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)1(g0(g)高)1(g0(g)

等

數(shù)

學(xué)

復(fù)

習(xí)

提

綱一、極限（一）限七大題型1.題型一P(xlimm,n別表示多項(xiàng)式的冪次）要A:達(dá)到口算水平；過程即“除大”。(x)n2.題型二lima(有限)

=0

將a帶入分子

0結(jié)果：=0“0/0型”用洛比達(dá)法則繼續(xù)計(jì)算求值將a帶入分母0直接帶入a求出結(jié)果就是要求的值3.題型三進(jìn)入考場(chǎng)的主要戰(zhàn)場(chǎng)）a

(x)

注：應(yīng)首先識(shí)別類型是否為為“”型！公式)e

口訣得1+得內(nèi)框，內(nèi)框一翻就e。（三步曲）4.題型四等價(jià)無窮小替換（特別注意：0）（1）A:同階無窮?。簂imxB:價(jià)無窮小：xC:高階無窮?。簒

fgfgfg

0(f是的同；f和等價(jià)f是的高階.意：f和的序（2常用等價(jià)替換公式：123

456

7

*arcsin~*~特別補(bǔ)充：

12

（3等價(jià)替換的的性質(zhì)：1自反性~

2

2對(duì)稱性若~

~

3傳遞性若~~（4替換原則：A:非數(shù)乘除可以直接帶入計(jì)算；B:除可換，加減忌換（5另外經(jīng)常使用：

e

lnM

進(jìn)行等價(jià)替換題型五有界：x)|

有界

,cosxxx,均有界識(shí)別不存在但有界的函數(shù)sin

,cos25.題型六：洛必達(dá)法則（極限題型六），見導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：洛必達(dá)法則6.題型七：洛必達(dá)法則（極限題型七），定積分，見上限變限積分7.題型三&題型四的綜合（二）限的應(yīng)用1單側(cè)極限（1極限存在條件

limf(x

f(x0

0)f(0

0)A

左左右右（2極限的連續(xù)性

limf(x)x

f(x即f(x)在連0（3間斷點(diǎn)及分類（★難點(diǎn)）把握兩個(gè)問題：第一，如何找間斷點(diǎn)；第二，間斷點(diǎn)分類（難）。A:間斷點(diǎn)：定義域不能取值的內(nèi)點(diǎn)B:斷點(diǎn)分類Ⅰ類可去Ⅰ類跳躍

Ⅱ類Ⅰ類可去3

二、

導(dǎo)數(shù)

,Ⅱ類

（堅(jiān)守陣地）（一）導(dǎo)定義一

不存在，不能分類，求左右極限

數(shù)定義1“陡”、“平”的形象敘述;2

fx)0

df)0dx

唯一切線斜率（3

yx

f(x0

x)f(x)0x

;4

f'(x)0

x0

f(x0

x)f(x)0x

.拓展：

f(x0

)f(x)0

f'()0注意：1分段點(diǎn)求導(dǎo)，永遠(yuǎn)用定義！2）有連續(xù)性條件時(shí)可直接帶入定義二（二）導(dǎo)數(shù)常用公式123456（三）導(dǎo)數(shù)運(yùn)算

781乘法運(yùn)算(uv)'

u'(uvw)''uvw'2除法運(yùn)算：

u()'v

u'uvv

九字訣（四）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（核心內(nèi)容★★★）

號(hào)變號(hào)1

層次分析（如右“九字訣”,由外向內(nèi)，“遇則則止”）

則用則層間乘所謂的“則”是＋、×、÷2幾點(diǎn)性質(zhì)：4

1t1t（1公x

(ln|)'

1

1||（2形如：

u(x

v)

利用公式

e

ln

等價(jià)替換（3奇偶性:①y

f()奇

'偶

②

f()偶

奇（五）高階導(dǎo)數(shù)1

32（六）微分

412

基本知識(shí)'注意求的時(shí)候要加參數(shù)方程求導(dǎo)（考試重點(diǎn)）參數(shù)方程、隱函數(shù)、變限積分、變限二重積分x(t)標(biāo)準(zhǔn)形

t中間變量公式：

tt

2ydx

dy()dxx't34

符號(hào)型求導(dǎo)""層抽象符號(hào)層隱函數(shù)求導(dǎo)（必考）題目一般形式是:f(xy)g(x),

x25

對(duì)數(shù)法求導(dǎo)巧用對(duì)數(shù)的性質(zhì)，變形式子（七）導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1

切線與法線5

切線斜率就是在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值法線斜率×切線斜=-1；2

洛必達(dá)法則（極限題型六）（★）lim

f()g()

f'()g'(x)

注意：條件：

0,0

；2.有則前

1等價(jià)無窮小，乘除可換，加3

函數(shù)的單調(diào)性與極值、凹凸性、拐點(diǎn)1“峰”——極大值；“谷”——極小值；單調(diào)性與極值求解：?jiǎn)握{(diào)性：

yxIyy0,xIyB：?jiǎn)握{(diào)性交界點(diǎn)→極值點(diǎn)（判據(jù)）C:極值點(diǎn)可疑點(diǎn)（y'&'不存在☆漸近線

limf(xA,則是y(x的水xlimf(x)是x線x2函數(shù)凹凸性與拐點(diǎn)A

''I凹（''I凸（B:凹凸性交界點(diǎn)且能取值→拐點(diǎn)C：拐點(diǎn)可疑點(diǎn)''&y''不存在☆一般求解步驟：（1求定義域、漸近線；（2計(jì)算y''；（3求''點(diǎn)和使',''存在的點(diǎn)，設(shè)為（4列表分析；（5得出結(jié)論.6

x,x；13

dx4dx

函數(shù)最大值、最小值比較：1f'()f不存極值可疑點(diǎn)2）端點(diǎn)5

函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用步驟：（1合理做設(shè)，具有唯一性；（2yf(建模；（關(guān)鍵點(diǎn)所在）（3令'xx

*(符（4“八字”，唯一駐點(diǎn)，即為所求。三、多元微分學(xué)（20+（一）顯函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)

(變,y常)xx

“即變”求哪個(gè)，哪個(gè)就是變（二）全微分一元函數(shù)：f(y'dx

此時(shí)可微可導(dǎo)二元函數(shù)：

uf,u

dy此時(shí)可偏導(dǎo)數(shù)存在，且連續(xù)（三）(高)二階偏導(dǎo)數(shù)主要是求

，分別定義為：(),(((（四）二元隱函數(shù)求導(dǎo)

一定條件下，即連續(xù)時(shí)：一階：

F'F'

'

yz

二階直接求

(x,)（五）符號(hào)型求導(dǎo)（必考）1

u

(),

知函數(shù)（第一類：“媽一元函數(shù)）7

2.u(xy,),f為已知函數(shù)（第二類★)會(huì)畫關(guān)系圖【例題】uf(,2xy),f已知框框解：（1畫關(guān)系圖12

√△√△

九字訣先找路路中乘路間加（2“九字訣”求解四、

不定積（一）基本知識(shí)1.性質(zhì)[]'();d[x]f(xx;()2.基本公式★123456（二）求不定積分的四大方法

781

方法一（1湊常數(shù)公式：

d

1a

d(),a,b均為常數(shù)（2配方8

見到一元二次方程敏感的想到配方法（3拆分公式：

1c(ax))1ca](ax)(cx)ad()()ad()()（4利用三角函數(shù)和差化積和積化和差公式積分2公式3

方法二——固定搭配x)(x方法三——分布積分（1一般分布積分公式：uv關(guān)鍵什么？三角函數(shù)高的先級(jí)方向（2特殊方程法積分法積分時(shí)，對(duì)如下積分要特別注意：

sin3x

22d,

lnxx

2

,

sin(ln)d

dx

等等4

方法四——變量替換（1一次項(xiàng)替換如:

axx方法：直接令

t2即xa（2二次項(xiàng)替換9

abbbf(abbbf()'()原項(xiàng)

換元

替換原:根據(jù)下面兩個(gè)三角變換得來的1.2五、

定積分（一）定積分計(jì)算1.N-L式（牛頓-萊布尼茲公式）主要思想是利用積分方法進(jìn)行積分，然后“出來代值”計(jì)算；2.換——變限

fx)dx

(b)

f[t)]ttt(x)

(a)（二）定積分性質(zhì)1.（1）(0.（2）(x

f()dx

2.

d若ab為常數(shù)，(d

ba

f(t)dt)0.3.名：(()daa

f)d.4.分：

f()d

f()d

積分性的運(yùn)用：（1分段函數(shù)的定積分（2函絕對(duì)值積分（3三角函數(shù)積分（實(shí)質(zhì)是判斷三角函數(shù)符號(hào)進(jìn)行拆分積分運(yùn)算）5.f(x)為奇函數(shù)

f()d★一性質(zhì)十分重要，特別是見到對(duì)稱限時(shí)要想到這一性質(zhì)。6.限積分涉及到求極限七大題型的最后一種題型，即題型七（1g()

(t(

fttf★?。号c沒有關(guān)系10

ud推廣：ud

)

)d)'f((x)))f((x).x2上限帶入乘上限求導(dǎo)限帶入乘下限求導(dǎo)(2)必達(dá)法則（極限題型七）7廣義積分三種形式：（1

f(x)dx；（）

a

f(x)dx；（）f(x)dxa

解：定義：u原式

a

fxA（有限

收斂limF

不存在發(fā)散（三）定積分應(yīng)用一般出現(xiàn)在綜合題的最后一題，題型僅有兩種：第一，求面積；第二求旋轉(zhuǎn)體體積（繞x軸y軸1.面積（1“左右型”S陰影

[()x)]d1

*積分（2“上下型”S陰影

y)y2

*積分11

2.旋轉(zhuǎn)體體積（1“坐在x上”微元法推導(dǎo)：1.繞xdVx

f

2

()公式

f

xx“”2.繞y軸Vy

xfx)dx公式2V

xf(“墻”（2“坐在y軸上”微元法推導(dǎo)：1.繞xy)公式1Vx墻”

y)dy

“（四）二重積分1.累次積分公式：

dx

(x)

(y)d

[

()

(,yy

(x)

(x)2.二重積分的計(jì)算直角坐標(biāo)系的幾何意義：3.二重積分改變次序記住一些不能正序積分的函數(shù)：

e

sin1lnx,sinx,,...xx思路:原累次積分4.極坐標(biāo)主要是圓的思想，注意畫圖，特別注意上限和下限！12

H()y)H()y)y號(hào)x(x六、

常微分程（ODE

因子（一）分離變量法1.標(biāo)準(zhǔn)型y()y)注意：ln①ln②化步驟：①

dydxG(y)

)d

簡(jiǎn)之即：①-C2.變化型y'()x核心：令

u

yx（二）一階線性O(shè)DE（重點(diǎn)）1.準(zhǔn)型：y'x)(x)關(guān)鍵是找到p(x)(x一

無2.數(shù)變量法：

y)

p(x)dx

d)

p(x)dx做題步驟：（1找到p(x、q(x)（2

(x

，計(jì)算，；

注意：（3帶入公式

y

qx)

p(x)dx

d)

p()dx

.

1積分不要加C;（三）三大題型題型1貝努里方程（Bernoulliy'p(y(x)y

n

→y

()

1

q(x，即y

d(x)yd

(x)題型2積分方程特定條件y'(0)13

【例題】

()下列方：x)

)dx求().解：令

y(x

則f()

y'()原式即為：'(x)y()x整理之：

y

qx)

p(x)dx

d)

x

=…題型3二階線性O(shè)DE（1齊次方程（''

'

p、q常數(shù))）特性方程即：

2

q

0,解出1

（補(bǔ)充：

b

ac

），1

2

為互異實(shí)根，1

2，

i(（2非齊次方程標(biāo)準(zhǔn)型：''

((x)xQ(x)sin)mn為冪次.mn關(guān)鍵是讀參數(shù)：,n,k,l.求解過程：ypyqyf(x12pq

0

0

解出、;得y.22)讀參數(shù),.

f(x)可設(shè)特解方程：

y

*

xk((x)xQx)sinx)llAB代入

y

y

*

,方程確定數(shù)3

y

yy*.14

2x1x*【例題】2x1x*

解常分方y(tǒng)y2

32.解：①

y'3e

2y''y'2=0即

____________0

1

___,

2

___;②

2

e

2x

（_____（草稿紙上做）y

*

xeAcos(0x)x))Axe（草稿紙上做）將

y

帶入y'''=0，出系數(shù)

③

y

yy

*

_____________________.七、

級(jí)數(shù)（一）定義1.

02

n

S有限

收斂n2.

n02

n

不存在發(fā)散3.收的必要條limnn第一部分

n

(an

0)判別圖N15

發(fā)散Y比值判法>1散<1斂=1效

根式判法>1散<1斂=1效比較判法收斂1發(fā)散第二部分交錯(cuò)級(jí)數(shù)(n

n（1萊布尼茲法則

發(fā)散

收斂

萊布尼茲

1.交(1)2.an3.limnn

（2絕法則

對(duì)收斂與條件收斂的判別發(fā)散

絕對(duì)收斂條件收斂注：1

|收斂n

b收斂，且為絕對(duì)收斂n2b發(fā)散n識(shí)別過程：

b可能收斂（為絕對(duì)收斂）也可能發(fā)散.n16

（3級(jí)數(shù)的幾點(diǎn)性質(zhì)第三部分冪級(jí)數(shù)1.收斂域和收斂半徑

ax)n0

n

a

n

____;0

（心點(diǎn)展開點(diǎn)n0級(jí)數(shù)對(duì)稱性：一收朝里皆收；一發(fā)朝外均1.收斂半徑：R;公：R

n

anan12.收斂區(qū)間（收斂域）如(0

0

)收，將0

R帶入原級(jí)數(shù)，看否取.2級(jí)數(shù)的展開1公式1：

n1

xn!

x;2公式2：

11

n0

；

11

n0

(1)n|3逐項(xiàng)微分，逐項(xiàng)積分

((xx)n

n

)dx(

a(x)n

n

dx)

注：不改變收斂區(qū)間，改變八、

空間解幾何（一）矢量運(yùn)算1.矢量的內(nèi)積（1

aijka,aa}3123

|a|a2

（2內(nèi)積：

a||b

bb(3)aba17

2.矢量的叉積+-+ijk（1a11

22

33

（2（3MM{xy,r}2111（二）平面方程1.點(diǎn)法式：

n

Ax)(yy0例如：2xyn{_,_}2.直線標(biāo)準(zhǔn)型(點(diǎn)斜式)九、

證明題述（18+（一）介值定理（零點(diǎn)定理）定理?xiàng)l件：（1f()[,b]（2f(af(b)注意：1.

1.f()f(b)

;2.題要點(diǎn)：：f什么

2.f()f()

ab).[a,b]什么？3.答過程要規(guī)范，工整.（二）