22222222222222．作頻率分布直方的步驟求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最值的)．決定組距與組數(shù)．將數(shù)據(jù)分組．列頻率分布表．畫頻率分布直方圖．．頻率分布折線圖總體分布的密度曲線頻率分布折線圖：將頻率分布直方圖中各個相鄰的矩形的上底邊中點順次連結(jié)起來，就得到頻率分布折線圖．總體分布的密度曲線：將樣本容量取得足夠大，分組的組距取得夠小，那么相應(yīng)的頻率折線圖趨于一條光滑曲線，稱這條光滑曲線為總體分布的密度曲線．．莖葉圖統(tǒng)計中還有一種被用來表示數(shù)據(jù)的圖叫做莖葉圖，莖是指中間的一列數(shù)，葉是從莖的旁邊生長出來的數(shù)．．標準差和方差標準差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離．標準差：s＝

[x＋x12方差＝[(－)＋－)＋＋x－x)](是本數(shù)據(jù)是樣本容量，是1n本平均數(shù)．【知識拓展】

22222222．頻率分布直方圖特點頻率頻頻率分布直方圖中相鄰兩橫坐標之差表示組距，縱坐標表示，頻率＝組距×.組距組頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為，因為在頻率分布直方圖中組距是一個固定值，所以各小長方形高的比也就是頻率比．頻率分布表和頻率分布直方圖是一組數(shù)據(jù)頻率分布的兩種形式，者準確，后者直觀．．平均數(shù)、方差的式推廣若數(shù)據(jù)，x，，的均數(shù)為，那么＋，＋amx＋，…，mx＋的12n123n均數(shù)是mx＋數(shù)據(jù)，x，，x的差為1①數(shù)據(jù)x＋，x＋a，…，x＋的差也為s；1②數(shù)據(jù)ax，ax，…，ax的方差為12

s

【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正(在括號中打“√”或“×平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(√)一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以是一個或幾個，那么中位數(shù)也具有相同的結(jié)(×)從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，把數(shù)據(jù)表示成直方圖，原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了(√

)莖葉圖一般左側(cè)的葉按從大到小的順序?qū)?，右?cè)的葉按從小到大順序?qū)?，相同的?shù)據(jù)可以只記一次(×

)在頻率分布直方圖中，最高的小長方形底邊中點的橫坐標是眾數(shù)(√)在頻率分布直方圖中，眾數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相的(×

)(2015·陜改)某中學(xué)初中部共有教師高部共有150名教師其性別比例如圖所示，則該校女教師的人數(shù)為．答案解析由干扇形統(tǒng)計圖可得該女教師人數(shù)為×70%＋150－60%)＝137.若校一年級個參加合唱比賽的得分莖葉圖如圖所示，則這組數(shù)據(jù)

222222222222的中位數(shù)和平均數(shù)分別是．答案91.5和91.5解析∵組數(shù)據(jù)由小到大排列，中數(shù)為×＋92)＝91.5.平均數(shù)為×(87＋＋＋92＋94＝91.5.．“世界讀書日”前夕，為了了解某000名居民某天的閱讀時間，從中抽取了名居民的閱讀時間進行統(tǒng)計分析．在這個問題中5名民的閱讀時間的全體．答案總解析調(diào)的目的是“了解某地5000名民某天的閱讀時”以5名民的閱讀時間的全體”是調(diào)查的總體．．(教材改某賽季，甲、乙兩名籃球運動員都參加了11場賽，他們每場比賽得分的情況用如圖所示的莖葉圖表示，則甲、乙兩名運動員得分的中位數(shù)分別．答案．(教材改甲、乙兩人在相同條件下各射靶10次每次命中環(huán)數(shù)如下：甲乙

109668679試問10次靶的情況較穩(wěn)定．答案乙解析

x

＋＋109＋5＋6＋＋＋8＝＝7.1，甲10x

乙

＝

＋＋6＋8＋＋＋8＋7＋5＝s甲

＝

－

＋－＋＋－

]＝3.09，s乙

＝

－

＋－＋＋－

]＝

2222s>甲乙

，∴乙較穩(wěn)定．題一

頻分直圖繪與用例(2015·標全Ⅱ)某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿度AB兩區(qū)分別隨機調(diào)查了40個用戶，根據(jù)用戶對產(chǎn)品的滿意度評分，得到A地用戶滿意度評分的頻率分布直方圖和地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表．A地用戶滿意度評分的頻率分布直方圖圖①B地區(qū)戶滿意度評分的頻數(shù)分布表滿意度評分分組頻數(shù)

[50,60)

[60,70)

[70,80)

[80,90)

[90,100]在圖②中作出B地用戶滿意度評分的頻率分布直方圖通直方圖比較兩地區(qū)滿度評分的平均值及分散程度不要求計算出具體值，給出結(jié)論即)B地用戶滿意度評分的頻率分布直方圖圖②根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度分為三個等級：滿意度評分滿意度等級

低于70分不滿意

分89分滿意

不低于90分非常滿意估計哪個地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大？說明理由．

解

(1)如圖所示．通過兩地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖可以看出地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于地用戶滿意度評分的平均值地區(qū)用戶滿意度評分比較集中，A地區(qū)用戶滿意度評分比較分散．A地用戶的滿意等級為不滿意的概率大．記C表事件A地用戶的意度等級為不滿”C表事件地用戶的滿意A度等級為不滿意．由直方圖得

PC)的計值為(0.010.02＋0.03)×10＝0.6，(C)的計值為A×100.25.所以A地用戶的滿意度等級為不滿意的概率大．思維升華(1)確頻率分布直方圖的意義即圖中的每一個小矩形的面積是據(jù)落在該區(qū)間上的頻率，所有小矩形的面積和為對于統(tǒng)計圖表類題目，最重要的是認真觀察圖表，從中提煉有用信息和數(shù)據(jù)．山改編)為了研究某藥品的療效，選取若干志愿者進行臨床試驗，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)單位kPa)分組區(qū)間為，將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，…，第五組，如圖是根據(jù)試驗數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖已第一組第二組共有人第三組中沒有療效的有6人第三組中有療效的人數(shù)為_______答案

解析志者的總?cè)藬?shù)為＝50，所以第三組人數(shù)為×0.36＝18，有療效的人數(shù)為－6＝某校從參加高一年級期中考試的學(xué)生中隨機抽出60名學(xué)生其物理成績均為整數(shù)分成六段，后到如圖所示的頻率分布直方圖，觀察圖形的信息，回答下列問題：①求分數(shù)在內(nèi)頻率，并補全這個頻分布直方圖；②統(tǒng)計方法中一數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點值作為代表此計本次考試中的平均分．解

①設(shè)分數(shù)[內(nèi)的頻率為根據(jù)頻率分布直方圖，有×2＋0.025＋×＋x＝1，可得＝，所以頻率分布直方圖如圖所示．②平均分：45＋55×＋×0.15×0.3＋×＋×0.05＝71()．題二

莖圖應(yīng)例(1)(2015·山為比較甲乙地某月14的氣溫情況隨機選取該月中的天將這天14時氣溫數(shù)據(jù)(單位：℃)制成如圖所示的莖葉圖．慮以下結(jié)論：①甲地該月14時平均氣溫低于乙地該14時平均氣溫；②甲地該月14時平均氣溫高于乙地該14時平均氣溫；

2222222222222222③甲地該月14時氣溫的標準差小于乙該月14時氣溫的標準差；④甲地該月14時氣溫的標準差大于乙該月14時氣溫的標準差．其中根據(jù)莖葉圖能得到的統(tǒng)計結(jié)論的編號．以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學(xué)生在一次英語聽力測試中成(單位：分)．已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，，y的值分別為．答案解析

(1)①④(2)5,8(1)甲地5的氣溫為：，其平均數(shù)為

＋＋29＋＝＝29甲方差為s＝甲

－

＋－＋－＋－＋－

＝；標準差為s＝甲乙地5的氣溫為：，其平均數(shù)為

＋＋30＋＝＝30乙方差為s乙

＝

－

＋－＋－＋－＋－

＝；標準差為s＝2.乙∴x

＜甲

乙

，＞甲乙．＋＋10＋18由莖葉圖及已知得x＝5又乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，＝，解得＝引申探究．本例2)中條件不變，試比較甲、乙兩組哪組成績較好．解

由原題可知x＝5＋121524＋則甲組平均分為＝17.4.而乙組平均分為，所以組成績較好．

2222．在本例2)條件下：①求乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)②求乙組數(shù)據(jù)的方差．解

①莖葉圖知，乙組中五名學(xué)生的成績?yōu)?,15,18,18,24.故中位數(shù)為，眾數(shù)為②2

＝

－

＋－＋－

＋－]＝23.76.思維升華莖圖的優(yōu)缺點由莖葉圖可以清晰地看到數(shù)據(jù)的分布情況，這一點同頻率分布直方圖類似．它優(yōu)于頻率分布直方圖的第一點是從莖葉圖中能看到原始數(shù)據(jù)，沒有任何信息損失，第二點是莖葉圖便于記錄和表示．其缺點是當樣本容量較大時，作圖較煩瑣．(2014·課全國Ⅱ某市為了考核甲，乙兩部門的工作情況隨機訪問5位民．根據(jù)這50位民對這兩部門的評分評分越高表明市民的評價越高，繪制莖葉如下：分別估計該市的市民對甲，乙兩部門評分的中位數(shù)；分別估計該市的市民對甲，乙兩部門的評分高于90的概率；根據(jù)莖葉圖分析該市的市民對甲，乙兩部門的評價．解

(1)由所給莖葉圖知位民對甲部門的評分由小到大排序第25,26位是75,75，故樣本中位數(shù)為，所以該市的市民對甲部門評分的中位數(shù)的估計值是75.＋68位民對乙部門的評分由到大排序在第25,26位是故樣本位數(shù)為＝67所以該市的市民對乙部門評分的中位數(shù)的估計值是67.

s＝－＋－s＝－＋－＋－＋－s＝－＋－＋－＋－228由所給莖葉圖知50位民對甲乙部門的評分高于90的率分別為＝0.1，＝0.16，故該市的市民對甲，乙部門的評分高于的概率的估計值分別為由所給莖葉圖知，市民對甲部門的評分的中位數(shù)高于對乙部門的分的中位數(shù)，而且由莖葉圖可以大致看出對甲部門的評分的標準差要小于對乙部門的評分的標準差，說明該市市民對甲部門的評價較高、評價較為一致，對乙部門的評價較低、評價差異較大：生利用其他統(tǒng)計量進行分析，結(jié)論合理的同樣給分)題三

用本數(shù)特估總的字征例甲乙人參加某體育項目訓(xùn)練，近期的五次測試成績得分情況如圖．分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差；根據(jù)圖和上面算得的結(jié)果，對兩人的訓(xùn)練成績作出評價．解

(1)由題圖象可得甲、乙兩人五次試的成績分別為甲：10分，分，12分分，16分乙：13分，分，12分分，14分x

甲

＝

＋13＋＋＝；x

乙

＝

＋14＋＋＝，2－22224；甲52－2222乙5由s甲乙

可知乙的成績較穩(wěn)定．從折線圖看，甲的成績基本呈上升狀態(tài)，而乙的成績上下波動，可知甲的成績在不斷提高，而乙的成績則無明顯提高．

2222222＝2222222＝思維升華平數(shù)與方差都是重的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的描述，它們所反映的情況有著重要的實際意義，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢，方差和標準差描述其波動大小．(2015·廣)某工廠36名人年齡數(shù)據(jù)如下.工人編號年404440413340454243

工人編號年

工人編號年274341373442374442

工人編號年用系統(tǒng)抽樣法從名人抽取容量為9的本，且在第一分段里隨機抽樣法抽到的年齡數(shù)據(jù)為，列出樣本的年齡數(shù)據(jù)；計(1)中樣本的均值和差；名人中年齡在x－與＋之的有多少人？所占的分比是多(精確到0.01%)?解

(1)44,40,36,43,36,37,44,43,37.＋40＋＋＋37＋43＋＝＝40.s

＝

－

2

＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋－130－＝，40＋＝在，3．考中頻率分布直方圖的應(yīng)用

的有個占典例

分)(2015·廣)城市100戶民的月平均用電單位：度)，，分的頻率分布直方圖如圖．

＋15＋5＋15＋5求直方圖中的；求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；在月平均用電量的組用戶中，用分層抽樣的方法抽取11居民，則月平均用電量在[的用戶中應(yīng)抽取多少戶？規(guī)范解答解

(1)由(0.002＋＋0.0115＋x＋0.005×＝1得x＝，所以直方圖中的是]＋月平均用電量的眾數(shù)是＝230.分因為(0.002＋＋0.011)×＝0.45<0.5所以月平均用電量的中位數(shù)內(nèi)設(shè)中位數(shù)為，＋＋a得＝，以月平均用電量的中位數(shù)是分月平均用電量用戶有＝戶，平均用電量的用戶有＝戶，平均用量為的戶＝戶，月均用電量的用戶有5×100＝5(戶)，抽比＝1＝，以月平均用量[220,240)的用戶中應(yīng)抽取×＝戶)．溫馨提醒本的難點是對頻率布直方圖意義的理解以及利用這個圖提供的數(shù)據(jù)對所提問題的計算，頻率分布直方圖中縱軸上的數(shù)據(jù)是頻率除以組距，組距越大該數(shù)據(jù)越小，在解答這類問題時要特別注意．[方與技]本率分布估計總體分布的重點是頻率分布表和頻率分布直方圖的繪制及用本頻率分布估計總體分布；難點是頻率分布表和頻率分布直方圖的理解及應(yīng)用．在計數(shù)和計算時

22222222一定要準確，在繪制小矩形時，寬窄要一致．通過頻率分布表和頻率分布直方圖可以對總體作出估計．莖圖頻率分表和頻率分布直方圖都是用來描述樣本數(shù)據(jù)的分布情況的葉由所有樣本數(shù)據(jù)構(gòu)成，沒有損失任何樣本信息，可以隨時記錄；而頻率分布表和頻率分布直方圖則損失了樣本的一些信息，必須在完成抽樣后才能制作．．取值x，…的率分別為p，p，…p，其平均值為x＋＋＋p；12nn若x…的均數(shù)為x，差為s，ax＋ax＋b…＋的平均數(shù)為11n＋b方差為as[失與防]頻率分布直方圖的縱坐標為頻/組距一小長方形的面積表示樣本個體落在該區(qū)間內(nèi)的頻率；條形圖的縱坐標為頻數(shù)或頻率，把直方圖視為條形圖是常見的錯誤．A組

專基訓(xùn)(時間：40分)是公司銷售店某月銷售某產(chǎn)品數(shù)量(單位的葉圖據(jù)落在區(qū)[22,30)內(nèi)的頻率為_答案0.4解析個數(shù)據(jù)落在區(qū)間[22,30)內(nèi)的數(shù)據(jù)有，個因此，所求的頻率為＝．陜西改編某公司10位工的月工資(單位：)x，，，，均值和方差110分別為x和，若從下月起每位員工的月工資增加元則這10位工下月工資的均值

212212和方差分別____________．答案解析

x＋100sx＋＋＋＝＝＋所y的值為＋方不變．ii2．班的全體學(xué)生參加英語測試，成績的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次，，，．低于60分人數(shù)是15則該班的學(xué)生人數(shù)________．答案解析由率分布直方圖，知低60分頻率為＋0.005)×20∴該班學(xué)生人數(shù)＝＝50.0.3．某次測量中得到的A樣數(shù)據(jù)如下：42,43,46,52,42,50，B本數(shù)據(jù)恰好是樣本數(shù)據(jù)每個都減5后所得數(shù)據(jù)，則A，B樣本的數(shù)字特征對應(yīng)相同的是_________．答案標差解析利平均數(shù)、標準差、眾、中位數(shù)等統(tǒng)計特征數(shù)的概念求解．由B樣數(shù)據(jù)恰好是A樣數(shù)據(jù)每個都減后得數(shù)據(jù)，可得平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別是原來結(jié)果減去，即與樣不相同，標準差不變．如是青年歌手大獎賽上七位評委為甲兩選手打出的分數(shù)的莖葉圖(其中m為字～中一，去掉一個最高分和一個最低分后，甲、乙兩名選手得分的平均數(shù)分別aa，一定12有．①>a1②>a2③＝a12④，a的小與的有關(guān)1答案②解析去一個最高分和一個最分后甲選手葉上的數(shù)字之和是乙手葉上的數(shù)之

2222222222222222和是，故a>a.2．本中共有五個個體，其值別為

0,1,2,3.若樣本的平均值為

，樣本方差為___________．答案a＋＋＋3解析由意可知樣本的平均值1所以＝，解得a－1，所以樣本的方差為

[－－

＋－＋－＋－＋－

＝2.．某選手的個分去掉1個高分，去掉個低7個余分數(shù)的平均分為91.場作的分數(shù)的莖葉圖后來有1個據(jù)模糊，無法辨認，在圖中以表示：則剩余分數(shù)的方差為_．答案＋＋90＋＋90＋解析由意知＝91解得＝所＝]－＋－＋－＋－＋－＋－

－

＋36＝(16＋91＋＋1＋＝7從小學(xué)隨機抽100名生將們的身(單位厘米)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方(圖)由中數(shù)據(jù)可知a＝____________.若要從身高三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取人加一項活動，則身高內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)_．答案31解析∵矩形的面積等于頻率除[120,130)外的頻率和為∴＝＝0.030.由題意知，身高，，內(nèi)學(xué)生分別為30人人10人∴

3由分層抽樣可知抽樣比為＝，∴在中取的學(xué)生應(yīng)為．某高一某班的次數(shù)學(xué)測試成(分為分的莖葉圖和頻率分布直方圖都受了不同程度的破壞，但可見部分如圖，據(jù)此解答下列問題：求分數(shù)的頻率及全班人數(shù)；求分數(shù)之間的頻數(shù)，并計算頻率分布直方圖間的形的高．解

(1)分數(shù)在的頻率為0.008＝由莖葉圖知，分數(shù)在之的頻數(shù)為2所以全班人數(shù)為＝分數(shù)之間的頻數(shù)為－－7－10－＝率分布直方圖中間矩形的高為

÷100.016.．工廠對一批產(chǎn)品進行了抽樣檢測．如圖是根據(jù)抽樣檢測后的產(chǎn)品重(單：克數(shù)繪制的頻率分布直方圖其中產(chǎn)凈重的范圍樣本數(shù)據(jù)分，，，，知樣本中產(chǎn)品凈重小100克個數(shù)是36.求樣本容量及樣本中凈重大于或等于98并且小于克的產(chǎn)品的個數(shù)；已知這批產(chǎn)品中每個產(chǎn)品的利潤

y單：元與品凈重x(單：克的關(guān)系式為＝≤x，≤x<104

求這批產(chǎn)品平均每個的利潤．

，104≤106

解

(1)產(chǎn)品凈重小于克頻率為＋0.100)＝0.300.設(shè)樣本容為.∵樣本中產(chǎn)品凈重小于100克個數(shù)是，∴

＝0.300＝120.∵本中凈重大于或等于克并且小于104克產(chǎn)品的頻率為＋0.1500.125)×2＝，∴樣本中凈重大于或等于并且小于克產(chǎn)品的個數(shù)是×＝90.產(chǎn)品凈重，，內(nèi)頻率分別為0.050＝，(0.100＋0.125)××20.150，∴其相應(yīng)的頻數(shù)分別×＝×0.75090,120×0.150，∴這批產(chǎn)品平均每個的利潤為××125×＋4×＝4.65(元．B

專能提(時間：30分)11某學(xué)校隨機抽取20個班調(diào)查各班中有網(wǎng)上購物經(jīng)歷的人數(shù)得數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，以組距為數(shù)據(jù)分組[，，時所作的頻率分布直方圖是答案①

解析由頻率分布直方圖的組為5，排③、④，又[0,5)，[5,10)兩各一人，排②①符合條件，①正確．．江)為了了解一片經(jīng)濟林的長情況，隨機抽測了其中60株木的底部周(單位：，得數(shù)據(jù)均在區(qū)上其頻率布直方圖如圖所示，則在抽測的60株樹木中，有_株木的底部周長小于cm.答案解析底周長在[的率為0.015×10，底部周長在90,100)的頻率為0.025×＝0.25，樣本容量為，所以樹木的底周長小于100的株數(shù)為(0.15×＝．湖)某電子商務(wù)公司對000名絡(luò)購物者年的消費情況進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)消費金額(單位：萬元都在區(qū)間內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示．直方圖中的＝________；在這些購物者中，消費金