歷年中考數(shù)學易錯題匯編-圓的綜合練習題含答案解析一、圓綜合1．如圖，知扇形的徑為

，，B在弧MN上移動，聯(lián)結，作ODBM，足為點，為段上點，且，結BC并長交半徑OM點，設，COM的正切值為y.（）圖2，ABOM，求證：AM=AC；（）關于的數(shù)關系式，并寫出定義域；（）eq\o\ac(△,)為腰三角形時，求x的值【答案】證見析(2)

.(

2

);(3)

2

.【解析】分析：1）判斷出ABMDOM進而判斷eq\o\ac(△,)OAC，可得出結論；（）判斷出BDDM進而得出

DMME，進而得出AE（2判斷出BDAEOADMOEODOD

，即可得出結論；（）三種情利用勾股定理或判斷出不存在，即可得出結論．詳解：1）OD，OMODM．ABM+MDOMM，ABM=DOM．OAC=BAM，，，AC=AM．（）圖2，點D作DEAB，OM于點．OBOM，，BD=DM．DEAB，

DM，=EM=2，=（AEDEAB，

OADMOEODOD

，

DMOAOE2

．（0＜x2）

（）i）當OA時．

DM

1BMOCx2

．在eq\o\ac(△,)中，OD

2

DM

2

x

2

．

DMOD

122

14

2

．解得

2，或x2

（舍）．（）AC時則=．＞COBCOB=，＞AOC，此情況不存在．（）=CA時則COACAO=α．＞M，M﹣，α90°α，α＞，BOA＞BOA此情況不存在．即：eq\o\ac(△,)為腰三角形時x的為

2

．點睛：本題是圓的綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質，圓的有關性質，勾股定理，等腰三角形的性質，建立y關于x的數(shù)關系式是解答本題的關鍵．2．如圖，eq\o\ac(△,)ABC中＝，AB為徑，O交BC于點，CA的延長線于點．過點作，足為F．（）證：為的線；（）AB4＝，劣弧

的長．【答案】（）明見解析2

【解析】分析：1）接、，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，可ADB=90°，后根據(jù)等腰三角形的性質求出，再根據(jù)中線的性質求出，而根據(jù)切線的判定證

oVABCoVABC明即可；（）接，據(jù)三角形的外角求BAE的數(shù)，然后根據(jù)圓周角定理求BOE的度數(shù)，根據(jù)弧長公式求解即可詳解：1）接、．AB是直徑，＝．AB＝，＝CD，又＝，ODeq\o\ac(△,是)的中位線，AC，AC，DF即90°．為的線；（）接．AB＝，B＝，BAE＝，BOE2∠BAE，＝，

＝

＝π點睛：本題是圓的綜合題，考查了等腰三角形的性質和判定、切線的性質和判定、三角形的中位線、圓周角定理，靈活添加輔助線是解題關鍵．3．已知O的徑為5，AB的度為，點是AB所優(yōu)弧上的一動點．

如圖①，若

，C度數(shù)為_____；

如圖②，若

．①求

的正切值；②若V為腰三角形，求VABC積．【答案】

的正切值為

；②S或

.【解析】【分析】

連接，，斷出VAOB是邊三角形，即可得出結論；AD，用勾股定理求出BD，而求出tanADB，可得出結論；②分種情況，利用等腰三角形的性質和垂徑定理以及勾股定理可得出結論．【詳解】

如圖1，接，，OC

，QAB

，OBAB

，AOB

是等邊三角形，

o，ACB

AOBo，故答案為；

如圖2，接并延長交eO于，連接，Q為eO的徑，AD

，90o在

V

中，

ABm

，根據(jù)勾股定理得，

，

AB3ADB4

，QC

，

的正切值為

；

②Ⅰ、ACBC時，如圖3，連接CO并長交AB于，QAC

，

AO

，

為AB的垂直平分線，BE

，在

V

中，

OA

，根據(jù)勾股定理得，

，OEOC

，VABC

1AB272

；、

時，如圖4，連接OA交BC于FQAC，OC，

是BC的直平分線，過點作

OGAB

于，AOG，AG

，QAOBACB

，ACF

，在

AOG中

AG3AC5

，

，在

ACF中sinACF

，AF5

，

陰影陰影

，VABC

1AFBC255

；、

時，如圖5，由對稱性，VABC

．【點睛】圓的綜合題，主要圓的性質，圓周角定理，垂徑定理，等腰三角形的性質，三角形的面積公式，用分類討論的思想解決問題是解本題的關鍵．4．如圖，點是正方形ABCD內(nèi)的一點，連接PB，．eq\o\ac(△,)PAB點順針旋轉90°eq\o\ac(△,)P'CB的位置(1)設AB的為a，的長為，eq\o\ac(△,)PAB轉eq\o\ac(△,)的過程中邊所過區(qū)域中陰影部分面積；(2)若，PB=4，APB=135°，PC的.【答案】S=(a2)；【解析】試題分析：1）題意，eq\o\ac(△,)′CB逆時針旋轉90°可eq\o\ac(△,)PAB重合，此陰影部分面扇形BAC的積扇BPP'的積，根據(jù)旋轉的性質可知兩個扇形的中心角都是90°可據(jù)此求出陰影部分的面積．（）接PP'，據(jù)旋轉的性質可知：BP=BP'旋轉角，eq\o\ac(△,)PBP'等腰直角三角形，BPA=135°，推eq\o\ac(△,)是角三角形，進而可根據(jù)勾股定理求出的長．試題解析：1）eq\o\ac(△,)點順針旋轉90°eq\o\ac(△,)′CB的置，，

eq\o\ac(△,)

，

BAC′BAC′S=S-S=（-b2）（）接PP，據(jù)旋轉的性質可知eq\o\ac(△,)CP′BBP=BP，，PBP，是腰直角三角形，2=PB=32；又BP，BP′P=135°-45°=90°，eq\o\ac(△,)PP′C是角三角形．PC==6．考點：扇形面的計算；2.方形的性質；旋的性質．5．四邊形的角交于點，AE，＝，AD為直徑的半圓過點E，心為O．（）圖，求證：四邊形為形；（）圖，若BC的延長線與半圓相切于點F且直徑＝求弧的．【答案】（）解析；2）

π【解析】試題分析：1）判斷出四邊形是平行四邊形，再判斷出BD即可得出結論；（）判斷出AD=DC且DE，ADE=CDE，而得出CDA=30°，后用弧長公式即可得出結論．試題解析：證明：（）四形ABCD的角線交于點，且AE，ED，四形是行四邊形．以為直徑的半圓過點，AED=90°，有ACBD四形ABCD是菱形；（）（）知，四邊形是形ADC為腰角形AD=且DEAC，ADE=CDE．如圖，過點C作AD，足為G，連接FO．BF切于點，AD，

，易知，四邊形CGOF為形CG=3．

在eq\o\ac(△,)CDG中==6，ADC=

CG=，CDA=30°，ADE=15°CD連接OE，則ADE=30°，

AE2

．點睛：本題主要考查菱形的判定即矩形的判定與性質、切線的性質，熟練掌握其判定與性質并結合題意加以靈活運用是解題的關鍵．6．如圖，已知eq\o\ac(△,)ABC中，C=90°O在AC上以OC為半徑O，AB于D點，且BC=BD（）證：為O的切線；（）BC=6，

，求O的半徑；（）（）的條件下，點上為一動點，求BP的最大值與最小值【答案】（），明略；2）徑為3；3）大值35+3，5【解析】分析：1）接，，eq\o\ac(△,)ODB即可.（）sinA=

且BC=6可，且cosA=，然后求出的度即可5（）三角形三邊關系，可知當連接OBO于點E、，點P分別于點E、重時，BP分別取最小值和最大值詳解：1）圖：連接、

eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)中OD=OC,OB=OB,BC=BD;OCB）C=90°.AB為的線（）圖：sinA=

3，AB

,BC=6，AB=10,BD=BC=6,AD=AB-BD=4,sinA=

，cosA=，5OA=5OD=3，即O的半徑為：（）圖：連，O為E，由三角形的三邊關系可知：

當點與點重合時，取小值由（）知OD=3DB=6,OB=

3

2

5

.

.當點與F點重合時去大，35.點睛：本題屬于綜合類型題，主要考查了圓的綜合知.鍵是對三角函數(shù)值、勾股定理、全等三角形判定與性質的理解7．已知：如圖，在矩形ABCD中，點在角線BD上以OD的長為半徑O與，分交于點、F，且ABE=．（）斷直線BE與O的位置關系，并證明你的結論；（）sinABE=，，求O的半徑．【答案】（）線BEO相，證明見解析；（）O的半徑為．【解析】分析：1）接OE，根據(jù)矩形的性質，可BEO，可得出線BE與O相；（）接EF先根據(jù)已知條件得出BD的，再eq\o\ac(△,在)中，利用勾股定理推知BE的長，設出O的徑為r，用切線的性質，用勾股定理列出等式解之即可得出r的．詳解：1）線BE與O相．理由如下：連接OE，矩形中ADBC，=DBC．=OE，OEDODE又ABE=，ABEOED，矩，A，ABE+AEBOEDAEB=90°，BEO，直與O相；（）接EF方法1：四形ABCD是矩形，=2，=C，ABCD=2．

1122121211221212ABEDBC，sinCBD=ABE

，

BD

DCsin

，在eq\o\ac(△,)中，=2，BC2．CBDABE，

DCAE2BC

，由勾股定理求得BE

6．在eq\o\ac(△,)BEO中，，2+EB2．設O的徑為，r

2

6

3，r=

，方法2：DFO的徑DEF=90°．四形ABCD是矩形，AC，．ABEDBC，sinCBD=sin設DC，BD3，BC2x．CD=2，BC．

．CBDABE，E為中點．

DCAE2BC

，DF為直徑FED=90°，，

DF

，O的徑為．點睛：本題綜合考查了切線的性質、勾股定理以及三角函數(shù)的應用等知識點，具有較強的綜合性，有一定的難度．8．在平面直角坐標系xOy中點M的標為（，）點的標為x，），且x≠x，≠y，為邊構造菱形，若該菱形的兩條對角線分別平行于x軸軸則稱該菱形為邊“坐標菱形．（）知點A（，）B（023）則以AB為的坐菱的小內(nèi)角為；（）點C12），點D在直線y=5上以CD為邊的坐標菱”為方形，求直線CD表達式；

（）O的半徑為

，點P的坐標3m．若O上在點Q，使得以QP為邊的坐菱”為方形，求m的值范圍．【答案】（）；2y=x+1或y=﹣；3≤m≤5或﹣5≤m≤﹣【解析】分析：1）據(jù)定義建立以AB為的坐標菱形”，勾股定理求邊長=4，可得30度角，從而得最小內(nèi)角為；（）確定直與線=5的夾角是45°，得D4，）（2，）易得直線的表達式為：y=x+1或y﹣+3（）兩種情：①先直線=x，再作圓的兩條切線且平行于直線yx，如圖3，根據(jù)等腰直角三角形的性質分別求P，PB=5，寫出對應的坐標；②先直線﹣，作圓的兩條切線，且平行于直y﹣，如圖，同理可得結論．詳解：1）點A（，）（23）OA，3．eq\o\ac(△,)中由勾股定理得：22=4ABO．四形ABCD是菱形，ABC=2ABO=60°．CDDCB=180°，以AB為的坐菱”的最小內(nèi)角為60°．故答案為：；（）圖2．以為的坐菱”為正方形直與線=5的角是45°．過點C作CEDE于ED（，或（2，）直的表達式為=x+1或y=﹣+3；（）兩種情：①先直線=x，再作圓的兩條切線且平行于直線yx，如圖3．O的半徑為

2，OQD是腰直角三角形，OD2OQ，PD=3﹣．是等腰直角三角形P=1，P（，），同理可得：OA，AB=3+2=5．是腰直角三角形PB=5（，），當1≤m≤5時，以QP為的坐

標菱形為方形；②先直線﹣，作圓的兩條切線，且平行于直y﹣，如圖．O的半徑為，eq\o\ac(△,)D是等腰直角三角形OD

2OQ，BD﹣．P是等腰直角三角形PB=BD，P（，1）同理可得=2AB=3+2=5．是腰直角三角形PB=5（，），當﹣5≤m≤﹣時，以為邊的坐菱為正方形；綜上所述：的取值圍是1≤m≤5或5≤m﹣．點睛：本題是一次函數(shù)和圓的綜合題，考查了菱形的性質、正方形的性質、點P，“坐標菱形的義等知識，解題的關鍵是理解題意，學會利用圖象解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，注意一題多解，屬于中考創(chuàng)新題目．9．如圖所示，以eq\o\ac(△,)ABC的角邊AB為直徑作圓，斜邊交于點DE為BC邊的中點，連接．（）證：是O的切線；（）連接OE，，當為值時，四邊形AOED是平行四邊形？并在此條件下求CAE的．

【答案】見;

.【解析】分析：1）證DE是的線，必須證OD即EDB+ODB=90°（）證是行四邊形，則AB，為AC中點，又，所eq\o\ac(△,)ABC為等腰直角三角形，所以CAB=45°，由正弦的概念求解即可．詳解：1）明：連接、與、兩點，BDC是eq\o\ac(△,)，E為BC中，EDB=．（分）又且EBD+DBO=90°，EDB+ODB=90°．DE是O的切線．（）：，若要四邊形是行四邊形，則DEAB為中，又AC，ABC為腰直角三角形．．過作EH于，設，EH=

k，k，sin

AE

．點睛：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．10．題發(fā)現(xiàn)．

(1)如圖，eq\o\ac(△,)ABC中，C＝，＝，BC＝4，點D是邊上任意一點，則的最小值為．(2)如圖，形ABCD中，＝，＝，、點分別在BDBC上求CM+MN的最小值．(3)如圖，形ABCD中，＝，＝，E是AB邊一點，且AE＝，是BC邊上的任意一點，eq\o\ac(△,)BEF沿翻，點B的應點為，接AGCG，邊形AGCD的面積是否存在最小值，若存在，求這個最小值及此時的度．若不存在，請說明理由．CD;(2)CMMN的小值為【答案】【解析】試題分析：1）據(jù)兩種不同方法求面積公式求解；2）作

關于BD的稱點

C

，過C

作

的垂線，垂足為

，求

C

的長即可(3)連

，則四AGCD

VADC

V

，

GBABAE，點G的跡為以圓心，為徑一段?。^

的垂線，與交點

G

，垂足為

，由VAEMVACB

求得的，再由

四邊AGCDVACDV

求解即可試題解析：（1）從

到離最小即為過

作AB的線，垂足為D，

VABC

，

AB5

，（2）關的稱點的垂，垂足為N，與BD交M，

55則CMMN的小值為C，設CCBD交H，CHBD，

VBMCBCD

，且

，

BDC

，CC

，

CBCD

，

24CBD

，即CMMN的小值為

．（）接則

四AGCD

VADC

V

，GBABAE

，點的跡以E為圓心，為徑的一段?。^作

的垂線，與E交點

G

，垂足為M

，

VAEMVACB

，

EMAEBC

，

EM

AE2AC55

，

3GMEMEG

，四邊A

VACD

VACG

，

，

．【點睛】本題考查圓的綜合題、最短問題、勾股定理、面積法、兩點之間線段最短等知識，解題的關鍵是利用軸對稱解決最值問題，靈活運用兩點之間線段最短解決問題．11．圖O的直徑AB，為圓周上一點＝，過點C作O的切線l，過點作l的垂線BD，足為D，BD與O交點E．（）求AEC的數(shù)；（）證：四形OBEC是形．【答案】（）；2）詳見解.【解析】【分析】（）eq\o\ac(△,)是等邊三角形，＝60°，據(jù)圓周角定理得AEC＝30°；（）據(jù)切線性質得到，則有BD，再根直徑所對的圓周角為直角得到AEB＝，則EAB30°可證得，得到四邊形OBEC為行四邊形，再由OB＝，即可判斷四邊形OBEC是形．【詳解】（）：eq\o\ac(△,)中＝4＝4，AOC是邊三角形，＝60°＝；（）明OC，．OC．＝＝．AB為O的直徑，AEB＝，為角角形EAB30°．EAB＝．OB，EB四形OBEC平行四邊形．又OB＝4四形OBEC是菱形

????OCD【點睛】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于過切點的半徑．也考查了圓周角定理及其推論以及菱形的判定方法．12．圖，四邊形ABCD是O的接四邊形，AC為直徑，．（）斷直線ED與O的位置關系，并說明理由；（）CE，，陰影部分的積．

BD

，BC垂足為【答案】（）ED與eO相.理見解析；（）

=陰影

.【解析】【分析】（）結，如圖，根據(jù)圓周角定理，由

得到BAD，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質得DCE=BAD所ACDDCE；用內(nèi)錯角相等證明ODBC，而DEBC，則OD，于是根據(jù)切線的判定定理可得DE為O的線；（）OHBC于H，得四邊形ODEH為矩形，所以ODEH=2，CHHECE=1，是有=30°，得COD=60°，后根據(jù)扇形面積公式、等三角形的面積公式和陰影部分的面積SOCDSOCD進計算即可．【詳解】（）線與O相切．理由如下：連結OD，圖，，ACD．BADACDDCEOC，ODC而OCDDCE，DCEODC，ODBC．DEBC，ODDE，DE為O的線；（）OHBC于H，四邊形ODEH矩形OD=．，=4，OCOD=2，CHHE﹣﹣在eq\o\ac(△,)中OC，，OHC，HOCCOD=60°，陰部分的面積S6032?2π．

﹣

OCD

????????【點睛】本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了扇形面積的計算．13．圖，ABeO的直徑，切e于D，BFDF于F，點A作交的長線于點C.

AC/（）證：

ABC

；（）

的延長線交

eO

于

，BF

交

eO

于

G

，若

DG

的度數(shù)等于

，試簡要說明點和關直AB對的理由【答案】（）解析；2）解.【解析】【分析】（）輔助線連接，為O的線，可得OD，又DFBF，所以OD，C，得ABD=從而可ABC=C（）接OG，，，由BF，

GD

=60°，求證=AD

，由平行線的性質及三角形的內(nèi)角和定理可求OHD=90°，垂徑定理便可得出結論．【詳解】（）接，DFO的線，OD．BF，BF，ODBF．

GD?GD?GDBG，ABD=ODBABC=．（）接OG，，，，交AB于H，BFOD，OBG=，DOG，??

=

BG

．?

=60°，?=

=60°，ABC=C=E=30°OD//CEE=30°．eq\o\ac(△,在)ODH中ODE=30°，AOD=60°，OHD=90°，AB．點D和點關于直線對．【點睛】本題考查的是切線的性質、圓周角定理及垂徑定理，解答此題的關鍵是作出輔助線，利用數(shù)形結合解答．14．圖1，O的徑AB，是BC上一動點（與點B，不重合），=30°，過點P作PD交O于．

（）圖2，時求的；（）圖3，弧DC=弧AC時延長至E，使