“3＋2選1”限時規(guī)范練(四)(時間：45分鐘滿分：46分)1．(12分)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝2，且eq\f(S10,10)＝eq\f(S5,5)＋5.(1)求{an}的通項公式；[規(guī)范解答及評分標準](1)解法一：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.∵eq\f(S10,10)＝eq\f(S5,5)＋5，∴eq\f(\f(10a1＋a10,2),10)－eq\f(\f(5a1＋a5,2),5)＝5，(2分)∴a10－a5＝10，∴5d＝10，解得d＝2.(4分)∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n.(5分)解法二：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.∵eq\f(S10,10)＝eq\f(S5,5)＋5，∴eq\f(10a1＋\f(10×9,2)d,10)－eq\f(5a1＋\f(5×4,2)d,5)＝5，(2分)∴eq\f(5d,2)＝5，解得d＝2.(4分)∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n.(5分)(2)由(1)知，an＝2n，∴Sn＝eq\f(n2＋2n,2)＝n2＋n.(6分)(7分)∴Tn＝1×23＋2×24＋3×25＋…＋n·2n＋2，①2Tn＝1×24＋2×25＋3×26＋…＋(n－1)·2n＋2＋n·2n＋3，②(8分)①－②，得－Tn＝23＋24＋…＋2n＋2－n×2n＋3＝eq\f(231－2n,1－2)－n×2n＋3＝2n＋3－8－n×2n＋3＝(1－n)2n＋3－8.(11分)∴Tn＝(n－1)2n＋3＋8.(12分)2．(12分)如圖，四棱錐P－ABCD中，△PAD為等邊三角形，AB∥CD，AB＝2CD，∠BAD＝90°，PA⊥CD，E為棱PB的中點．(1)求證：平面PAB⊥平面CDE；(2)若直線PC與平面PAD所成角為45°，求二面角A－DE－C的余弦值．[規(guī)范解答及評分標準](1)證明：如圖，取AP的中點為F，連接EF，DF.∵E為PB的中點，∴EF綊eq\f(1,2)AB.又∵CD綊eq\f(1,2)AB，∴CD綊EF.∴四邊形CDFE為平行四邊形．∴DF∥CE.∵△PAD為等邊三角形，∴PA⊥DF，從而PA⊥CE.(3分)又PA⊥CD，CD∩CE＝C，∴PA⊥平面CDE.又PA?平面PAB，∴平面PAB⊥平面CDE.(6分)(2)∵AB∥CD，PA⊥CD，∴PA⊥AB.∵∠BAD＝90°，∴AB⊥AD.又∵PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD.∴CD⊥平面PAD，∴∠CPD為PC與平面PAD所成的角，即∠CPD＝45°，∴CD＝PD.∵△PAD為等邊三角形，∴PD＝AD，∴CD＝AD.以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系．設(shè)AD＝4，則A(0,0,0)，B(8,0,0)，P(0,2,2eq\r(3))，D(0,4,0)，E(4,1，eq\r(3))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝(4,1，eq\r(3))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(0,4,0)．(8分)設(shè)平面ADE的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AE,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AD,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋y＋\r(3)z＝0，,4y＝0.))令z＝－4，則x＝eq\r(3)，y＝0.∴n＝(eq\r(3)，0，－4)．(9分)由(1)知，平面CDE的一個法向量為eq\o(AP,\s\up6(→))＝(0,2,2eq\r(3))，(10分)∴cos〈eq\o(AP,\s\up6(→))，n〉＝eq\f(\o(AP,\s\up6(→))·n,|\o(AP,\s\up6(→))||n|)＝－eq\f(2\r(57),19).(11分)由圖可知二面角A－DE－C的平面角為鈍角，∴二面角A－DE－C的余弦值為－eq\f(2\r(57),19).(12分)3．(12分)某電商2020年計劃與所在地區(qū)的櫻桃果園合作進行櫻桃的銷售，為了了解該地區(qū)果園的櫻桃銷售情況，現(xiàn)從中隨機抽取60個櫻桃果園，統(tǒng)計各果園2019年的銷售量(單位：萬斤)，得到下面的頻率分布直方圖．(1)從樣本中銷售量不低于9萬斤的果園中隨機選取3個，求銷售量不低于10萬斤的果園的個數(shù)X的分布列及其數(shù)學期望；(2)該電商經(jīng)過6天的試運營，得到銷售量(單位：萬斤)的情況統(tǒng)計表如下：運營第n天123456第n天電商的銷售量yn1.211.311.451.712.022.54根據(jù)相關(guān)性分析，前n天累計總銷量Tn與n之間具有較強的線性相關(guān)關(guān)系，由最小二乘法得回歸直線方程為eq\o(T,\s\up6(^))＝1.78n＋eq\o(a,\s\up6(^))，用樣本估計總體的思想，預(yù)測該電商至少運營多少天可使總銷量不低于該地區(qū)各果園2019年的平均銷量的2倍．注：1.前n天累計總銷售量Tn＝eq\a\vs4\al(\i\su(i＝1,n,))yi.2．在頻率分布直方圖中，同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作為代表．3．1斤＝0.5千克．[規(guī)范解答及評分標準](1)由頻率分布直方圖可得樣本中2019年銷售量不低于9萬斤的果園有(0.10＋0.05)×60＝9(個)，銷售量不低于10萬斤的果園有0.05×60＝3(個)．(2分)隨機變量X的可能取值為0,1,2,3.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(3,9))＝eq\f(5,21)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(2,6)×C\o\al(1,3),C\o\al(3,9))＝eq\f(15,28)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,6)×C\o\al(2,3),C\o\al(3,9))＝eq\f(3,14)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,9))＝eq\f(1,84)，∴隨機變量X的分布列為X0123Peq\f(5,21)eq\f(15,28)eq\f(3,14)eq\f(1,84)(4分)∴E(X)＝0×eq\f(5,21)＋1×eq\f(15,28)＋2×eq\f(3,14)＋3×eq\f(1,84)＝1.(6分)(2)由運營期間銷售量的情況統(tǒng)計表可得前n天累計總銷售量Tn(單位：萬斤)如下表：運營第n天123456前n天累計總銷售量Tn1.212.523.975.687.7010.24∴eq\o(n,\s\up6(－))＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5＋6,6)＝3.5，eq\o(T,\s\up6(－))＝eq\f(1.21＋2.52＋3.97＋5.68＋7.70＋10.24,6)＝5.22(萬斤)(8分)將樣本的中心點(3.5,5.22)代入回歸直線方程eq\o(T,\s\up6(^))＝1.78n＋eq\o(a,\s\up6(^))，得eq\o(a,\s\up6(^))＝－1.01，∴eq\o(T,\s\up6(^))＝1.78n－1.01.(9分)用頻率分布直方圖中各區(qū)間的中點值作為代表，估計該地區(qū)2019年的平均銷量為4.5×0.05＋5.5×0.15＋6.5×0.20＋7.5×0.30＋8.5×0.15＋9.5×0.10＋10.5×0.05＝7.35(萬斤)．由題意，得1.78n－1.01≥14.7，解得n≥8.83(11分)∵n∈N*，∴該電商至少運營9天可使總銷量不低于該地區(qū)各果園2019年的平均銷量的2倍．(12分)選考題：共10分．請考生在第4、5題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．4．[選修4－4：坐標系與參數(shù)方程](10分)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2)＋2t，,y＝\f(5,4)－t，))(t為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ＝eq\f(\r(3),\r(1＋2sin2θ)).(1)求曲線C1的普通方程及曲線C2的參數(shù)方程；(2)若P，Q分別為曲線C1，C2上的動點，求|PQ|的最小值，并求|PQ|取得最小值時，Q點的直角坐標．[規(guī)范解答及評分標準](1)由曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2)＋2t，,y＝\f(5,4)－t，))(t為參數(shù))，消去t，得x＋2y－4＝0，(2分)由ρ＝eq\f(\r(3),\r(1＋2sin2θ))，得ρ2(1＋2sin2θ)＝3，即ρ2＋2ρ2sin2θ＝3，∴x2＋y2＋2y2＝3，即eq\f(x2,3)＋y2＝1，∴C2的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)cosφ，,y＝sinφ，))(φ為參數(shù))．(5分)(2)設(shè)曲線C2上動點為Q(eq\r(3)cosφ，sinφ)，則點Q到直線C1的距離：d＝eq\f(|\r(3)cosφ＋2sinφ－4|,\r(5))＝eq\f(|\r(7)sinφ＋θ－4|,\r(5))，(8分)∴當sin(φ＋θ)＝1時，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(3)cosφ＋2sinφ＝\r(7)，,sin2φ＋cos2φ＝1，))時，d取得最小值eq\f(4\r(5)－\r(35),5)，即|PQ|的最小值為eq\f(4\r(5)－\r(35),5)，此時Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(7),7)，\f(2\r(7),7))).(10分)5．[選修4－5：不等式選講](10分)已知函數(shù)f(x)＝|x＋a|＋|x－1|.(1)當a＝0時，求不等式f(x)>x2＋|x－1|的解集；(2)當x∈R時，有f(2x)＋a≥3成立，求a的取值范圍．[規(guī)范解答及評分標準](1)當a＝0時，原不等式等價于|x|>x2，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<0，,－x>x2，