5.1.2導(dǎo)數(shù)的概念及其意義（1）

前面我們研究了兩類(lèi)變化率問(wèn)題:一類(lèi)是高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的平均速度與瞬時(shí)速度(物理問(wèn)題）；

另一類(lèi)是拋物線(xiàn)割線(xiàn)的斜率與切線(xiàn)的斜率（幾何問(wèn)題）問(wèn)題1:請(qǐng)你梳理解決上述兩類(lèi)變化率問(wèn)題的過(guò)程，在解決這兩類(lèi)問(wèn)題時(shí)采用的思想方法具有一致性嗎?結(jié)果的表示形式具有一致性嗎?思想方法:極限思想物理意義幾何意義表示形式平均速度

瞬時(shí)速度

瞬時(shí)速度對(duì)應(yīng)函數(shù)h＝h(t)在t＝t0處的瞬時(shí)變化率.從變化率的角度來(lái)看：平均速度對(duì)應(yīng)函數(shù)h＝h(t)從t0到t0＋?t的平均變化率.1.平均變化率對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，設(shè)自變量x從x0變化到x0＋?x，相應(yīng)地，函數(shù)值y就從f(x0)變化到f(x0＋?x).這時(shí)，x的變化量為?x，y的變化量為

?y＝f(x0＋?x)－f(x0).我們把比值，即叫做函數(shù)y＝f(x)從從x0到x0＋?x的平均變化率.探究新知類(lèi)似地，運(yùn)用上述思想我們可以定義函數(shù)y=f(x)的平均變化率和瞬時(shí)變化率:2.導(dǎo)數(shù)的概念如果當(dāng)?x→0時(shí)，平均變化率無(wú)限趨近于一個(gè)確定的值，即有極限，則稱(chēng)y＝f(x)在x＝x0處可導(dǎo)，并把這個(gè)確定的值叫做y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)(也稱(chēng)為瞬時(shí)變化率)，記作或，即注：瞬時(shí)變化率與導(dǎo)數(shù)是同一概念的兩個(gè)名稱(chēng)；導(dǎo)數(shù)可以描述任何運(yùn)動(dòng)變化事物的瞬時(shí)變化率

.

例如問(wèn)題1中運(yùn)動(dòng)員在t=1時(shí)的瞬時(shí)速度為v(1)就是函數(shù)h(t)在t=1處的導(dǎo)數(shù)h′(1)，即

問(wèn)題2中拋物線(xiàn)f(x)＝x2在點(diǎn)P0(1,1)處的切線(xiàn)P0T的斜率k0就是函數(shù)f(x)＝x2在x＝1處的導(dǎo)數(shù)f′(1)，即思考:在導(dǎo)數(shù)的定義中，函數(shù)y=f(x)在x＝x0處可導(dǎo)的前提條件是

①

的值是唯一確定的.是否對(duì)于任意一個(gè)函數(shù)y=f(x),上式的值都是唯一確定的呢？

請(qǐng)結(jié)合以下兩個(gè)實(shí)例，回答上述問(wèn)題:

結(jié)論并不是對(duì)所有的函數(shù)，

①的值都是一個(gè)唯一確定的值。即并不是對(duì)所有的函數(shù)在其定義域內(nèi)的每一點(diǎn)都可導(dǎo)

例1解：典例剖析則=__________變式：已知函數(shù)y=f(x)滿(mǎn)足

解：在第2h和6h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率就是f′(2)和f′(6).例2

將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品,需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱.已知在第xh時(shí)，原油的溫度(單位:°C)為

.計(jì)算第2h與第6h時(shí),原油溫度的瞬時(shí)變化率,并說(shuō)明它們的意義.在第2h與第6h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率分別為－3℃/h與5℃/h.說(shuō)明在第2h附近，原油溫度大約以3℃/h的速率下降；在第6h附近，原油溫度大約以5℃/h的速率上升.

一般地，f'(x0)(0≤x0≤8)反映了原油溫度在時(shí)刻x0附近的變化情況.解：在第2s和6s時(shí)，汽車(chē)的瞬時(shí)加速度就是v′(2)和

v′(6).

例3一輛汽車(chē)在公路上沿直線(xiàn)變速行駛，假設(shè)ts時(shí)汽車(chē)的速度(單位:m/s)為

，求汽車(chē)在第2s與第6s時(shí)的瞬時(shí)加速度，并說(shuō)明它們的意義.在第2s與第6s時(shí)，汽車(chē)的瞬時(shí)加速度分別為2m/s2與－6m/s2.說(shuō)明在第2s附近，汽車(chē)的速度每秒大約增加2m/s；在第6s附近，汽車(chē)的速度每秒大約減少6m/s.1.在例2中，計(jì)算第3h與第5h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說(shuō)明它們的意義.解：在第3

h附近，原油溫度大約以1

℃/h的速率下降；在第5

h附近，原油溫度大約以3

℃/h的速率上升.課本P66解：課本P663.一質(zhì)點(diǎn)A沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，位移y(單位:m)與時(shí)間t(單位:s)之間的關(guān)系為y(t)=2t2+1，求質(zhì)點(diǎn)A在t=2.7s時(shí)的瞬時(shí)速度.課本P