創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天中考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)資料:二次函數(shù)壓軸題之答祿夫天創(chuàng)作創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天面積類1．如圖,已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1,0）、B（3,0）、C（0,3）三點(diǎn)．1）求拋物線的分析式．2）點(diǎn)M是線段BC上的點(diǎn)（不與B,C重合）,過M作MN∥y軸交拋物線于N,若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,請用m的代數(shù)式示意MN的長．3）在（2）的條件下,連結(jié)NB、NC,能否存在m,使△BNC的面積最大年夜？若存在,求m的值；若不存在,說明原因．解答：解：（1）設(shè)拋物線的分析式為：y=a（x+1）（x﹣3）,則：a（0+1）（0﹣3）=3,a=﹣1；∴拋物線的分析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．2）設(shè)直線BC的分析式為：y=kx+b,則有：,解得；故直線BC的分析式：y=﹣x+3．創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天已知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,MN∥y,則M（m,﹣m+3）、N（m,﹣2m+2m+3）；22∴故MN=﹣m+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m+3m（0＜m＜3）．（3）如圖；S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB,22+（0＜m＜3）；∴S△BNC=（﹣m+3m）?3=﹣（m﹣）∴當(dāng)m=時(shí),△BNC的面積最大年夜,最大年夜值為．2．如圖,拋物線的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),已知B點(diǎn)坐標(biāo)為（4,0）．（1）求拋物線的分析式；（2）嘗試究△ABC的外接圓的圓心地點(diǎn),并求出圓心坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)M是線段BC下方的拋物線上一點(diǎn),求△MBC的面積的最大年夜值,并求出此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)．解答：解：（1）將B（4,0）代入拋物線的分析式中,得：0=16a﹣×4﹣2,即：a=；∴拋物線的分析式為：y=x2﹣x﹣2．（2）由（1）的函數(shù)分析式可求得：A（﹣1,0）、C（0,﹣2）；OA=1,OC=2,OB=4,2即：OC=OA?OB,又：OC⊥AB,∴△OAC∽△OCB,得：∠OCA=∠OBC；創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°,∴△ABC為直角三角形,AB為△ABC外接圓的直徑；因此該外接圓的圓心為AB的中點(diǎn),且坐標(biāo)為：（,0）．3）已求得：B（4,0）、C（0,﹣2）,可得直線BC的分析式為：y=x﹣2；設(shè)直線l∥BC,則該直線的分析式可示意為：y=x+b,當(dāng)直線l與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),可列方程：x+b=x2﹣x﹣2,即：x2﹣2x﹣2﹣b=0,且△=0；∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0,即b=﹣4；∴直線l：y=x﹣4．因此點(diǎn)M即直線l和拋物線的獨(dú)一交點(diǎn),有：,解得：即M（2,﹣3）．過M點(diǎn)作MN⊥x軸于N,S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．平行四邊形類23．如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=x+mx+n經(jīng)過點(diǎn)A（3,線交拋物線于點(diǎn)M,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．1）分別求出直線AB和這條拋物線的分析式．2）若點(diǎn)P在第四象限,連結(jié)AM、BM,當(dāng)線段PM最長時(shí),求△ABM的面積．創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天3）能否存在這樣的點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P、M、B、O為極點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在,請直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在,請說明原因．（1）分別利用待定系數(shù)法求兩函數(shù)的分析式：把A（3,0）B（0,﹣3）分別代入y=x2+mx+n與y=kx+b,獲取對(duì)于m、n的兩個(gè)方程組,解方程組即可；（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（t,t﹣3）,則M（t,t2﹣2t﹣3）,用P點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去M的縱坐標(biāo)獲取PM的長,即PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t,而后依據(jù)二次函數(shù)的最值獲取當(dāng)t=﹣=時(shí),PM最長為=,再利用三角形的面積公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM計(jì)算即可；（3）由PM∥OB,依據(jù)平行四邊形的判斷獲適當(dāng)PM=OB時(shí),點(diǎn)P、M、B、O為極點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,而后議論：當(dāng)P在第四象限：PM=OB=3,PM最長時(shí)只有,因此不可能；當(dāng)P在第一象限：PM=OB=3,（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；當(dāng)P在第三象限：PM=OB=3,t2﹣3t=3,分別解一元二次方程即可獲取知足條件的t的值．解答：解：（1）把A（3,0）B（0,﹣3）代入y=x2+mx+n,得解得,因此拋物線的分析式是y=x2﹣2x﹣3．設(shè)直線AB的分析式是y=kx+b,創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天把A（3,0）B（0,﹣3）代入y=kx+b,得,解得,因此直線AB的分析式是y=x﹣3；（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（t,t﹣3）,則M（t,t2﹣2t﹣3）,由于p在第四象限,因此PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t,當(dāng)t=﹣=時(shí),二次函數(shù)的最大年夜值,即PM最長值為=,則S△ABM=S△BPM+S△APM==．3）存在,原因以下：∵PM∥OB,∴當(dāng)PM=OB時(shí),點(diǎn)P、M、B、O為極點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,①當(dāng)P在第四象限：PM=OB=3,PM最長時(shí)只有,因此不可能有PM=3．②當(dāng)P在第一象限：PM=OB=3,（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3,解得t1=,t2=（舍去）,因此P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是；③當(dāng)P在第三象限：PM=OB=3,t2﹣3t=3,解得t1=（舍去）,t2=,因此P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是．因此P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是或．4．如圖,在平面直角坐標(biāo)系中擱置向來角三角板,其極點(diǎn)為A（0,1）,B（2,0）,O（0,0）,將此三角板繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,獲取△A′B′O．（1）一拋物線經(jīng)過點(diǎn)A′、B′、B,求該拋物線的分析式；創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天（2）設(shè)點(diǎn)P是在第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),能否存在點(diǎn)P,使四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積4倍？若存在,懇求出P的坐標(biāo)；若不存在,請說明原因．3）在（2）的條件下,試指出四邊形PB′A′B是哪一種形狀的四邊形？并寫出四邊形PB′A′B的兩條性質(zhì)．解：（1）△A′B′O是由△ABO繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°獲取的,又A（0,1）,B（2,0）,O（0,0）,∴A′（﹣1,0）,B′（0,2）．方法一：設(shè)拋物線的分析式為：y=ax2+bx+c（a≠0）,∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A′、B′、B,∴,解得：,∴知足條件的拋物線的分析式為y=x2+x+2．方法二：∵A′（﹣1,0）,B′（0,2）,B（2,0）,設(shè)拋物線的分析式為：y=a（x+1）（x﹣2）將B′（0,2）代入得出：2=a（0+1）（0﹣2）,解得：a=﹣1,故知足條件的拋物線的分析式為y=﹣（x+1）（x﹣2）=﹣x2+x+2；（2）∵P為第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),設(shè)P（x,y）,則x＞0,y＞0,P點(diǎn)坐標(biāo)知足y=﹣x2+x+2．創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天連結(jié)PB,PO,PB′,S四邊形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB,=×1×2+×2×x+×2×y,=x+（﹣x2+x+2）+1,=﹣x2+2x+3．∵A′O=1,B′O=2,∴△A′B′O面積為：×1×2=1,假定四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍,則4=﹣x2+2x+3,即x2﹣2x+1=0,解得：x1=x2=1,此時(shí)y=﹣12+1+2=2,即P（1,2）．∴存在點(diǎn)P（1,2）,使四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍．3）四邊形PB′A′B為等腰梯形,謎底不唯一,下邊性質(zhì)中的隨意2個(gè)均可．①等腰梯形同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等；②等腰梯形對(duì)角線相等；③等腰梯形上底與下底平行；④等腰梯形兩腰相等．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）或用符號(hào)示意：①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′；②PA′=B′B；③B′P∥A′B；④B′A′=PB．5．如圖,拋物線y=x2﹣2x+c的極點(diǎn)A在直線l：y=x﹣5上．創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天1）求拋物線極點(diǎn)A的坐標(biāo)；2）設(shè)拋物線與y軸交于點(diǎn)B,與x軸交于點(diǎn)C、DC點(diǎn)在D點(diǎn)的左邊）,試判斷△ABD的形狀；3）在直線l上能否存在一點(diǎn)P,使以點(diǎn)P、A、B、D為極點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在,請說明原因．解：（1）∵極點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x=﹣=1,且極點(diǎn)A在y=x﹣5上,∴當(dāng)x=1時(shí),y=1﹣5=﹣4,∴A（1,﹣4）．（2）△ABD是直角三角形．將A（1,﹣4）代入y=x2﹣2x+c,可得,1﹣2+c=﹣4,c=﹣3,∴y=x2﹣2x﹣3,∴B（0,﹣3）當(dāng)y=0時(shí),x2﹣2x﹣3=0,x1=﹣1,x2=3∴C（﹣1,0）,D（3,0）,222222BD=OB+OD=18,AB=（4﹣3）+1=2,222222AD=（3﹣1）+4=20,BD+AB=AD,∴∠ABD=90°,即△ABD是直角三角形．（3）存在．由題意知：直線y=x﹣5交y軸于點(diǎn)E（0,﹣5）,交x軸于點(diǎn)F5,0）∴OE=OF=5,又∵OB=OD=3創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天∴△OEF與△OBD都是等腰直角三角形BD∥l,即PA∥BD則組成平行四邊形只好是PADB或PABD,如圖,過點(diǎn)P作y軸的垂線,過點(diǎn)A作x軸的垂線交過P且平行于x軸的直線于點(diǎn)G．設(shè)P（x1,x1﹣5）,則G（1,x1﹣5）則PG=|1﹣x1|,AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|PA=BD=3由勾股定理得：1﹣x1）2+（1﹣x1）2=18,x12﹣2x1﹣8=0,x1=﹣2或4∴P（﹣2,﹣7）或P（4,﹣1）,存在點(diǎn)P（﹣2,﹣7）或P（4,﹣1）使以點(diǎn)A、B、D、P為極點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．周長類6．如圖,Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上,O為坐標(biāo)原點(diǎn),A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（﹣3,0）、（0,4）,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B,且極點(diǎn)在直線x=上．1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；2）若把△ABO沿x軸向右平移獲取△DCE,點(diǎn)A、B、O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是D、C、E,當(dāng)四邊形ABCD是菱形時(shí),試判斷點(diǎn)C和點(diǎn)D能否在該拋物線上,并說明原因；創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天（3）在（2）的條件下,連結(jié)BD,已知對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P使得△PBD的周長最小,求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；4）在（2）、（3）的條件下,若點(diǎn)M是線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M與點(diǎn)O、B不重合）,過點(diǎn)M作∥BD交x軸于點(diǎn)N,連結(jié)PM、PN,設(shè)OM的長為t,△PMN的面積為S,求S和t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量t的取值范圍,S能否存在最大年夜值？若存在,求出最大年夜值和此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在,說明原因．解：（1）∵拋物線y=經(jīng)過點(diǎn)B（0,4）∴c=4,∵極點(diǎn)在直線x=上,∴﹣=﹣=,∴b=﹣；∴所求函數(shù)關(guān)系式為；（2）在Rt△ABO中,OA=3,OB=4,∴AB=,∵四邊形ABCD是菱形,∴BC=CD=DA=AB=5,∴C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（5,4）、（2,0）,當(dāng)x=5時(shí),y=,當(dāng)x=2時(shí),y=,∴點(diǎn)C和點(diǎn)D都在所求拋物線上；（3）設(shè)CD與對(duì)稱軸交于點(diǎn)P,則P為所求的點(diǎn),設(shè)直線CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b,則,解得：,∴,當(dāng)x=時(shí),y=,∴P（）,4）∵M(jìn)N∥BD,創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天∴△OMN∽△OBD,∴即得ON=,設(shè)對(duì)稱軸交x于點(diǎn)F,則（PF+OM）?OF=（+t）×,∵,S△PNF=×NF?PF=×（﹣t）×=,S=（﹣）,=﹣（0＜t＜4）,a=﹣＜0∴拋物線張口向下,S存在最大年夜值．由S△PMN=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+,∴當(dāng)t=時(shí),S取最大年夜值是,此時(shí),點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0,）．等腰三角形類7．如圖,點(diǎn)A在x軸上,OA=4,將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至OB的地點(diǎn)．1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；2）求經(jīng)過點(diǎn)A、O、B的拋物線的分析式；3）在此拋物線的對(duì)稱軸上,能否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P、O、B為極點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在,說明原因．解：（1）如圖,過B點(diǎn)作BC⊥x軸,垂足為C,則∠BCO=90°,∵∠AOB=120°,∴∠BOC=60°,又∵OA=OB=4,∴OC=OB=×4=2,BC=OB?sin60°=4×=2,∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2,﹣2）；創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天（2）∵拋物線過原點(diǎn)O和點(diǎn)A、B,∴可設(shè)拋物線分析式為y=ax2+bx,將A（4,0）,B（﹣2．﹣2）代入,得,解得,∴此拋物線的分析式為y=﹣x2+x（3）存在,如圖,拋物線的對(duì)稱軸是直線x=2,直線x=2與x軸的交點(diǎn)為D,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,y）,①若OB=OP,則22+|y|2=42,解得y=±2,當(dāng)y=2時(shí),在Rt△POD中,∠PDO=90°,sin∠POD==,∴∠POD=60°,∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°,即P、O、B三點(diǎn)在同向來線上,∴y=2不切合題意,舍去,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,﹣2）②若OB=PB,則42+|y+2|2=42,解得y=﹣2,故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,﹣2）,③若OP=BP,則22+|y|2=42+|y+2|2,解得y=﹣2,創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,﹣2）,綜上所述,切合條件的點(diǎn)P只有一個(gè),其坐標(biāo)為（2,﹣2）,8．在平面直角坐標(biāo)系中,現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在兩坐標(biāo)軸上,且點(diǎn)A（0,2）,點(diǎn)C（﹣1,0）,如圖所示：拋物線y=ax2+ax﹣2經(jīng)過點(diǎn)B．1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；2）求拋物線的分析式；3）在拋物線上能否還存在點(diǎn)P（點(diǎn)B除外）,使△ACP仍舊是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在,求全部點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在,請說明原因．解：（1）過點(diǎn)B作BD⊥x軸,垂足為D,∵∠BCD+∠ACO=90°,∠ACO+∠CAO=90°,∴∠BCD=∠CAO,（1分）又∵∠BDC=∠COA=90°,CB=AC,∴△BCD≌△CAO,（2分）BD=OC=1,CD=OA=2,（3分）∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣3,1）；（4分）（2）拋物線y=ax2+ax﹣2經(jīng)過點(diǎn)B（﹣3,1）,則獲取1=9a﹣3a﹣2,（5分）解得a=,因此拋物線的分析式為y=x2+x﹣2；（7分）（3）假定存在點(diǎn)P,使得△ACP仍舊是以創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天AC為直角邊的等腰直角三角形：①若以點(diǎn)C為直角極點(diǎn)；則延伸BC至點(diǎn)P1,使得P1C=BC,獲取等腰直角三角形△ACP1,（8分）過點(diǎn)P1作P1M⊥x軸,CP1=BC,∠MCP1=∠BCD,∠P1MC=∠BDC=90°,∴△MP1C≌△DBC．（10分）CM=CD=2,P1M=BD=1,可求得點(diǎn)P1（1,﹣1）；（11分）②若以點(diǎn)A為直角極點(diǎn)；則過點(diǎn)A作AP2⊥CA,且使得AP2=AC,獲取等腰直角三角形△ACP2,12分）過點(diǎn)P2作P2N⊥y軸,同理可證△AP2N≌△CAO,（13分）NP2=OA=2,AN=OC=1,可求得點(diǎn)P2（2,1）,（14分）經(jīng)查驗(yàn),點(diǎn)P1（1,﹣1）與點(diǎn)P2（2,1）都在拋物線y=x2+x﹣2上．（16分）9．在平面直角坐標(biāo)系中,現(xiàn)將一塊等腰直角三角板放在第一象限,斜靠在兩坐標(biāo)軸上,且點(diǎn)A（0,2）,點(diǎn)C（1,0）,以下圖,拋物線y=ax2﹣ax﹣2經(jīng)過點(diǎn)B．1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；2）求拋物線的分析式；3）在拋物線上能否還存在點(diǎn)P（點(diǎn)B除外）,使△ACP仍舊是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在,求全部點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在,請說明原因．創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十天解：（1）過點(diǎn)