歐陽與創(chuàng)編

機械能守恒定律的綜（含典型例題變式練答案）時間：2021.03.08

創(chuàng)作：歐陽與一.教學內容：機械能守恒定律的綜合運用二.學習目標：1、掌握機械能守恒定律的表達式及應用機械能守恒定律解題的一般方法和步驟。2、深刻掌握關于機械能守恒定律的習題類型及其相關解法。三.考點地位：機械能守恒定律的綜合應用問題是高考考查的重點和難點，題目類型通常為計算題目形式，從出題形式上常與牛頓定律、圓周運動、電磁學、熱學等問題進行綜合，從習題模型化的角度上來看，常與線、輕桿、彈簧等模型綜合，題目靈活性很強，在高考當中常做為壓軸題形式出現(xiàn)，年天津理綜卷第5，年全國Ⅱ卷理綜卷第23題、年廣東大綜合卷第歐陽與創(chuàng)編

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34題2006北京理綜卷第22題北京理綜卷的第題均通過大型計算題目形式考查。知識體系：（一）機械能守恒定律的表達式：當系統(tǒng)滿足機械能守恒的條件以后，常見的守恒表達式有以下幾種：①，即初狀態(tài)的動能與勢能之和等于末狀態(tài)的動能與勢能之和。②△

－

或△，即動能（或勢能）的增加量等于勢能（或動能）的減少量。③△，即A體機械能的增加量等于B體機械能的減少量。（二）應用機械能守恒定律解題的步驟及方法：（1根據題意選取研究對象（物體或系統(tǒng)）。2）明確研究對象的運動過程，分析對象在運動過程中的受力情況，弄清各力做功的情況，判斷機械能是否守恒。3）恰當地選取零勢面，確定研究對象在運動過程中的始態(tài)和末態(tài)的機械能。4）根據機械能守恒定律的不同表達式列方程，并求解結果。歐陽與創(chuàng)編

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說明：1）機械能守恒定律只關心運動的初、末狀態(tài)，而不必考慮這兩個狀態(tài)之間變化過程的細節(jié)，因此，如果能恰當地選擇研究對象和初、末狀態(tài)，巧妙地選定勢能參考平面，問題就能得到簡捷、便利的解決，可避免直接應用牛頓定律可能遇到的困難，機械能守恒定律為解決力學問題提供了一條簡捷的途徑。2）如果物體運動由幾個不同的物理過程組成，則應分析每個過程機械能是否守恒，還要分析過程的連接點有無能量損失，只有無機械能損失才能對整體列機械能守恒式，否則只能列出每段相應的守恒關系?！镜湫屠}】問題單一物體的機械能守恒問題：（2005北京卷）例

是豎直平面內的四分之一圓弧形軌道，在下端B與水平直軌道相切，如圖所示，一小球自A點起由靜止開始沿軌道下滑，已知圓軌道半徑為R小球的質量為m，不計各處摩擦，求：（1小球運動到B點時的動能；（2小球下滑到距水平軌道的高度為時速度的大歐陽與創(chuàng)編

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小和方向；（3小球經過圓弧形軌道的B點和水平軌道的C點時，所受軌道支持力各是多大。解析：（1小球從A滑到B的過程中，只有重力做功，機械能守恒，則。（2由機械能守恒。

有小球速度大小為，速度方向沿圓弧在該點的切線方向向下，如圖所示，即圖中角。由幾何關系知，速度方向與豎直方向的夾角為

。（3由機械能守恒得由牛頓第二定律得由①②式解得。

①②小球運動到點，在豎直方向上受力平衡，

。答案：（（3；mg

。，與豎直方向夾角

。變式、2007南昌調考）如圖所示，點離地面高度為，以O點為圓心，制作四分之一光滑圓弧軌歐陽與創(chuàng)編

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道，小球從與O點等高的圓弧最高點滾下后水平拋出，試求：（1小球落地點到O點的水平距離；（2要使這一距離最大，R應滿足何條件？最大距離為多少？解析：（1）小球在圓弧上滑下過程中受重力和軌道彈力作用，但軌道彈力不做功，即只有重力做功，機械能守恒，可求得小球平拋的初速度。根據機械能守恒定律得設水平距離為根據平拋運動規(guī)律可得（2因H為定值，則當大，最大水平距離。

時，即

時，s最問題雙物體的機械能守恒問題：例如圖所示，質量分別為、m的兩個物體AB可視為質點，用輕質細線連接跨過光滑圓柱體，B著地A恰與圓心等高，若無初速度地釋放，則B升的最大高度為多少？解析：釋放后，系統(tǒng)加速運動，當A地時B好達水平直徑的左端，此時AB速度均為，這一過程歐陽與創(chuàng)編

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系統(tǒng)機械能守恒，此后B物體豎直上拋，求出最高點后即可得出結果，下面用機械能守恒定律的三種表達式來求解。（1用由有得，B以

求解。，豎上，則拋最高，故B上升的最大高度為

。（2用△

求解。對

A、B系統(tǒng)，△，

，△由△同理可得

有。

，得。（3用△

求解。對A物體△。

，對B物體：△歐陽與創(chuàng)編

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由△

有

，則。同理可得

。答案：

。變式（2007江蘇南京）如圖所示，A物體用板托著，位于離地面

處，輕質細繩通過光滑定滑輪與AB相A物，B物體質量，現(xiàn)將板抽走，A拉動B上升，設A與地面碰后不反彈，上升過程中不會碰到定滑輪，問：B物體在上升過程中離地的最大高度為多大？（取）解析：在A下B上升的過程中，AB組成的系統(tǒng)機械能守恒，由機械能守恒定律得解得代入數據有A著地后B做豎直上拋運動，豎直上拋能上升的高度為歐陽與創(chuàng)編

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代入數據有B物體上升過程中離地面的最大高度為。答案：變式

。一輕繩通過無摩擦的定滑輪和在傾角為

角的光滑斜面上的物體

連接，另一端和套在光滑豎直桿上的物體

連接，設定滑輪到豎直桿距離

，又知物體

由靜止從連接為水平位置開始下滑

時，和

受力恰平衡，如上圖所示，（

）求：（1（2

下滑過程中的最大速度；沿豎直桿能夠向下滑的最大距離。解析：（

、

與地組成的系統(tǒng)的機械能守恒，物體

由靜止開始先做加速度不斷減小的加速運動，當加速度減小到0時，速度最大，此時

受力平衡，隨后，0時

向下做加速度不斷增大的減速運動，速度為下滑到最大距離，選取水平面為重力勢能零勢能面，設

的最大速度為，對

從B到C過程，設開始時斜面上繩長為，

至時斜面上繩長為，

由

機

械

能

守

恒

定

律：歐陽與創(chuàng)編

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①設∠，則

，，則又再根據、，

，②。③此時受力平衡，可知繩子拉力：，∴，④將②、③、④代入①式，整理得：。（）設

沿豎直桿能夠向下滑的最大距離為H設此時斜面上繩長為，則由機械能守恒定律：，又

，代入上式解得

。問題機械能守恒與圓周運動的綜合問題：例把一個小球用細線懸掛起來，就成為一個擺（如圖所示），擺長為l最大偏角為，小球運動到最低位置時的速度是多大？解析：小球擺動過程中受重力和細線的拉力作用，細歐陽與創(chuàng)編

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線的拉力與小球的運動方向垂直，不做功，所以這個過程中只有重力做功，機械能守恒。小球在最高點作為初狀態(tài)，如果把最低點的重力勢能定為0在最高點的重力勢能就是動能為零，即。小球在最低點作為末狀態(tài)，勢能示為。

，而，而動能可以表運動過程中只有重力做功，所以機械能守恒，即。把各個狀態(tài)下動能、勢能的表達式代入，得，由此解出。從得到的表達式可以看出，初狀態(tài)的角越大，

越小，

就越大v也就越大，也就是說，最初把小球拉得越高，它到達最下端時的速度也就越大，這與生活經驗是一致的。答案：變式

。·沙市）如圖所示，用一根長為

L的細歐陽與創(chuàng)編

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繩，一端固定在天花板上的O點，另一端系一小球A在O點的正下方釘一釘子B當質量為m小球由水平位置靜止釋放后，小球運動到最低點時，細線遇到釘子B，小球開始以B為圓心做圓周運動，恰能過B點正上方，求OB距離。解析：小球在整個運動過程中，僅受到重力和繩的拉力，而拉力對它不做功，所以在整個運動過程中機械能守恒，小球從釋放位置運動到點的過程中機械能守恒，以過的水平面為零勢能面，設小球在C的速度為則有：而所以小球在豎直平面內以B為圓心做圓周運動，而且恰能經過C點，即在C點僅由重力提供向心力，所以：由以上各式可得：變式

，則年廣東）如圖所示，半徑

的光滑半圓歐陽與創(chuàng)編

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環(huán)軌道處于豎直平面內，半圓環(huán)與粗糙的水平地面相切于圓環(huán)的端點A一質量m=0.10kg的小球，以初速度

在水平地面上向左做加速度

的勻減速直線運動，運動

后，沖上豎直半圓環(huán)，最后小球落在點，求AC間的距離（解析：勻減速運動過程中，有。恰好做圓周運動時物體在最高點B足：，得。

）假設物體能到達圓環(huán)的最高點B，由機械能守恒有，解得因為

。，所以小球能通過最高點。小球從B點做平拋運動，有，

，解得。答案：1.2m變式（2006年全國II如圖所示，一固定在豎直平面內的歐陽與創(chuàng)編

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光滑的半圓形軌道ABC其半徑，軌道在C與水平地面相切，在處放一小物塊，給它一水平向左的初速度，結果它沿CBA運動，通過A點，最后落在水平地面上的D點，求、D間的距離s取重力加速度。解析：設小物塊的質量為m過A時的速度為v由A到D歷的時間為t有。①。②。③由①②③式并代入數據得答案：1m【模擬試題】

。1如圖所示，某人站在陽臺上，以

的速度把質量為小球斜向上拋出，不計空氣的阻力，則小球到達空中的B時的動能為A.

B.C.

D.歐陽與創(chuàng)編

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2將一球豎直上拋，若該球所受的空氣阻力大小不變，則其上升和下降兩過程的時間及損失的機械能的關系是A.

，

B.

，C.

，

D.

，3如圖所示的裝置中，木塊M與地面間無摩擦，子彈一定的速度沿水平方向射入木塊并留在其中，然后，將彈簧壓縮至最短，現(xiàn)將木塊、子彈、彈簧作為研究對象，從子彈開始射入木塊到彈簧壓縮至最短的過程中系統(tǒng)的A.機械能守恒B.機械能不守恒C.產生的熱能等于子彈動能的減少量D.簧壓縮至最短時，動能全部轉化成熱能4一個物體以一定的初速度豎直上拋，不計空氣阻力，那么如圖中，表示物體的動能

隨高度變化的圖象A物體的重力勢能

隨速度v變化的圖象，物體的機械能隨高度變化的圖象，物體的動能歐陽與創(chuàng)編

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隨速度v變化圖象D，可能正確的是5以相同大小的初速度

將物體從同一水平面分別豎直上拋和斜上拋，沿光滑的足夠長的固定斜面的表面上滑，如圖所示，三次達到的高度分別為、，空氣阻力不計，則下列判斷正確的是A.

、B.C.

D.6某同學身高，在運動會上他參加跳高比賽，起跳后身體橫著越過了高的橫桿，據此可估算出他起跳時豎直向上的速度大約為（g

）A.D.7如圖所示，將一根長

C.的金屬鏈條拉直放在傾角

的光滑斜面上，鏈條下端與斜面下邊緣相齊，由靜止釋放后，當鏈條剛好全部脫離斜面時，其速度大小為_____

。（g?。?小鋼球質量為m沿光滑的軌道由靜止滑下，軌道形狀如圖所示，與光滑軌道相接的圓形軌道的半徑為R要使小球沿光滑圓軌道恰能通過最高點，物體歐陽與創(chuàng)編

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應從離軌道最低點多高的地方開始滑下？9細繩的一端固定，另一端系一質量為的小球，小球繞細繩的固定點在豎直平面內做圓周運動，繩在最高點和在最低點的拉力差為多大？、如圖所示，一固定的楔形木塊，其斜面的傾角，另一邊與地面垂直，頂上有一定滑輪，一柔軟的細線跨過定滑輪，兩邊分別與AB連接，A的質量為4mB的質量為。開始時將B按在地面上不動，然后放開手，讓A斜面下滑而B升。物體A與斜面間無摩擦，設當A沿斜面下滑s離后，細線突然斷了，求物塊B上升的最大距離H?！驹囶}答案】1.B選B所在平面為零勢能面，則小球在B點有動能，而在A處機械能為能守恒可知，故選項B確。）

，由機械2.C（升和下降兩過程，小球通過的位移大小相等，由受力分析知小球上升過程的加速度大于下降過程的加速度，小球上升的時間應小于下降的時間；小球運動過程中損失的機械能等于克服空氣阻力做的功，因為空氣阻力大小不變，上升、下降兩過程的位歐陽與創(chuàng)編

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移大小相等，所以上、下過程損失的機械能相等。）3.B（子彈以一定的速度沿水平方向射向木塊并留在其中這一過程中，摩擦力對M的功（M位?。┬∮谧訌椏朔Σ亮ψ龅墓?，機械能減少，機械能不守恒，子彈減少的動能一部分轉化為熱能，另一部分轉化成M的動能和彈簧的勢能，然后，將彈簧壓縮至最短這一過程中只有系統(tǒng)內彈力做功，機械能守恒，但全過程機械能不守恒，從子彈射向木塊直至彈簧被壓縮至最短，動能一部分轉化成熱能，另一部分轉化成勢能。應選B）4.ABCD以一定初速度豎直上拋的物體，不計空氣阻力，機械能守恒，因此選項正確，由機械能守恒定律可得公式

，所以A選項正確，由可知B選項正確，又因為，所以D項正確。）5.D（于在三種情況下，均只有重力對物體做功，因此物體的機械能守恒，豎直上拋運動，物體在最高點時的速度為零，選取拋出點為零勢能參考面，則物體在初狀態(tài)的機械能為，末狀