PAGEPAGE1數(shù)學(xué)破題36計(jì)第2計(jì)西瓜開門滾到成功數(shù)學(xué)破題36計(jì)●計(jì)名釋義比起“芝麻”來，“西瓜”則不是一個(gè)“點(diǎn)”，而一個(gè)球.因?yàn)樗軌颉皾L”，所以靠“滾到成功”.球能不斷地變換碰撞面，在滾動(dòng)中能選出有效的“觸面”.數(shù)學(xué)命題是二維的.一是知識(shí)內(nèi)容，二是思想方法.基本的數(shù)學(xué)思想并不多，只有五種：①函數(shù)方程思想，②數(shù)形結(jié)合思想，③劃分討論思想，④等價(jià)交換思想，⑤特殊一般思想.數(shù)學(xué)破題，不妨將這五種思想“滾動(dòng)”一遍，總有一種思想方法能與題目對(duì)上號(hào).●典例示范［題1］（2006年贛卷第5題）對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f（x），若滿足（x－1）f（x）0，則必有A.f（0）＋f（2）<2f（1）B.f（0）＋f（2）≤2C.f（0）＋f（2）≥2f（1）D.f（0）＋f（2）2［分析］用五種數(shù)學(xué)思想進(jìn)行“滾動(dòng)”，最容易找到感覺應(yīng)是③：分類討論思想.這點(diǎn)在已條件（x-1）f＇(x)≥0中暗示得極為顯目.其一，對(duì)f＇(x)有大于、等于和小于0三種情況；其二，對(duì)x-1，也有大于、等于、小于0三種情況.因此，本題破門，首先想到的是劃分討論.［解一］（i）若f＇(x)≡0時(shí)，則f(x)為常數(shù)：此時(shí)選項(xiàng)B、C符合條件.（ii）若f＇(x)不恒為0時(shí).則f＇(x)≥0時(shí)有x≥1，f（x）在上為增函數(shù)；f＇(x)≤0時(shí)x≤1.即f（x）在上為減函數(shù).此時(shí)，選項(xiàng)C、D符合條件.綜合（i），（ii），本題的正確答案為C.［插語］考場(chǎng)上多見的錯(cuò)誤是選D.忽略了f＇(x)≡0的可能.以為（x-1）f＇(x)≥0中等號(hào)成立的條件只是x-1=0，其實(shí)x-1=0與f＇(x)=0的意義是不同的：前者只涉x的一個(gè)值，即x=1，而后是對(duì)x的所有可取值，有f＇(x)≡0.［再析］本題f（x）是種抽象函數(shù)，或者說是滿足本題條件的一類函數(shù)的集合.而選擇支中，又是一些具體的函數(shù)值f（0），f（1），f（2）.因此容易使人聯(lián)想到數(shù)學(xué)⑤：一般特殊思想.［解二］（i）若f＇(x)=0，可設(shè)f（x）=１.選項(xiàng)Ｂ、Ｃ符合條件.（ii）f＇(x)≠0.可設(shè)f(x)=（x-1）2又f＇(x)=2（x-1）.滿足(x-1)f＇(x)=2(x-1)2≥0，而對(duì)f(x)=(x-1)2.有f（0）=f（2）=1，f（1）=0選項(xiàng)C，D符合條件.綜合（i），（ii）答案為C.［插語］在這類f(x)的函數(shù)中，我們找到了簡(jiǎn)單的特殊函數(shù)(x-1)2.如果在同類中找到了(x-1)4，(x-1)，自然要麻煩些.由此看到，特殊化就是簡(jiǎn)單化.［再析］本題以函數(shù)（及導(dǎo)數(shù)）為載體.數(shù)學(xué)思想①——“函數(shù)方程（不等式）思想”.貫穿始終，如由f（x）=0找最值點(diǎn)x=0，由f（x）>0（<0）找單調(diào)區(qū)間，最后的問題是函數(shù)比大小的問題.由于函數(shù)與圖象相聯(lián)，因此數(shù)形結(jié)合思想也容易想到.［解三］（i）若f(0)=f(1)=f(2)，即選B，C，則常數(shù)f(x)=1符合條件.（右圖水平直線）（ii）若f(0)=f(2)<f(1)對(duì)應(yīng)選項(xiàng)A.（右圖上拱曲線），但不滿足條件(x-1)f（x）≥0若f(0)=f(2)>f(1)對(duì)應(yīng)選項(xiàng)C，D（右圖下拱曲線）.則滿足條件(x-1)f（x）≥0.［探索］本題涉及的抽象函數(shù)f(x)，沒有給出解析式，只給出了它的一個(gè)性質(zhì)：(x-1)f（x）≥0，并由此可以判定f(0)+f(2)≥f(1).自然，有這種性質(zhì)的具體函數(shù)是很多的，我們希望再找到一些這樣的函數(shù).［變題］以下函數(shù)f(x)，具有性質(zhì)(x-1)f（x）≥0從而有f(0)+f(2)≥2fA.f（x）=(x-1)3B.f（x）=(x-1)C.f（x）=(x-1)D.f（x）=(x-1)［解析］對(duì)A，f(0)=-1，f(2)=1，f(1)=0，不符合要求；對(duì)B，f(0)無意義；對(duì)C，f(0)=-1，f(2)=1，f(1)=0，不符合要求；答案只能是D.對(duì)D，f(0)=1，f(1)=0，f(2)=1.且f（x）=(x-1)使得(x-1)f＇(x)=(x-1)(x-1)≥0.［說明］以x=1為對(duì)稱軸、開口向上的函數(shù)都屬這類抽象函數(shù).如f（x）=(x-1)，其中m，n都是正整數(shù)，且n≥m.［點(diǎn)評(píng)］解決抽象函數(shù)的辦法，切忌“一般解決”，只須按給定的具體性質(zhì)“就事論事”，抽象函數(shù)具體化，這是“一般特殊思想”在解題中具體應(yīng)用.［題2］已知實(shí)數(shù)x，y滿足等式，試求分式的最值。［分析］“最值”涉及函數(shù)，“等式”連接方程，函數(shù)方程思想最易想到.［解一］（函數(shù)方程思想運(yùn)用）令y=k(x-5)與方程聯(lián)立消y，得：根據(jù)x的范圍應(yīng)用根的分布得不等式組：解得即≤≤即所求的最小值為，最大值為.［插語］解出≤≤，談何易！十人九錯(cuò)，早就應(yīng)該“滾開”，用別的思想方法試試.［解二］（數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用）由得橢圓方程，0看成是過橢圓上的點(diǎn)（x，y），(5，0)的直0線斜率（圖右）.聯(lián)立得令得，故的最小值為，最大值為.［插語］這就是“滾動(dòng)”的好處，解二比解一容易多了.因此，滾動(dòng)開門，不僅要善于“滾到”，還要善于“滾開”.［點(diǎn)評(píng)］“西瓜開門”把運(yùn)動(dòng)學(xué)帶進(jìn)了考場(chǎng)解題.滾動(dòng)能克服解題的思維定勢(shì).解題時(shí)，要打破思維固化，在思想方法上要“滾動(dòng)”，在知識(shí)鏈接上要“滾動(dòng)”，在基本技能技巧上也要“滾動(dòng)”.總之，面對(duì)考題，在看法、想法和辦法上要注意“滾動(dòng)”.●對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1.若動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，且lgy，lg|x|，lg成等差數(shù)列，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡應(yīng)為圖中的()2.函數(shù)y=1-(-1≤x<0)的反函數(shù)是()A.y=-(0<x≤1)B.y=(0<x≤1)C.y=-(-1≤x<0)D.y=(-1≤x<0)3.設(shè)a,b,c∈R,且4a-4b+c>0,a+2b+c<0,則下列結(jié)論中正確的是()A.b2≤acB.b2>acC.b2>ac且a>0D.b2>ac且a<0●參考答案1.【思考】利用題設(shè)的隱含條件.由條件知x≠0,y>0且y>x.選項(xiàng)B中無x<0的圖像，選項(xiàng)D中無x>0的圖像，均應(yīng)否定；當(dāng)x=y∈R+時(shí)，lg無意義，否定A,選C．【點(diǎn)評(píng)】上面的解法中條件與選項(xiàng)一并使用，滾滾碰碰中終于找到了正確的選項(xiàng).本題的常規(guī)解法是：當(dāng)x≠0且y>x時(shí)，由lgy+lg=2lg|x|，化簡(jiǎn)可得(x+y)(2x-y)=0.∴y=-x或y=2x(x≠0,y>0).2.【思考】分析各選項(xiàng)，僅解析式符號(hào)有區(qū)別.定義域中等號(hào)的位置有區(qū)別，所以擬從這兩方面滾動(dòng)著手排除錯(cuò)誤的選項(xiàng).原函數(shù)定義域?yàn)?1≤x<0，∴其反函數(shù)值域?yàn)?1≤y<0，排除B、D.∵原函數(shù)中f(-1)=1,∴反函數(shù)中f-1(1)=-1,即x=1時(shí)f-1(x)有定義,排除C,∴選A．3.解析一分析四個(gè)選擇支之間的邏輯關(guān)系知,若C真,則B也真;若D真,則B也真,故C、D皆假.取符合條件4a-4b+c>0,a+2b+c<0的實(shí)數(shù)a=0,b=-1,c=0檢驗(yàn)知選B.解析二由選擇支,聯(lián)想到二次函數(shù)的判別式.令f(x)=ax2+2bx+c,則f(-2)=4a-4b+c>0,f(1)=a+2b+c<0,故Δ=4b2-4ac>0,即b2>ac,故選B.【點(diǎn)評(píng)】在