點(diǎn)，又設(shè)兩外公切線分別切圓于，，切圓于，．而，分別為，的中點(diǎn)，分別延長，交圓于，，分別延長，交圓于，．求證：，，三線共點(diǎn)．如圖，已知等圓與圓交于，，為中點(diǎn)，過引圓的弦交圓于，過引圓的弦交圓于．求證：，，三線交于一點(diǎn)．如圖，設(shè)為銳角三角形，為自向邊所引高的垂足，以為直徑的圓，分別交邊，于，（且與不同），過作直線垂直于．類似地作出直線與．證明：，，共點(diǎn)．如圖，四邊形內(nèi)接于圓，對角線與相交于，設(shè)，，與的外心分別是，，，．求證：，，三直線共點(diǎn)．已知的重心為，證明分別關(guān)于的角平分線對稱的三條直線交于一點(diǎn)．在凸六邊形中，對角線中的每一條都將六邊形分成面積相等的兩部分，求證：這三條對角線交于一點(diǎn)．大顯身手大顯身手如圖，圓內(nèi)切于，，，分別為，，邊上的切點(diǎn)．，，分別交圓于，，．求證：，，共點(diǎn)．如圖，一圓交的邊分別于與，與，與，如果由點(diǎn)分別引的垂線相交于一點(diǎn)，則過點(diǎn)的垂線也相交于一