高等數(shù)學B(二)上海大學理學院數(shù)學系

岳洪

本學期內容第五章定積分第六章定積分的應用第七章微分方程第五章定積分§1.定積分概念與性質一.幾個實例1.曲邊梯形的面積由三條直角邊，一條曲邊圍成的形如的幾何形稱為曲邊梯形。的幾何形稱為曲邊三角形，也歸于曲邊梯形的范疇。形如為什么要研究曲邊梯形？求任何曲線圍成的幾何形的面積，都可歸結為求假設干個曲邊梯形的面積的和。AA1A2An現(xiàn)把問題歸結如下：設曲邊梯形由連續(xù)曲線y=f(x)

(設f(x)≧0),y=0,x=a,x=b(a<b)

圍成，求其面積A。yx0abAy=f(x)根本思想方法主要矛盾——底邊上高f(x)在連續(xù)變化yx0aby=f(x)步驟：(1)分割在[a,b]內任意插入n–1個分點:把[a,b]分成n個小區(qū)間[x0,x1],…,[xn-1,xn]每個小區(qū)間的長度以這些小區(qū)間為底邊的小曲邊梯形的面積記為x1.xi-1.xi.xn-1.x2.yx0abx1xi-1xixn-1y=f(x)(2)取近似在每個小區(qū)間中任取一點.ξi小矩形的高，那么(3)作和yx0abx1xi-1xixn-1y=f(x).ξi當對[a,b]無限細分，也即每個小區(qū)間長度都趨于零時，這些小曲邊梯形面積的近似和的極限值就是曲邊梯形面積的精確值。能否使？ 只要當最大的小區(qū)間長度趨于零，就能保證所有的小區(qū)間長度趨于零。(4)求極限A即為所求曲邊梯形面積2.變速直線運動的路程：質點作變速直線運動。速度v=v(t)是時間間隔[T1,T2]上的一個連續(xù)函數(shù),且v(t)≥0.求：在[T1,T2]內質點所經過的路程S。

因為速度v(t)是在[T1,T2]上連續(xù)變化，那么在很小的一段時間間隔中變化不大，可看成是常速運動。可用分析:S=v·t

計算在小的時間段內質點所經過的路程。步驟：(1)分割將[T1,T2]用分點任意分成幾個小區(qū)間其長度(i=1,2,…,n)。那么在各段時間內質點所經過的路程依次為:(2)取近似任取一點〔時刻〕(3)作和(4)求極限即為所求路程。上述三問題雖然意義不同，但都有共性?！?〕都有一個在某一區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)。〔2〕所研究的量在這一區(qū)間上具有可加性:〔3〕在每一小區(qū)間上都可確定相應的局部量的近似值。(1)化整為零，求出局部近似值(2)積零為整,求出和式的極限,得精確值Q。由此找到了研究這些問題的相同方法：它們研究的對象有三個共同的特點：即：區(qū)間被分割為n個小區(qū)間時，所研究的量也被相應地分割為n個局部量。且總量等于局部量之和。二.定積分的定義1.

定義：設函數(shù)f(x)在[a,b]上有界，〔1〕在[a,b]中任意插入n-1個分點：把[a,b]分成n個小區(qū)間各個小區(qū)間長度為（2）在每個小區(qū)間[]上任取一點〔3〕作和式〔4〕如果不管對[a,b]怎樣分法，對ξi怎樣取法，只要當時S的極限存在且等于I,那么稱此極限值I為f(x)在[a,b]上的定積分(簡稱積分).記作其中：a

——積分下限b——積分上限[a,b]——積分區(qū)間x——積分變量——f(x)的積分和f(x)

——被積函數(shù)f(x)dx

——被積表達式由定積分的定義，實例中所求的量為：f(x)在[a,b]可積的兩個充分條件：①假設f(x)在[a,b]上連續(xù)，那么f(x)在[a,b]上可積。②假設f(x)在[a,b]上有界，且只有有限個間斷點，那么f(x)在[a,b]上可積。f(x)在[a,b]上可積的必要條件： 假設f(x)在[a,b]上可積,那么f(x)在[a,b]上必有界。反之不成立。2.幾何意義：當f(x)≥0時，表示由y=f(x),x=a,x=b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積。(≥0)yabx0當f(x)≤0時，(≤0)表示曲邊梯形的面積的負值。假設f(x)在[a,b]有正有負，表示由y=f(x),x=a,x=b及x軸所圍各曲邊梯形面積的代數(shù)和。++xyab0abyx0例.變以下和式的極限為定積分：x

dxyx11y=x三、定積分的性質

規(guī)定：〔1〕當a=b時，〔2〕a>b時，性質1.函數(shù)和的定積分等于定積分的和?！部赏茝V到有限個函數(shù)中去〕以下各性質中的積分均認為存在，且如不特別說明，上、下限大小不作限制。性質2.被積函數(shù)的常數(shù)因子可提到積分號外。kkk：常數(shù)性質3.cc〔積分區(qū)間具有可加性〕性質4.假設在[a,b]上,f(x)≡1,那么〔區(qū)間長度〕推論:不管a,b,c相對位置任何,上式總成立。性質5.假設在[a,b]上,f(x)≥0,那么推論1假設在[a,b]上,f(x)≤g(x),那么≤≥0，(a<b).推論2性質6.〔估值定理〕性質7.〔定積分中值定理〕 假設f(x)在[a,b]上連續(xù)，那么在[a,b]上至少存在一點ξ，使得下式成立：這一公式又稱為積分中值公式證：由性質6:∵f(x)在[a,b]上連續(xù)，說明數(shù)值介于最小值m∴由介值定理，至少存在一點和最大值M之間.實際上積分中值公式對任意有限值a,b都成立。定積分中值定理的幾何解釋：f(x)在[a,b]上連續(xù)，就有yxab0yxab0在[a,b]上總存在一點

ξ，使得曲邊梯形的面積等于同一底邊，高為

f(ξ)

的一個矩形的面積。例題討論例.根據(jù)定積分的性質，比較以下定積分的大?。航猓涸赱0,1]上，∴由性質5，(1)(2)解：令那么所以在[0,1]上，f(x)單調增加，當x>0時，有f(x)>f(0)=0例.估計的取值范圍。解：由性質6，所以在[0,2]上，f(x)的最大值為最小值為§2.微積分根本公式一、定積分與原函數(shù)的關系特例：設時刻

t

時質點的所在位置為

s(t),[T1,T2]所走過的路程速度

v(t)≥0,可知質點在時間間隔假設位置函數(shù)s=s(t),那么[T1,T2]上所走過的路程又可表為∴s(t)是v(t)的原函數(shù)。(2)被積函數(shù)中,x為積分變量。二、積分上限的函數(shù)及其導數(shù)設f(x)在[a,b]上連續(xù)，并設x

為[a,b]上一點，那么f(x)在[a,x]上連續(xù)，此時x

有二種意義：xabyx0(1)上限處的x為積分上限。為防混淆，改寫為：為定義在[a,b]上的函數(shù),稱為積分上限的函數(shù)。具有如下所述的重要性質：定理1.設

f(x)在[a,b]上連續(xù)，那么積分上限函數(shù)在[a,b]上可導，且(1)推廣：(1)(2)(3)總結例題討論例：解：例:0例：－例：f為可導函數(shù)，解：x+例：解：原式==12.解：例：三.牛頓－萊布尼茲公式牛頓(Newton)萊布尼茲(Leibniz)(1642—1727英)(1646—1716德)從瞬時—運動學角度從無窮小—幾何學角度定理3.〔N－L公式〕設F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在[a,b]上的任一個原函數(shù)，那么證：F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，也是f(x)的一個原函數(shù),所以二者僅相差一個常數(shù)C,令x=a,令x=b,例題討論計算以下定積分：(1－x)(x－