第三章期中考試復(fù)習(xí)指導(dǎo)一、基本要掌握用羅比塔法則求函數(shù)極限。二、典型例討論分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在性1f

x

A，Bfxx0點有一階導(dǎo)數(shù) 9arctanx2Bxfxx0點連續(xù)fxx0導(dǎo)數(shù)存在，

xfx2B,

fx2AA

fxfx

9arctanx2Bxx12x

996B12解得：A=1，B=-計算函數(shù)極限 limcosx2

1lncos

sin1

,lim lncosxlimcosxe1lim1

11

x0 解 1 1 nx1x2lnxelx n

1111lnx1x2lim 1 ln 所以：原式=lim 1 lnx解 lx 1 1lim x1 lnx x1x1ln

x lnx 1 x1x1xln x111ln

x0lnx1x2ln1x 解1122x11x1xln1xlnx

1x原式limx0lnx原式lim

ln1x

1x2ln1x11111x21

11計算導(dǎo)數(shù)和高階導(dǎo)數(shù)fxxsinlnxcoslnxf解f'xxsinlnxcoslnx

sinlnxin

ln

2sinlnfxln1ln1ln1f解

x 1f'xln ln x1 1 1

11

11 x ln x x x x1

ln1x

1x

1 1xln fxxxaxaxaxxf解f'xxxaxaxaxx'exalnxeaxlnxexxlnaxxaxaaxa1lnxxaxaxlnalnxaxaxxlnaxxlnx x fx解

x23x

，求fnxfnx

x2 1nn!

x2 x1n1 fxexsinxfnx解y'exsinx'exsinxexcosx

2exsinx 4 2y''2exsinx exsinxexcosx2 4 4 42exsinx 4

22exsinx 4yarcsinx2證明：1）1x2yxy'22）求yn證明：1）yarcsinx2可以得到y(tǒng)'2arcsinx 1 11 y'21x24arcsinx24兩邊1x22y'y2xy24y'1x2y''xy'2）將1x2y''xy'21x2yn22nxyn1nn1ynxyn1nyn1x2yn22n1xynn2ynyn20n2yn

ny2n1

2 y2n22n

y dx2x2 ， 解：將方程兩別分別對x求導(dǎo)，得到xy

arctany x e 2

x2 (注意 x2x2

yx1 x

x dy dy xy

xy xy

2x2y2dy

dx dx

xy

xy

xy證明拉格朗日中值定理羅爾定理和拉格朗日定理證明有關(guān)習(xí)題 fx在0,1區(qū)間連續(xù)，在0,1可導(dǎo)f0f10x0,1,0,1,f'fx 證明：分析若證明x0,10,1,ffxFxfxxfx 的導(dǎo)數(shù)有零點F00F1fx0Fx01x0fx0，若fx00，由羅爾定理可證；若fx00F1Fx00，由介值定理0,1,F0，由羅爾定理得 fx在a,b上可導(dǎo)，在a,b二階可fafb0,faf'b 證明a,bf a,bff證明：1）因為fafb0,fafb0faf'b0fa0,f'b0，又因 f'alimfxfa0,f'blimfxfb x x值由極限的保號性得知，a,a,fx 值 得到a,b,f fa0,b,b,fx fb02） exfxfxexfx有三個FxexfxFaFbF0，因此得證 證明ln1xarctan1

xln1xarctan1

x01xln1xarctanFx1xln1xarctanF'x1ln1x 1所以 F'x1ln1x 1F00，所Fx0，得證

1x 1x2

0x0fx2x39x22x求在1542解fx2x39x212x2x39x22x39x212x

xx22x6 0x26x1xfx 6x1x

1x40x2所以最大值與最小值M

1,f

5axf1,f2,f0,f4 2m

1,f5inf1,f2,f0,f4 2 在拋物線y22px解：過拋物線y22px任一點p 2px的法線方程L：Y

Xx，L與拋物線的交 p Y

Xx X x px px Y

Y p p pxpxxlx2 x 2p x 8px

26p3212

d2pp

62

2302

2因為為唯一極小值點，所以為最小值設(shè)函f(x)在區(qū)Ia,b上連

f(x)

f(x區(qū)間I上達到最小值0x0ab2Mfx0

f(x)

f(x

不妨假設(shè)〈baxaabbfxM 而f在a,b連續(xù)，所以有最小值 fx0Mfx函數(shù)的