學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學年新教材數(shù)學人教A版選擇性必修第一冊模塊綜合測評模塊綜合測評(滿分：150分時間：120分鐘）一、單項選擇題(本題共8小題,每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1．已知直線l的方程為y＝－x＋1，則直線l的傾斜角為（）A．30°B．45°C．60°D．135°D［由題意可知,直線l的斜率為－1，故由tan135°＝－1，可知直線l的傾斜角為135°.]2．已知空間向量a＝(t，1，t)，b＝(t－2，t,1），則｜a－b|的最小值為()A．eq\r（2) B．eq\r（3)C．2 D．4C[|a－b｜＝eq\r(2t－12＋4)≥2，故選C。］3．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圓，則實數(shù)k的取值范圍是（）A．R B．(－∞，1)C．(－∞，1］ D．[1，＋∞）B[由方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0可得(x－2）2＋（y＋1）2＝5－5k,此方程表示圓，則5－5k>0,解得k〈1.故實數(shù)k的取值范圍是（－∞,1)．故選B。]4．若橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f（y2，b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f（\r(3）,2），則雙曲線eq\f(x2,a2）－eq\f(y2，b2)＝1的離心率為()A．eq\f(5，4) B．eq\f(\r(5),2）C．eq\f(3，2） D．eq\f（\r(5），4）B［由題意，1－eq\f(b2，a2）＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3），2）））eq\s\up12(2)＝eq\f（3,4)，∴eq\f(b2,a2）＝eq\f（1,4），而雙曲線的離心率e2＝1＋eq\f(b2，a2)＝1＋eq\f(1，4)＝eq\f(5，4），∴e＝eq\f（\r(5），2）。]5．已知直線l過定點A（2，3,1）,且n＝(0，1,1)為直線l的一個方向向量,則點P（4，3，2）到直線l的距離為(）A．eq\f（3\r(2)，2) B．eq\f(\r(2),2）C．eq\f(\r（10）,2) D．eq\r(2)A［eq\o(PA,\s\up8(→)）＝(－2，0，－1)，|eq\o(PA,\s\up8（→））｜＝eq\r(5)，eq\o（PA，\s\up8(→))·eq\f（n，|n｜）＝－eq\f（\r（2)，2)，則點P到直線l的距離為eq\r（｜\o（PA，\s\up8(→)）|2－\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1（\o（PA，\s\up8(→））·\f（n，|n|））)\s\up12(2))＝eq\r(5－\f（1，2)）＝eq\f（3\r（2)，2）.]6．以Feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(0，\f（p,2))）(p＞0)為焦點的拋物線C的準線與雙曲線x2－y2＝2相交于M,N兩點，若△MNF為正三角形，則拋物線C的標準方程為（)A．y2＝2eq\r(6）x B．y2＝4eq\r(6）xC．x2＝4eq\r（6）y D．x2＝2eq\r（6）yC［由題意，以Feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（0,\f（p，2))）（p＞0）為焦點的拋物線C的準線y＝－eq\f（p,2）代入雙曲線x2－y2＝2，可得x＝±eq\r(2＋\f（p2,4)），∵△MNF為正三角形，∴p＝eq\f（\r(3），2)×2eq\r（2＋\f(p2,4)），∵p＞0，∴p＝2eq\r(6)，∴拋物線C的方程為x2＝4eq\r（6）y。]7。如圖，在長方體ABCD.A1B1C1D1中，AB＝BC＝2,AA1＝1，則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為（)A．eq\f(\r(6）,3） B．eq\f（2\r(5)，5)C．eq\f（\r(15），5) D．eq\f(\r（10)，5)D［以D點為坐標原點，DA,DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系(圖略)，則A（2，0,0），B（2,2,0），C(0，2,0），C1(0，2,1）,∴eq\o（BC1，\s\up8(→））＝（－2,0，1）,eq\o（AC,\s\up8(→）)＝（－2,2，0）,且eq\o（AC，\s\up8(→）)為平面BB1D1D的一個法向量．∴cos〈eq\o（BC1,\s\up8（→)）,eq\o(AC，\s\up8(→））>＝eq\f(\o(BC1，\s\up8(→））·\o（AC，\s\up8(→））,|\o（BC1，\s\up8(→)）|｜\o（AC，\s\up8(→)）|）＝eq\f(4，\r（5）·\r（8））＝eq\f（\r(10)，5),∴BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為eq\f(\r（10)，5)。]8．已知雙曲線E：eq\f(x2，a2)－eq\f（y2,b2）＝1(a＞0，b＞0)的右頂點為A，拋物線C：y2＝8ax的焦點為F.若在E的漸近線上存在點P，使得eq\o(AP,\s\up8（→))⊥eq\o(FP,\s\up8（→）)，則E的離心率的取值范圍是（）A．（1,2) B．eq\b\lc\（\rc\］（\a\vs4\al\co1（1，\f(3\r(2)，4）））C．eq\b\lc\［\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（3\r(2），4)，＋∞)) D．(2，＋∞）B[由題意得，A(a,0），F(xiàn)（2a，0)，設(shè)Peq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f（b，a）x0）)，由eq\o（AP，\s\up8(→)）⊥eq\o（FP,\s\up8（→)）,得eq\o（AP，\s\up8(→)）·eq\o（PF，\s\up8(→）)＝0?eq\f(c2,a2)xeq\o\al（2,0)－3ax0＋2a2＝0，因為在E的漸近線上存在點P，則Δ≥0，即9a2－4×2a2×eq\f(c2，a2)≥0?9a2≥8c2?e2≤eq\f(9,8)?e≤eq\f(3\r(2)，4)，又因為E為雙曲線,則1＜e≤eq\f（3\r（2),4)，故選B。］二、多項選擇題（本題共4小題,每小題5分,共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分)9．對于定點P（1，1）和圓C：x2＋y2＝4，下列說法正確的是（)A．點P在圓內(nèi)部B．過點P有兩條圓的切線C．過點P被圓截得的弦長最大時的直線方程為x－y＝0D．過點P被圓截得的弦長最小值為2eq\r（2）ACD［由12＋12＜4知，點（1,1）在圓內(nèi)，∴A對；且過P不能作出圓的切線，∴B錯;過點P的最大弦長為直徑，所以方程應為y＝x，即x－y＝0，∴C對；D中，過點P且弦長最小的應是垂直于y－1＝－(x－1）,即x＋y－2＝0，所以弦長為2eq\r（4－\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（2，\r(2)））)\s\up12(2））＝2eq\r(2），∴D對，故應選ACD.]10．在空間四邊形ABCD中，AB,AC，AD兩兩垂直，則下列結(jié)論成立的是(）A．｜eq\o（AB,\s\up8(→))＋eq\o（AC，\s\up8（→)）＋eq\o(AD，\s\up8（→））｜＝｜eq\o（AB，\s\up8（→））＋eq\o（AC,\s\up8(→）)－eq\o(AD,\s\up8(→))|B．｜eq\o（AB，\s\up8（→))＋eq\o（AC,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8（→））｜2＝｜eq\o(AB，\s\up8(→))｜2＋｜eq\o(AC，\s\up8(→)）｜2＋|eq\o（AD，\s\up8(→))｜2C．(eq\o（AB,\s\up8（→)）＋eq\o（AC,\s\up8（→))＋eq\o（AD，\s\up8（→）))·eq\o（BC，\s\up8（→）)＝0D．eq\o（AB，\s\up8(→）)·eq\o(CD,\s\up8（→）)＝eq\o(AC，\s\up8（→））·eq\o(BD,\s\up8（→））＝eq\o(AD，\s\up8（→))·eq\o（BC，\s\up8（→))ABD[因為eq\o(AB,\s\up8（→)），eq\o(AC，\s\up8(→））,eq\o(AD，\s\up8（→))兩兩垂直，所以（eq\o（AB,\s\up8(→）)＋eq\o（AC,\s\up8（→)）)·eq\o（AD，\s\up8（→））＝0，所以(eq\o（AB,\s\up8(→）)＋eq\o（AC,\s\up8(→)）＋eq\o（AD，\s\up8(→)))2＝(eq\o(AB,\s\up8（→))＋eq\o（AC，\s\up8（→)))2＋eq\o（AD,\s\up8(→))2＋2（eq\o(AB,\s\up8（→）)＋eq\o(AC,\s\up8(→))）·eq\o（AD，\s\up8(→))＝(eq\o（AB,\s\up8（→))＋eq\o(AC,\s\up8（→）））2＋eq\o(AD,\s\up8(→））2,（eq\o(AB,\s\up8(→)）＋eq\o（AC，\s\up8（→)）－eq\o（AD,\s\up8（→))）2＝(eq\o（AB,\s\up8(→))＋eq\o（AC，\s\up8（→)））2＋eq\o（AD,\s\up8（→）)2－2(eq\o（AB,\s\up8（→)）＋eq\o（AC,\s\up8(→））)·eq\o(AD,\s\up8(→)）＝(eq\o（AB,\s\up8（→）)＋eq\o（AC，\s\up8（→）)）2＋eq\o（AD，\s\up8（→）)2，故|eq\o（AB，\s\up8（→）)＋eq\o(AC，\s\up8（→））＋eq\o（AD，\s\up8（→）)｜＝｜eq\o（AB,\s\up8（→））＋eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AD,\s\up8（→))｜，因此A正確;易得B正確；C中,（eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o（AC，\s\up8（→))＋eq\o（AD，\s\up8(→））)·eq\o(BC,\s\up8（→））＝（eq\o(AB，\s\up8（→））＋eq\o(AC，\s\up8（→)）＋eq\o（AD,\s\up8(→)))·（eq\o(AC，\s\up8(→））－eq\o（AB，\s\up8（→)）)＝eq\o(AB,\s\up8(→)）·eq\o（AC，\s\up8(→)）－|eq\o(AB,\s\up8（→)）｜2＋|eq\o(AC,\s\up8(→)）|2－eq\o（AC,\s\up8（→））·eq\o（AB，\s\up8(→）)＋eq\o(AD，\s\up8(→）)·eq\o（AC，\s\up8（→）)－eq\o（AD，\s\up8（→)）·eq\o(AB,\s\up8(→）)＝｜eq\o（AC，\s\up8(→）)|2－|eq\o(AB，\s\up8(→）)｜2，當|eq\o（AC，\s\up8(→))|＝|eq\o（AB,\s\up8(→））|時，｜eq\o(AC,\s\up8(→)）｜2－|eq\o(AB,\s\up8(→))｜2＝0,否則不成立，因此C不正確；D中，eq\o(AB,\s\up8（→))·eq\o（CD，\s\up8(→))＝eq\o（AB,\s\up8（→）)·（eq\o（AD,\s\up8（→))－eq\o（AC，\s\up8（→））)＝eq\o（AB,\s\up8（→)）·eq\o(AD，\s\up8(→)）－eq\o(AB,\s\up8(→））·eq\o（AC，\s\up8（→))＝0,同理可得eq\o（AC，\s\up8（→))·eq\o（BD,\s\up8(→)）＝0，eq\o(AD，\s\up8(→））·eq\o（BC,\s\up8（→)）＝0,因此D正確．故應選ABD.]11．已知v1，v2分別為直線l1，l2的方向向量(l1，l2不重合），n1，n2分別為平面α,β的法向量(α，β不重合)，則下列說法中，正確的是()A．v1∥v2?l1∥l2 B．v1⊥v2?l1⊥l2C．n1∥n2?α∥β D．n1⊥n2?α⊥βABCD[∵v1,v2分別為直線l1，l2的方向向量（l1,l2不重合）,∴v1∥v2?l1∥l2，v1⊥v2?l1⊥l2；∵n1，n2分別為平面α，β的法向量(α，β不重合）,∴n1∥n2?α∥β，n1⊥n2?α⊥β，故全部正確．］12．下列說法正確的是()A．橢圓eq\f（x2,a2)＋eq\f(y2，b2）＝1上任意一點(非左右頂點）與左右頂點連線的斜率乘積為－eq\f（b2，a2）B．過雙曲線eq\f(x2，a2)－eq\f（y2，b2）＝1焦點的弦中垂直于實軸的弦長為eq\f（2b2，a）C．拋物線y2＝2px上兩點A(x1,y1）．B(x2，y2)，若弦AB經(jīng)過拋物線焦點，則x1x2＝eq\f(p2,4）D．若直線與圓錐曲線有一個公共點，則該直線和圓錐曲線相切ABC[對于A中，橢圓的左右頂點的分別為A（－a,0），B(a,0)，設(shè)橢圓上除左右頂點以外的任意一點P(m，n）,則kPA·kPB＝eq\f（n，m＋a)·eq\f(n，m－a）＝eq\f(n2，m2－a2），又因為點P(m，n)在橢圓上,可得eq\f(m2,a2)＋eq\f(n2,b2)＝1，解得n2＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(1－\f（m2，a2)））b2，所以kPA·kPB＝－eq\f（b2，a2),所以A項是正確的；對于B中,設(shè)雙曲線eq\f（x2,a2)－eq\f(y2，b2)＝1右焦點F（c,0）,則AB＝2beq\r(\f(c2，a2)－1）＝eq\f(2b2，a),故B正確．對于C中,當AB斜率不存在時，xA＝xB＝eq\f（p，2），∴有x1x2＝eq\f（p2，4）；當AB斜率存在時，可設(shè)AB方程為y＝keq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（x－\f（p,2)））。代入y2＝2px得k2eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（x－\f（p,2)））eq\s\up12(2)＝2px即k2x2－k2px－2px＋eq\f(k2p2，4）＝0，所以x1x2＝eq\f（p2，4)，故C正確；對于D中，當直線和拋物線的對稱軸平行時，滿足只有一個交點，但此時直線拋物線是相交的，所以直線與圓錐曲線有一個公共點，所以該直線和圓錐曲線相切是錯誤，即D項是不正確的．]三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分．把答案填在題中的橫線上）13．已知點P是橢圓eq\f(x2,4）＋eq\f（y2，3）＝1上的一點，點Qeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1，4),0)），則|PQ｜的最小值為________．eq\f（3\r(5）,4)［設(shè)P(x，y)，則|PQ2|＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（x－\f（1，4））)eq\s\up12（2）＋y2＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(x－\f(1，4）））eq\s\up12(2)＋3eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（1－\f(x2，4)））＝eq\f（1，4）（x－1)2＋eq\f(45,16)。所以當x＝1時，｜PQ|的最小值為eq\r(\f（45，16)）＝eq\f(3\r（5),4)。］14．雙曲線eq\f(x2，m）－eq\f（y2，n）＝1（mn≠0)的離心率為2，有一個焦點與拋物線y2＝4x的焦點重合,則mn的值為________．eq\f（3，16）［拋物線y2＝4x的焦點坐標為(1，0）,所以雙曲線eq\f（x2，m）－eq\f(y2,n)＝1的焦點在x軸上．m＞0,n＞0,a＝eq\r（m）,b＝eq\r(n)，所以c＝eq\r（m＋n）＝1,所以e＝eq\r（\f(m＋n，m））＝2，所以eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（m＝\f(1，4），,n＝\f(3,4），）)所以mn＝eq\f(3，16）。]15．若直線3x－4y＋5＝0與圓x2＋y2＝r2（r〉0)相交于A，B兩點，且∠AOB＝120°（O為坐標原點)，則r＝________，|AB｜＝________.22eq\r（3）[如圖，過O點作OD⊥AB于D點，在Rt△DOB中，∠DOB＝60°，∴∠DBO＝30°，又|OD|＝eq\f(|3×0－4×0＋5|,5）＝1，∴r＝2|OD|＝2.|AB｜＝2eq\r（r2－OD2）＝2eq\r（3)。]16．已知點E，F(xiàn)分別在正方體ABCD。A1B1C1D1的棱BB1，CC1上,且B1E＝2EB，CF＝2FC1，則平面AEF與平面ABC所成的二面角的正切值等于________．eq\f(\r(2)，3）［如圖，建立空間直角坐標系．設(shè)正方體的棱長為1。A(1,0，0），Eeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,3))），F(xiàn)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(0,1，\f（2，3)）），所以eq\o（AE,\s\up8（→）)＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(0，1,\f（1，3)）)，eq\o(EF,\s\up8(→））＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0，\f（1，3)))，易知平面ABC的一個法向量為n1＝（0,0，1)．設(shè)平面AEF的一個法向量為n2＝（x，y，z）,則eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(n2·\o（AE，\s\up8(→）)＝0，,n2·\o(EF，\s\up8（→））＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（y＋\f(1,3）z＝0，,－x＋\f(1,3)z＝0。))取x＝1,則y＝－1，z＝3,故n2＝(1，－1，3）．所以cos〈n1，n2〉＝eq\f(n1·n2,|n1｜|n2|)＝eq\f(3\r(11)，11）.所以平面AEF與平面ABC所成的二面角的平面角α滿足cosα＝eq\f(3\r（11），11)，則sinα＝eq\f(\r(22)，11)，所以tanα＝eq\f(\r（2）,3).]四、解答題(本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．(本小題滿分10分）求經(jīng)過兩點A（－1，4),B(3，2）且圓心在y軸上的圓的方程.［解］線段AB的中點為(1,3)，kAB＝eq\f（2－4，3－－1)＝－eq\f(1，2），∴弦AB的垂直平分線方程為y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1。由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（y＝2x＋1，，x＝0，)）得（0，1）為所求圓的圓心．由兩點間距離公式得圓半徑r為eq\r(0＋12＋1－42)＝eq\r（10)，∴所求圓的方程為x2＋（y－1)2＝10。18．（本小題滿分12分）在三棱柱ABO。A′B′O′中，∠AOB＝90°，側(cè)棱OO′⊥平面OAB,OA＝OB＝OO′＝2.若點C為線段O′A的中點,在線段BB′上求一點E，使|EC|最小．[解］如圖所示，以三棱柱的O點為坐標原點，以O(shè)A，OB，OO′所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系O。xyz.由OA＝OB＝OO′＝2，得A(2，0，0）,B(0,2,0),O（0,0，0），A′(2，0，2），B′（0，2，2），O′(0，0,2）．由C為線段O′A的中點，得C點坐標為（1，0,1），設(shè)E點坐標為（0，2，z）,根據(jù)空間兩點間距離公式得｜EC|＝eq\r（0－12＋2－02＋z－12）＝eq\r（z－12＋5)，故當z＝1時,｜EC|取得最小值為eq\r（5）,此時E(0，2,1)為線段BB′的中點．19．（本小題滿分12分)已知雙曲線的中心在原點,焦點F1,F2在坐標軸上，離心率為eq\r（2），且過點(4，－eq\r(10)）．（1）求雙曲線的方程；(2）若點M(3，m）在雙曲線上，求證：點M在以F1F2為直徑的圓上;(3）在(2)的條件下求△F1MF2的面積．［解]（1）因為離心率e＝eq\r（2)，所以雙曲線為等軸雙曲線，可設(shè)其方程為x2－y2＝λ（λ≠0),則由點(4,－eq\r(10))在雙曲線上,可得λ＝42－(－eq\r(10)）2＝6，所以雙曲線方程為x2－y2＝6.（2）證明：因為點M（3，m)在雙曲線上，所以32－m2＝6，所以m2＝3，又易知雙曲線x2－y2＝6的焦點為F1(－2eq\r(3)，0)，F(xiàn)2(2eq\r(3)，0)，所以eq\o(MF1，\s\up8(→)）·eq\o（MF2,\s\up8(→）)＝(－2eq\r(3)－3，－m)·(2eq\r(3)－3,－m)＝（－3)2－（2eq\r(3））2＋m2＝9－12＋3＝0，所以MF1⊥MF2，所以點M在以F1F2為直徑的圓上．（3)Seq\s\do6(△F1MF2)＝eq\f(1，2）｜2c|·｜m｜＝eq\f（1,2)×4eq\r(3)×eq\r(3)＝6.20．（本小題滿分12分)已知兩直線ax－2y－2a＋4＝0和2x－(1－a2）y－2－2a2＝0，當a在區(qū)間（0，2）內(nèi)變化時,求兩直線與兩坐標軸圍成的四邊形面積的最小值．［解］解方程組eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（2x－1－a2y－2－2a2＝0，,ax－2y－2a＋4＝0，))得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝2，，y＝2，））所以兩直線的交點為C（2,2)．又由兩直線方程及a的范圍可知，直線ax－2y－2a＋4＝0在x軸上的截距小于0,在y軸上的截距大于0,設(shè)其交y軸于點A，直線2x－(1－a2)y－2－2a2＝0在x軸上的截距大于0，設(shè)其交x軸于點B,如圖所示,連接OC。在2x－（1－a2）y－2－2a2＝0中,令y＝0,得xB＝1＋a2;在ax－2y－2a＋4＝0中，令x＝0，得yA＝2－a.所以S四邊形AOBC＝S△AOC＋S△OBC＝eq\f（1，2）yAxC＋eq\f（1，2）yCxB＝y(tǒng)A＋xB＝a2－a＋3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f（1,2)）)eq\s\up12(2)＋eq\f(11，4）。又a∈(0,2），所以當a＝eq\f(1，2）時，四邊形AOBC的面積取最小值,為eq\f（11,4）。21．(本小題滿分12分)在如圖所示的幾何體ABCDEF中,平面ABCD⊥平面ABEF，四邊形ABCD和四邊形ABEF都是正方形,且邊長為2,Q是AD的中點．（1）求證：直線AE∥平面FQC；（2）求二面角A。FC。B的大?。甗解］（1)證明：∵AF∥BE,AD∥BC,AF與AD交于點A，BE與BC交于點B，∴平面ADF∥平面BCE，又∵EF∥AB∥CD，∴幾何體ADF-BCE是三棱柱．又∵AB⊥BE，AB⊥BC，BE∩BC＝B，∴AB⊥平面BCE,∴幾何體ADF。BCE是直三棱柱．又四邊形ABCD和四邊形ABEF都是正方形，∴EF∥AB∥DC且EF＝AB＝DC，∴四邊形DCEF為矩形．連接DE，交FC于點P，連接PQ.∵P是DE的中點，Q是AD的中點，∴PQ是三角形DAE的中位線，PQ∥AE。∵AE?平面FQC，PQ?平面FQC，∴直線AE∥平面FQC.（2）∵平面ABCD⊥平面ABEF，AB⊥BC,∴BC⊥平面ABEF，∴BC⊥BE?！郃B,BC,BE兩兩垂直．以B為原點,BA,BC，BE所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，∴B（0，0,0)，Q(2,1，0)，F(xiàn)（2,0,2)，C（0,2,0），A(2,0，0)，∴eq\o(BC,\s\up8(→）)＝(0，2，0），eq\o（BF,\s\up8（→））＝(2，0,2）．設(shè)平面BFC的法向量為m＝(x，y,z）,則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（m·\o(BC,\s\up8（→)）＝0，,m·\o（BF，\s\up8(→)）＝0，）)∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（y＝0,,x＋z＝0，)）取z＝－1，∴m＝（1，0，－1）．同理可得平面AFC的一個法向量n＝(1，1，0），∴cos〈m，n〉＝eq\f(1,2)，記二面角A。FC-B的大小為θ，依題意知θ為銳角，cosθ＝eq\f（1,2)，解得θ＝eq\f(π，3），即二面角A.FC。B的大小為eq\f(