第二章平面向量及其應(yīng)用§3從速度的倍數(shù)到向量的數(shù)乘基礎(chǔ)過關(guān)練題組一向量數(shù)乘運算及運算律1.若a=-12b(b≠0),則A.a和b方向相同,|a|=2|b|B.a和b方向相同,|b|=2|a|C.a和b方向相反,|a|=2|b|D.a和b方向相反,|b|=2|a|2.已知向量a與b方向相反,且|a|=r,|b|=R,b=λa,則λ的值等于()A.rR B.-rR C.-Rr 3.設(shè)m是非零向量,μ是非零實數(shù),下列結(jié)論中正確的是()A.m與μm的方向相反 B.m與μ2m的方向相同C.|-μm|≥|m| D.|-μm|≥|μ|m4.已知M為△ABC的邊AB的中點,△ABC所在平面內(nèi)有一點P,且滿足PC=PA+PB,若|PC|=λ|PM|,則λ的值為()A.2 B.1 C.12 題組二向量的線性運算5.-=3a+A.a-b14+2c B.5a-14bC.a+54b+2c D.5a+56.若2x-13a-12(b+c-3x)+b=0,其中a,b,c為已知向量,7.如圖所示,在?ABCD中,AB=a,AD=b,AN=3NC,M為BC的中點,則MN=.(用a,b表示)?題組三共線(平行)向量基本定理及應(yīng)用8.已知向量a,b為不共線的向量,且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,則一定共線的三點是()A.A,B,D B.A,B,CC.B,C,D D.A,C,D9.已知a,b為不共線的向量,向量AB=a-kb,CB=2a+b,CD=3a-b,若A,B,D三點共線,則實數(shù)k的值等于()A.10 B.-10 C.2 D.-210.設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點,BC+BA=2BP,則()A.P,A,C三點共線 B.P,A,B三點共線C.P,B,C三點共線 D.以上均不正確11.已知向量a=12c,b=23c+a,求證:a∥題組四直線的向量表示12.已知O、A、B三點不共線,P為該平面內(nèi)一點,且OP=OA+AB|AB|A.點P在線段AB上B.點P在線段AB的延長線上C.點P在線段AB的反向延長線上D.點P在射線AB上13.(2020吉林長春第二中學(xué)高一下期末)如圖,P為△ABC內(nèi)一點,且AP=13AB+15AC,延長BP交AC于點E,若AE=λAC,則實數(shù)14.(2020四川綿陽中學(xué)高二上學(xué)期期中)已知?ABCD的兩條對角線AC與BD交于點E,O是平面內(nèi)任意一點,請?zhí)骄縊A+OB+OC+OD與OE的關(guān)系,并證明.能力提升練題組一向量的線性運算1.()四邊形ABCD中,AB=a+2b,BC=-4a-b,BD=-5a-3b,其中a,b不共線,則四邊形ABCD是()A.梯形 B.平行四邊形C.菱形 D.矩形2.()如圖所示,向量OA,OB,OC的終點A,B,C在一條直線上,且AC=-3CB.設(shè)OA=p,OB=q,OC=r,則以下等式中成立的是()A.r=-p12+32q B.r=-pC.r=p-q3212 D.r=-q3.()如圖所示,在任意四邊形ABCD中,E為AD的中點,F為BC的中點.請?zhí)骄肯蛄緼B+DC與向量EF是否平行,并說明理由.題組二共線(平行)向量基本定理及應(yīng)用4.(2019陜西西安高一期末,)在△ABC中,O為其內(nèi)部一點,且滿足OA+OC+3OB=0,則△AOB和△AOC的面積比是()A.3∶4 B.3∶2 C.1∶1 D.1∶35.(2019廣東汕頭高一期末,)已知a,b是不共線的向量,AB=λa+b,AC=a+μb(λ,μ∈R),那么A,B,C三點共線的充要條件為()A.λ+μ=2 B.λ-μ=1C.λμ=-1 D.λμ=16.()設(shè)e1與e2是兩個不共線的向量,AB=3e1+2e2,CB=ke1+e2,CD=3e1-2ke2,若A,B,D三點共線,則實數(shù)k的值為()A.-94 B.-2 C.2 D.7.()設(shè)a,b是兩個不共線的非零向量,記OA=a,OB=tb(t∈R),OC=13(a+b),那么當(dāng)實數(shù)t為何值時,A,B,C三點共線?題組三直線的向量表示8.()已知A,B,C是平面上不共線的三點,O是△ABC的重心,動點P滿足OP=1312OA+12OB+2A.AB邊中線的三等分點(非重心)B.AB邊的中點C.AB邊中線的中點D.重心9.(2020四川雙流中學(xué)高二上學(xué)期入學(xué)考試,)已知A、B、P是直線l上三個相異的點,平面內(nèi)的點O?l,若正實數(shù)x、y滿足4OP=2xOA+yOB,則1x+1y的最小值為10.()如圖,點C是點B關(guān)于點A的對稱點,點D是線段OB上一個靠近點B的三等分點,設(shè)AB=a,AO=b.(1)用向量a與b表示向量OC,CD;(2)若OE=45OA,求證:C,D,E答案全解全析§3從速度的倍數(shù)到向量的數(shù)乘基礎(chǔ)過關(guān)練1.D 2.C 3.B 4.A 5.A8.A 9.C 10.A 12.D 1.D∵a=-1/2b(b≠0),-1/2<0,∴a和b方向相反,且|a|=|"-"1/2b|=1/2|b|,∴|b|=2|a|.故選D.2.C∵b=λa,|a|=r,|b|=R,∴|b|=|λ||a|.又a與b方向相反,∴λ=-R/r.3.B當(dāng)μ>0時,m與μm的方向相同,當(dāng)μ<0時,m與μm的方向相反,A錯誤;由于μ2>0,故m與μ2m的方向相同,B正確;|-μm|=|-μ||m|,由于|-μ|與1的大小關(guān)系不確定,故|-μm|與|m|的大小關(guān)系不確定,C錯誤;|μ|m是向量,而|-μm|表示長度,兩者不能比較大小,D錯誤.4.A由(PC)?=(PA)?+(PB)?,可得四邊形PACB是平行四邊形,又M為△ABC的邊AB的中點,∴PC=2PM,又∵|(PC)?|=λ|(PM)?|,∴λ=2.故選A.5.A(3a+1/2b+c)-(2a+3/4b"-"c)=(3a-2a)+(1/2b"-"3/4b)+(c+c)=a-1/4b+2c.故選A.6.答案4/21a-1/7b+1/7c解析由題知2x-2/3a-1/2b-1/2c+3/2x+b=0,∴7/2x=2/3a-1/2b+1/2c,∴x=4/21a-1/7b+1/7c.7.答案1/4b-1/4a解析(MN)?=(MB)?+(BA)?+(AN)?=-1/2(BC)?+(BA)?+3/4((AB)?+(AD)?)=-1/2b-a+3/4(a+b)=1/4b-1/4a.8.A(BD)?=(BC)?+(CD)?=(-5a+6b)+(7a-2b)=2a+4b=2(a+2b)=2(AB)?,又(BD)?與(AB)?有公共點B,所以A,B,D三點共線.故選A.9.C∵A,B,D三點共線,∴存在實數(shù)λ,使得(AB)?=λ(BD)?=λ((CD)?-(CB)?),∴a-kb=λ(3a-b-2a-b)=λ(a-2b),∴(1-λ)a+(2λ-k)b=0,∴{■(1"-"λ=0","@2λ"-"k=0",")┤解得{■(λ=1","@k=2".")┤10.A在△ABC中,取AC的中點D,則(BC)?+(BA)?=2(BD)?,∴2(BD)?=2(BP)?,∴D和P重合,即P為線段AC的中點,∴P,A,C三點共線.故選A.11.證明∵a=1/2c,∴c=2a,∴b=2/3c+a=4/3a+a=7/3a,∴a∥b.12.D由(OP)?=(OA)?+(AB)?/("|"(AB)?"|"),得(OP)?-(OA)?=(AB)?/("|"(AB)?"|"),即(AP)?=(AB)?/("|"(AB)?"|"),當(dāng)0<1/("|"(AB)?"|")≤1時,點P在線段AB上,當(dāng)1/("|"(AB)?"|")>1時,點P在線段AB的延長線上,所以點P在射線AB上,故選D.13.答案3/10解析由(AE)?=λ(AC)?,得(AC)?=1/λ(AE)?,可得出(AP)?=1/3(AB)?+1/5λ(AE)?,由于B、P、E三點共線,∴1/3+1/5λ=1,解得λ=3/10,故答案為3/10.14.解析(OA)?+(OB)?+(OC)?+(OD)?=4(OE)?.證明:∵E是對角線AC和BD的交點,∴(AE)?=(EC)?=-(CE)?,(BE)?=(ED)?=-(DE)?.又(OA)?+(AE)?=(OE)?,(OB)?+(BE)?=(OE)?,(OC)?+(CE)?=(OE)?,(OD)?+(DE)?=(OE)?,∴(OA)?+(AE)?+(OB)?+(BE)?+(OC)?+(CE)?+(OD)?+(DE)?=4(OE)?,∴(OA)?+(OB)?+(OC)?+(OD)?=4(OE)?.能力提升練1.B 2.A 4.D 5.D 6.A8.A 1.B在四邊形ABCD中,因為(AB)?=a+2b,(DC)?=(BC)?-(BD)?=-4a-b-(-5a-3b)=a+2b,所以(AB)?=(DC)?,所以四邊形ABCD為平行四邊形.不能判斷平行四邊形ABCD是不是菱形或矩形.故選B.2.A∵(AC)?=-3(CB)?=3(BC)?,∴(BC)?=1/3(AC)?,(OC)?=(OB)?+(BC)?=(OB)?+1/3((OC)?-(OA)?),即r=q+1/3(r-p),∴r=-1/2p+3/2q.3.解析平行,理由如下:連接AF、DF,∵F是BC的中點,∴(BF)?+(CF)?=0,∴(AB)?+(DC)?=(AB)?+(DC)?+((BF)?+(CF)?)=((AB)?+(BF)?)+((DC)?+(CF)?)=(AF)?+(DF)?.∵E是AD的中點,∴(AE)?+(DE)?=0.又∵(AF)?=(AE)?+(EF)?,(DF)?=(DE)?+(EF)?,∴(AB)?+(DC)?=(AF)?+(DF)?=((AE)?+(EF)?)+((DE)?+(EF)?)=(AE)?+(DE)?+2(EF)?=2(EF)?.∴向量(AB)?+(DC)?與向量(EF)?平行.4.D如圖所示,在△ABC中,設(shè)M為AC邊的中點,則(OA)?+(OC)?=2(OM)?,又(OA)?+(OC)?+3(OB)?=0,所以2(OM)?=-3(OB)?,從而可得B,O,M三點共線,且2OM=3BO.由2OM=3BO可得,S_("△"AOC)/S_("△"ABC)=OM/BM=3/5,所以S△AOB+S△BOC=2/5S△ABC,又S△AOB=S△BOC,所以S△AOB=1/5S△ABC,則S_("△"AOB)/S_("△"AOC)=1/3.故選D.5.D由A,B,C三點共線可得,(AB)?∥(AC)?,∴存在m∈R,使(AB)?=m(AC)?,∴λa+b=ma+mμb,即(λ-m)a=(mμ-1)b.因為a,b不共線,所以{■(λ=m","@mμ"-"1=0",")┤故可得λμ=1.反之,若λμ=1,則μ=1/λ.所以(AC)?=a+1/λb=1/λ(λa+b)=1/λ(AB)?,∴(AB)?∥(AC)?,又(AB)?與(AC)?有公共點A,∴A,B,C三點共線.故選D.6.A由A,B,D三點共線可得,必存在一個實數(shù)λ,使得(AB)?=λ(BD)?.又(AB)?=3e1+2e2,(CB)?=ke1+e2,(CD)?=3e1-2ke2,所以(BD)?=(CD)?-(CB)?=3e1-2ke2-(ke1+e2)=(3-k)e1-(2k+1)e2,所以3e1+2e2=λ(3-k)e1-λ(2k+1)e2,所以{■(3=λ"("3"-"k"),"@2="-"λ"("2k+1"),")┤解得{■(λ=4/7","@k="-"9/4".")┤故選A.7.解析∵(OA)?=a,(OB)?=tb(t∈R),(OC)?=1/3(a+b),∴(AB)?=(OB)?-(OA)?=tb-a,(AC)?=(OC)?-(OA)?=1/3(a+b)-a=1/3b-2/3a.∵A,B,C三點共線,∴存在實數(shù)λ,使得(AB)?=λ(AC)?,即tb-a=λ(1/3b"-"2/3a).由于a,b不共線,∴{■(t=1/3λ","@"-"1="-"2/3λ",")┤解得{■(λ=3/2","@t=1/2".")┤故當(dāng)t=1/2時,A,B,C三點共線.8.A如圖所示,延長CO交AB于D,∵O是△ABC的重心,∴D為AB的中點,2(DO)?=(OC)?.∴(OP)?=1/3(1/2(OA)?+1/2(OB)?+2(OC)?)=1/3((OD)?+2