函數(shù)的均勻變化率剎時(shí)速度與導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心修養(yǎng)1．理解函數(shù)均勻變化率的觀點(diǎn)，會(huì)求函數(shù)的1．經(jīng)過(guò)函數(shù)均勻變化率、剎時(shí)變化率、導(dǎo)數(shù)均勻變化率．(要點(diǎn))觀點(diǎn)的學(xué)習(xí)，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象修養(yǎng)．2．理解剎時(shí)變化率、導(dǎo)數(shù)的觀點(diǎn)．(難點(diǎn)、2．借助導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，提高學(xué)生易混點(diǎn))的數(shù)學(xué)運(yùn)算修養(yǎng).3．會(huì)用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).一、函數(shù)的均勻變化率函數(shù)的均勻變化率的定義一般地，已知函數(shù)y＝f(x)，x0，x1是其定義域內(nèi)不一樣的兩點(diǎn)，記x＝x1－x0，y＝y(tǒng)1－y0＝f(x1)－f(x0)＝(0＋x)－(x0)，fxf則當(dāng)x≠0時(shí)，商fx0＋x－fx0＝y(tǒng)xx稱作函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[x0，x0＋x](或[x0＋x，x0])的均勻變化率．二、剎時(shí)速度與導(dǎo)數(shù)1．物體運(yùn)動(dòng)的剎時(shí)速度設(shè)物體運(yùn)動(dòng)行程與時(shí)間的關(guān)系是s＝f(t)，當(dāng)t趨近于0時(shí)，函數(shù)f(t)在t0到t0＋ft0＋t－ft0t0時(shí)刻的剎時(shí)速t之間的均勻變化率t趨近于常數(shù)，我們把這個(gè)常數(shù)稱為度．2．函數(shù)的剎時(shí)變化率設(shè)函數(shù)y＝f(x)在x0及其周邊有定義，當(dāng)自變量在x＝x0周邊改變量為x時(shí)，函數(shù)值y＝f(x0＋x)－f(x0)，假如當(dāng)x趨近于0時(shí)，均勻變化率y相應(yīng)地改變x＝0＋x－fx0l，那么常數(shù)l稱為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的剎時(shí)變化率．fx趨近于一個(gè)常數(shù)x記作：當(dāng)x→0時(shí)，fx＋x－fx→l.00x還能夠說(shuō)：當(dāng)

x→0時(shí)，函數(shù)均勻變化率的極限等于函數(shù)在

x0的剎時(shí)變化率

l

，記作limx→00＋x－fx0＝l.fxx3．函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0的剎時(shí)變化率，往常稱為f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，并記作f′(x0)，fx＋x－fx0即f′(x0)＝lim0x.x→04．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)假如f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點(diǎn)x都是可導(dǎo)的，則稱f(x)在區(qū)間(a，b)可導(dǎo)．這樣，對(duì)開區(qū)間

(a，b)內(nèi)每個(gè)值x，都對(duì)應(yīng)一個(gè)確立的導(dǎo)數(shù)

f′(x)．于是，在區(qū)間

(a，b)內(nèi)，f′(x)組成一個(gè)新的函數(shù)，把這個(gè)函數(shù)稱為函數(shù)

y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)．記為

f′(x)或y′(或

y′x)．1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)x表示x2－x1，是相關(guān)于x1的一個(gè)增量，x的值可正可負(fù)，但不行為零．(2)y表示f(x)－f(x1)，y的值可正可負(fù)，也能夠?yàn)榱悖?)2(3)y表示曲線y＝f()上兩點(diǎn)(x1，(x1))，(x2，(x2))連線的斜率．()xxff(4)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)值與x的正、負(fù)沒關(guān)．()(5)剎時(shí)變化率是刻畫某函數(shù)值在區(qū)間[x，x]上的變化快慢的物理量．12[答案](1)√(2)√(3)√(4)√(5)×2.如圖，函數(shù)y＝f(x)在[1,3]上的均勻變化率為()A．1B．－1C．2D．－2[分析]yf3－f1＝－1．x＝3－1[答案]B3．函數(shù)f(x)＝x2在x＝1處的剎時(shí)變化率是________________．[分析]∵f(x)＝x2，∴函數(shù)f(x)在x＝1處的剎時(shí)變化率是limyf1＋x－f1x＝limxx→0x→01＋x2－12＝limx→0x＝lim(2＋x)＝2.x→0[答案]2求函數(shù)的均勻變化率【例1】(1)已知函數(shù)y＝f(x)＝x2＋1，則在x＝2，x＝0.1時(shí)，y的值為( )A．0.40B．0.41C．0.43D．0.441已知函數(shù)f(x)＝x＋x，分別計(jì)算f(x)在自變量x從1變到2和從3變到5時(shí)的均勻變化率，并判斷在哪個(gè)區(qū)間上函數(shù)值變化得較快．[思路研究](1)由y＝f(x＋x)－f(x)＝f(2＋0.1)－f(2)可得．(2)求x＝x－x→求y＝fx－fx1→計(jì)算y212x[分析](1)y＝f(2＋x)－f(2)＝f(2.1)－f(2)22＝0.41．＝2.1－2[答案]B自變量x從1變到2時(shí)，函數(shù)f(x)的均勻變化率為1f2－f12＋2－1＋112－1＝1＝2；自變量x從3變到5時(shí)，函數(shù)f(x)的均勻變化率為11f5－f35＋5－3＋3145－3＝2＝15.1141由于2<15，因此函數(shù)f(x)＝x＋x在自變量x從3變到5時(shí)函數(shù)值變化得較快．1．求函數(shù)均勻變化率的三個(gè)步驟第一步，求自變量的增量第二步，求函數(shù)值的增量第三步，求均勻變化率

x＝x2－x1；y＝f(x2)－f(x1)；fx2－fx1＝x2－x1.2．求均勻變化率的一個(gè)關(guān)注點(diǎn)fx0＋x－fx0的形式．求點(diǎn)x0周邊的均勻變化率，可用x1．函數(shù)y＝x2＋1在[1,1＋x]上的均勻變化率是( )A．2B．2xC．2＋xD．2＋(x)2[分析]∵Δy＝(1＋x)2＋1－(12＋1)＝2x＋x2，y2x＋x2x，應(yīng)選C.∴＝＝2＋xx[答案]C求剎時(shí)速度12【例2】(1)以初速度v0(v0>0)垂直上拋的物體，t秒時(shí)的高度為s(t)＝v0t－2gt，則物體在t0時(shí)刻的剎時(shí)速度為__________．(2)某物體的運(yùn)動(dòng)方程為s＝2t3，則物體在第t＝1時(shí)的剎時(shí)速度是__________．[思路研究]先求出s，再求lims.tt→0t12121[分析](1)∵Δs＝v0(t0＋t)－2g(t0＋t)－v0t0－2gt0＝v0t－gt0t－2gt2，s1∴t＝v0－gt0－2gt，∴l(xiāng)ims＝v0－gt0，tt→0即t0時(shí)刻的剎時(shí)速度為v0－gt0.(2)∵當(dāng)t＝1時(shí)，s＝2(1＋t)3－2×13＝2[1＋(t)3＋3t＋3(t)2]－2＝2＋2(t)3＋6t＋6(t)2－2＝2(t)3＋6(t)2＋6t，s2t3＋6t2＋6t2∴t＝t＝2(t)＋6t＋6，∴l(xiāng)ims＝6，則物體在第t＝1時(shí)的剎時(shí)速度是6.tt→0[答案](1)v0－gt0(2)61．求運(yùn)動(dòng)物體剎時(shí)速度的三個(gè)步驟(1)求時(shí)間改變量

t

和位移改變量

s＝s(t0＋

t)－s(t0)；s(2)求均勻速度v＝t；s(3)求剎時(shí)速度，當(dāng)t無(wú)窮趨近于0時(shí)，t無(wú)窮趨近于常數(shù)v，即為剎時(shí)速度．y2．求x(當(dāng)x無(wú)窮趨近于0時(shí))的極限的方法(1)在極限表達(dá)式中，可把x作為一個(gè)數(shù)來(lái)參加運(yùn)算．(2)yx無(wú)窮趨近于0就是令x＝0，求出結(jié)果即可．求出x的表達(dá)式后，2．一做直線運(yùn)動(dòng)的物體，其位移s與時(shí)間t的關(guān)系是s＝3t－t2(位移單位：m，時(shí)間單位：s)．求此物體的初速度；求此物體在t＝2時(shí)的剎時(shí)速度；求t＝0到t＝2時(shí)的均勻速度．[解](1)初速度st－s0v0＝limtt→03t－t2－t)＝3，＝limt＝lim(3t→0t→0即物體的初速度為3m/s.s2＋t－s2(2)v瞬＝llimtt→032＋t－2＋t2－3×2－4＝llimtt→0－t2－t＝limtt→0＝lim(－t－1)＝－1，t→0即物體在t＝2時(shí)的剎時(shí)速度為1m/s，方向與初速度方向相反．s2－s06－4－0(3)v＝＝＝1，2－02即t＝0到t＝2時(shí)的均勻速度為1m/s.求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)[研究問(wèn)題]一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為s＝8－3t2，此中s表示位移，t表示時(shí)間．1．試求質(zhì)點(diǎn)在[1,1＋t]這段時(shí)間內(nèi)的均勻速度．s8－31＋t22－8－3×1提示：t＝t＝－6－3t.2．當(dāng)t趨近于0時(shí)，研究1中的均勻速度趨近于何值？怎樣理解這一速度？tst＝1時(shí)的剎時(shí)速度．提示：當(dāng)趨近于0時(shí)，t趨近于－6.這時(shí)的均勻速度即為【例3】(1)求函數(shù)f(x)＝－x2＋x在x＝－1周邊的均勻變化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；求函數(shù)y＝3x2在x＝1處的導(dǎo)數(shù)．[思路研究]求函數(shù)f(x)在隨意點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)都應(yīng)先求均勻變化率，再求f′(x0)．[解](1)∵Δy＝f(－1＋x)－f(－1)＝－(－1＋x)2＋(－1＋x)＋2＝3x－(x)2，∴y3x－x2x，＝x＝3－x∴f′(－1)＝limy＝lim(3－x)＝3.xx→0x→0(2)∵Δy＝f(1＋x)－f(1)＝3(1＋x)2－3＝6x＋3(x)2，∴y＝6＋3x，x∴f′(1)＝limyxx→0＝lim(6＋3x)＝6.x→01．經(jīng)過(guò)本例(1)進(jìn)一步感覺均勻變化率與剎時(shí)變化率的關(guān)系，關(guān)于y與x的比值，感覺和認(rèn)識(shí)在x漸漸變小的過(guò)程中趨近于一個(gè)固定的常數(shù)A這一現(xiàn)象．2．用定義求函數(shù)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的步驟求函數(shù)的增量y＝f(x0＋x)－f(x0)；y(2)求均勻變化率x；(3)求極限，得導(dǎo)數(shù)為yf′(x)＝lim.0xx→0簡(jiǎn)記為：一差、二比、三趨近．13．求函數(shù)f(x)＝x－x在x＝1處的導(dǎo)數(shù)．11[解]∵Δy＝(1＋x)－1＋x－1－11xx，＝x＋1－1＋x＝x＋1＋x＋1＋xyx1x，∴x＝x＝1＋1＋∴f′(1)＝limy＝lim1＋1＝2.xxx→0x→01＋1．已知函數(shù)y＝f(x)＝2x2P(1,2)及周邊點(diǎn)Q(1＋x，2＋y)，則y的圖象上點(diǎn)x的值為()A．4B．4xC．4＋2x2D．4＋2xy21＋x2－2×12[分析]x＝x＝4＋2x.[答案]D2．一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為s＝1－t＋t2，此中s的單位是：m，t的單位是：s，那么物體在3s末的剎時(shí)速度是()A．7m/sB．6m/sC．5m/sD．8m/ss1－3＋t＋3＋t2－1－3＋32[分析]∵t＝t＝5＋t，∴l(xiāng)ims(5＋t)＝5(m/s)．＝limt→0tt→0[答案]C123．質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律s＝2gt，則在時(shí)間區(qū)間(3,3＋t)內(nèi)的均勻速度等于________．(g＝10m/s2)1212122[分析]s＝2g×(3＋t)－2g×3＝2×10×[6t＋(t)]＝30t＋5(t)，vst.＝t＝30＋5[答案]30＋5t4．一質(zhì)點(diǎn)M按運(yùn)動(dòng)方程s(t)＝at2＋1做直線運(yùn)動(dòng)(位移單位：m，時(shí)間單位：s)．若質(zhì)點(diǎn)M在t＝2s時(shí)的剎時(shí)速度為8m/s，則常數(shù)a＝________.[分析]由于s＝s(2＋t)－s(2)＝