7-1離散系統(tǒng)的根本概念7-2信號的采樣與保持7-3Z變換理論7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差第七章線性離散系統(tǒng)的分析與校正

本章主要內(nèi)容本章首先給出信號采樣和保持的數(shù)學(xué)描述，然后介紹z變換理論和脈沖傳遞函數(shù)，最后研究線性離散系統(tǒng)穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差的分析。本章重點(diǎn)學(xué)習(xí)本章，需要掌握離散系統(tǒng)的相關(guān)根本概念，特別是采樣過程和采樣定理、z變換和z反變換及其性質(zhì)、脈沖傳遞函數(shù)等概念。要求掌握離散系統(tǒng)穩(wěn)定性分析和穩(wěn)態(tài)性能計(jì)算。7-1離散系統(tǒng)的根本概念前面我們介紹的系統(tǒng)中，所有的物理變量都是時(shí)間t的連續(xù)函數(shù)，這種在時(shí)間上和幅值上都連續(xù)的信號通常稱為模擬信號或連續(xù)信號，由此構(gòu)成的系統(tǒng)稱為模擬控制系統(tǒng)或連續(xù)控制系統(tǒng)。如果在控制系統(tǒng)中有一處或幾處信號不是時(shí)間t的連續(xù)函數(shù)，而是以離散的脈沖序列或數(shù)字脈沖序列形式出現(xiàn)，這樣的系統(tǒng)那么稱為離散控制系統(tǒng)。系統(tǒng)中的離散信號是脈沖序列形式的離散系統(tǒng)稱為采樣控制系統(tǒng)或脈沖控制系統(tǒng)。系統(tǒng)中的離散信號是數(shù)字序列形式的離散系統(tǒng)稱為數(shù)字控制系統(tǒng)或計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)。一、采樣控制系統(tǒng)例一爐溫采樣控制系統(tǒng)

當(dāng)爐溫連續(xù)變化時(shí)，電位器的輸出是一串寬度為τ的脈沖電壓信號。

典型采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如以下圖所示。二、數(shù)字控制系統(tǒng)數(shù)字控制系統(tǒng)如圖示。三、離散控制系統(tǒng)的研究方法

離散系統(tǒng)中，系統(tǒng)的一處或多處信號是脈沖序列或數(shù)碼，控制的過程是不連續(xù)的，不能沿用連續(xù)系統(tǒng)的研究方法。研究離散系統(tǒng)的工具是z變換，通過z變換，可以把我們熟悉的傳遞函數(shù)、頻率特性、根軌跡法等概念應(yīng)用于離散系統(tǒng)。7-2信號的采樣與保持

采樣器與保持器是離散系統(tǒng)的兩個(gè)根本環(huán)節(jié)，為了定量研究離散系統(tǒng)，必須用數(shù)學(xué)方法對信號的采樣過程和保持過程加以描述。一、采樣過程按照一定的時(shí)間間隔對連續(xù)信號進(jìn)行采樣，將其變換為在時(shí)間上離散的脈沖序列的過程稱為采樣過程。用來實(shí)現(xiàn)采樣過程的裝置稱為采樣器〔采樣開關(guān)〕。1．采樣信號的數(shù)學(xué)表示采樣過程可以看成一個(gè)幅值調(diào)制過程，采樣器相當(dāng)于一個(gè)載波為的幅值調(diào)制器。是調(diào)制器的載波為一以T為周期的單位理想脈沖序列。采樣器的輸出信號為輸入信號強(qiáng)制在載波上的結(jié)果。用數(shù)學(xué)形式描述強(qiáng)制過程為：單位理想脈沖序列表示為：綜上所述，采樣過程相當(dāng)于一個(gè)脈沖調(diào)制過程，輸出信號可表示為兩個(gè)函數(shù)的乘積。其中載波信號決定采樣時(shí)間，即輸出函數(shù)存在的時(shí)刻，而采樣信號的幅值那么由輸入信號決定。2．采樣信號的拉氏變換對采樣信號進(jìn)行拉氏變換，可得根據(jù)拉氏變換的位移定理，采樣信號的拉氏變換為

2．采樣信號的拉氏變換對采樣信號進(jìn)行拉氏變換，可得根據(jù)拉氏變換的位移定理，采樣信號的拉氏變換為

二、采樣定理連續(xù)信號在其有定義的時(shí)域內(nèi)任何時(shí)刻都是有確切值的。而經(jīng)過采樣后，只能給出采樣時(shí)刻的數(shù)值。從時(shí)域上看，在采樣間隔內(nèi)連續(xù)信號的信息喪失了。下面從信號采樣前后的信號頻譜變化來分析。設(shè)連續(xù)信號的頻譜為有限帶寬，其最大角頻率為。下面分析一下采樣后的頻譜。

理想單位脈沖序列是一個(gè)以T為周期的周期函數(shù)，可以展開成傅氏級數(shù)形式：為采樣角頻率為傅氏系數(shù)

采樣信號

采樣信號對等式兩邊取拉氏變換，由拉氏變換的復(fù)數(shù)位移定理得到：令，得到采樣信號的傅氏變換：

研究采樣信號的頻譜，目的是找出e*(t)和e(t)之間的相互聯(lián)系，上式就反映了采樣后離散信號的頻譜與連續(xù)信號的頻譜之間的關(guān)系。

連續(xù)信號的頻譜，為一個(gè)單一的連續(xù)頻譜，其最大角頻率為。信號采樣后的頻譜，為一以采樣角頻率為周期的無限多個(gè)頻譜之和。當(dāng)n=0時(shí)，叫做采樣信號的主頻譜(采樣頻譜的主分量)，它與連續(xù)信號的頻譜形狀一致，只是幅值上變換了1/T倍。除了主頻譜之外，采樣信號的頻譜中還包含|n|>0的無窮多個(gè)附加的高頻頻譜〔采樣頻譜的補(bǔ)分量〕。為了復(fù)現(xiàn)采樣前的原有信號，那么要求采樣后的頻譜彼此不重合。出現(xiàn)重疊，致使采樣后的信號發(fā)生畸變，因而不可能復(fù)現(xiàn)出采樣前的原有信號。采樣角頻率高采樣角頻率低由以上分析可知，要想使采樣信號能夠復(fù)現(xiàn)出原連續(xù)信號，那么要求離散頻譜彼此互不重疊，即要求采樣角頻率必須滿足：這就是香農(nóng)采樣定理，它是分析和設(shè)計(jì)采樣控制系統(tǒng)的理論依據(jù)。三、信號保持實(shí)現(xiàn)采樣控制的另一個(gè)重要的問題是如何將采樣信號準(zhǔn)確地恢復(fù)為連續(xù)信號。理想濾波器理想濾波器在實(shí)際中是難以實(shí)現(xiàn)的，因此必須尋找在特性上比較接近理想濾波器而且又能夠?qū)崿F(xiàn)的濾波器，保持器就是這種實(shí)際的濾波器。保持器是一種采用時(shí)域外推原理的裝置，通常采用恒值外推規(guī)律的保持器稱為零階保持器，把采用線性外推規(guī)律的保持器稱為一階保持器。在工程實(shí)踐中，普遍采用零階保持器。零階保持器是采用恒值外推規(guī)律的保持器，它將前一采樣時(shí)刻nT的采樣值e(nT)不增不減地一直保持到下一采樣時(shí)刻(n+1)T。零階保持器使采樣信號變成階梯信號，如果把階梯信號的中點(diǎn)連接起來，那么可以得到與連續(xù)信號形狀一致但在時(shí)間上落后T/2的響應(yīng)e(t-T/2)，這反映出零階保持器的相角滯后特性。推導(dǎo)零階保持器的傳遞函數(shù)和頻率特性單位脈沖響應(yīng)函數(shù)可分解為兩個(gè)單位階躍函數(shù)的和對脈沖響應(yīng)函數(shù)取拉氏變換，可得零階保持器的傳遞函數(shù)令，得零階保持器的頻率特性假設(shè)以采樣角頻率來表示，那么上式可表示為零階保持器具有如下特性：1)低通特性：由于幅頻特性的幅值隨頻率值的增大而迅速衰減，說明零階保持器根本上是一個(gè)低通濾波器，但與理想濾波器特性相比，零階保持器除允許主要頻譜分量通過外，還允許局部高頻頻譜分量通過，從而造成數(shù)字控制系統(tǒng)的輸出頻譜在高頻段存在紋波。2)相角滯后特性：由相頻特性可見，零階保持器要產(chǎn)生相角滯后，且隨ω的增大而加大，在處，相角滯后可達(dá)-180°，從而使系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差。

7-3z變換理論z變換是從拉氏變換引伸出來的一種變換方法，是研究線性離散系統(tǒng)的重要數(shù)學(xué)工具。一、z變換定義采樣信號e*(t)的拉氏變換因?yàn)闉閟的超越函數(shù)不便于計(jì)算，因此引入一個(gè)復(fù)變量代入上式，采樣信號的z變換為〔1〕E(z)和E*(s)之間的關(guān)系上式說明z變換E(z)是拉氏變換E*(s)的另一種表達(dá)形式?！?〕代表時(shí)序變量因此這說明代表一個(gè)時(shí)序變量?！?〕對應(yīng)關(guān)系E(z)是e*(t)的z變換，不是e(t)的z變換，但是在采樣點(diǎn)上e*(t)和e(t)的值是相等的。e(t)和E(s)是一一對應(yīng)，e*(t)和E*(s)是一一對應(yīng)，但是E*(s)和e(t)并非是一一對應(yīng)的，可能有無窮多個(gè)e(t)，只是在采樣點(diǎn)上和e*(t)相等，在采樣點(diǎn)之間是不相等的。二、z變換方法由前面介紹可知，求取采樣信號的z變換可以由：但是這種方法太繁。常用的z變換方法有級數(shù)求和法和局部分式法。1．級數(shù)求和法

級數(shù)求和法是直接根據(jù)z變換定義，將E(z)寫成展開形式：只要知道連續(xù)函數(shù)e(t)在各個(gè)采樣時(shí)刻的數(shù)值e(nT)，即可按上式求得E(z)。這種級數(shù)展開式是開放形式有無窮多項(xiàng)，但是常用函數(shù)的z變換式通常可以寫出其閉合形式。例求1(t)的z變換解因?yàn)?(t)在各個(gè)采樣時(shí)刻的數(shù)值均為1，因此，那么無窮級數(shù)是收斂的，利用等比級數(shù)求和公式，可得閉合形式為例求的z變換解上式兩邊同乘以，得到〔1〕減去〔2〕得如：a=1，T=0.5，那么2．局部分式法〔查表法〕連續(xù)信號e(t)的拉氏變換E(s)，可將E(s)展開成局部分式之和形式。即且每一個(gè)局部分式都是z變換表中所對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)，其z變換可查表得出：例一連續(xù)函數(shù)的拉氏變換為，試求相應(yīng)的z變換E(z)。解將E(s)展成局部分式：逐項(xiàng)查z變換表，可得三、z變換性質(zhì)應(yīng)用z變換的根本定理，可以使z變換的應(yīng)用變得簡單方便。z變換性質(zhì)在許多方面與拉氏變換的根本性質(zhì)有許多相似之處。常用的z變換有：1．線性定理假設(shè)a，b為常數(shù)，那么2．實(shí)數(shù)位移定理實(shí)數(shù)位移是指整個(gè)采樣序列在時(shí)間軸上左右平移假設(shè)干采樣周期，其中向左平移為超前，向右平移為滯后。實(shí)數(shù)位移定理表示如下：如果函數(shù)e(t)是可z變換的，其z變換為E(z)，那么有滯后定理超前定理3．復(fù)數(shù)位移定理如果函數(shù)e(t)是可z變換的，其z變換為E(z)，那么有4．終值定理如果信號e(t)的z變換為E(z)，信號序列e(nT)為有限值(n＝o，1，2，…)，且極限存在，那么信號序列的終值5．卷積定理設(shè)x(nT)和y(nT)(n＝o，1，2，…)為兩個(gè)采樣信號序列，其離散卷積定義為那么卷積定理可描述為：在時(shí)域中，假設(shè)那么在z域中必有應(yīng)當(dāng)注意:z變換只反映信號在采樣點(diǎn)上的信息，而不能描述采樣點(diǎn)之間信號的狀態(tài)。四、z反變換z變換表達(dá)式E(z)，求相應(yīng)離散序列e(nT)的過程,稱為z反變換，記作：1．局部分式法〔查表法〕局部分式法又稱查表法，根據(jù)的E(z)，通過查z變換表找出相應(yīng)的e*(t)，或者e(nT)?？紤]到z變換表中，所有z變換函數(shù)E(z)在其分子上都有因子z，所以，通常先將E(z)/z展成局部分式之和，然后將分母中的z乘到各分式中，再逐項(xiàng)查表反變換。例設(shè)，試用局部分式法求其z反變換。解首先將展開成局部分式，即：把局部分式中的每一項(xiàng)乘上因子z后，得：查z變換表得：最后可得：2．冪級數(shù)法〔綜合除法〕假設(shè)E(z)是一個(gè)有理分式，那么可以直接通過長除法，得到一個(gè)無窮項(xiàng)冪級數(shù)的展開式，并且按降冪形式排列，根據(jù)的系數(shù)便可以得出e(nT)的值。即：分子除以分母，將商按降冪形式排列對應(yīng)的采樣信號：其結(jié)果經(jīng)常為開放形式。例設(shè)，試用冪級數(shù)法求其z反變換。解

應(yīng)用長除法，用分母去除分子，即所以

7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為研究離散系統(tǒng)的性能，需要建立離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。線性離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型有差分方程、脈沖傳遞函數(shù)和離散狀態(tài)空間表達(dá)式三種。本節(jié)重點(diǎn)介紹脈沖傳遞函數(shù)的定義，以及求取開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)和閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的方法。一、脈沖傳遞函數(shù)1．脈沖傳遞函數(shù)定義設(shè)離散系統(tǒng)如下圖。線性定常離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)定義為：在零初始條件下，系統(tǒng)輸出采樣信號的z變換C(z)與輸入采樣信號的z變換R(z)之比。記作上式說明，如果R(z)和G(z)，那么在零初始條件下，線性定常離散系統(tǒng)的輸出采樣信號為：

在實(shí)際中許多系統(tǒng)的輸出是連續(xù)信號c(t)，如下圖。在這種情況下，為了應(yīng)用脈沖傳遞函數(shù)的概念，可以在系統(tǒng)輸出端虛設(shè)一個(gè)開關(guān)，如圖中虛線所示。它與輸入采樣開關(guān)同步工作，具有相同的采樣周期。必須指出，虛設(shè)的采樣開關(guān)是不存在的，它只說明了脈沖傳遞函數(shù)所能描述的只是輸出連續(xù)函數(shù)c(t)在采樣時(shí)刻的離散值c*(t)。2．由傳遞函數(shù)求脈沖傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)的拉式反變換是脈沖響應(yīng)函數(shù)，將離散化得到脈沖響應(yīng)序列，將進(jìn)行z變換可得到，這一變換過程可表示如下：上述變換過程說明，只要將G(s)表示成z變換表中的標(biāo)準(zhǔn)形式，直接查表可得G(z)。由于利用z變換表可以直接從G(s)得到G(z)，而不必逐步推導(dǎo)，所以常把上述過程表示為G(z)=Z[G(s)]并稱之為G(s)的z變換這一表示應(yīng)理解為根據(jù)上述過程求出G(s)所對應(yīng)的G(z)，而不能理解為G(z)是對G(s)直接進(jìn)行z變換的結(jié)果。二、開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)1．串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)時(shí)由脈沖傳遞函數(shù)定義其中，和分別為和的脈沖傳遞函數(shù)。于是有開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)上式說明，由理想采樣開關(guān)隔開的兩個(gè)線性連續(xù)環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)的脈沖傳遞函數(shù)，等于這兩個(gè)環(huán)節(jié)各自的脈沖傳遞函數(shù)的乘積。2．串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān)時(shí)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：將它當(dāng)作一個(gè)整體一起進(jìn)行變換，由脈沖傳遞函數(shù)定義上式說明，沒有理想采樣開關(guān)隔開的兩個(gè)線性連續(xù)環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)的脈沖傳遞函數(shù)，等于這兩個(gè)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)乘積后的相應(yīng)z變換。這一結(jié)論也可以推廣到類似的n個(gè)環(huán)節(jié)相串聯(lián)時(shí)的情形。3．有零階保持器的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)于是有零階保持器時(shí)，開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)

等效開環(huán)系統(tǒng)根據(jù)z變換的實(shí)數(shù)位移定理，上式的第二項(xiàng)可寫為：三、閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)由于采樣器在閉環(huán)系統(tǒng)中可以有多種配置，因此閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖形式并不唯一。下面介紹一種比較常見的誤差采樣閉環(huán)離散系統(tǒng)。圖中虛線所示的理想采樣開關(guān)是為了便于分析而設(shè)的，所有理想采樣開關(guān)都同步工作，采樣周期為T。閉環(huán)離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)離散系統(tǒng)的誤差脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)離散系統(tǒng)的特征方程式中，為開環(huán)離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)。需要指出，閉環(huán)離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)不能直接從和求z變換得來，即這是由于采樣器在閉環(huán)系統(tǒng)中有多種配置的緣故。

用與上面類似的方法，還可以推導(dǎo)出采樣器為不同配置形式的閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。但是，只要誤差信號e(t)處沒有采樣開關(guān)，輸入采樣信號r*(t)便不存在，此時(shí)不可能求出閉環(huán)離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)，而只能求出輸出采樣信號的z變換函數(shù)C(z)。例設(shè)閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖，試證其閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為證明由圖得求解上面聯(lián)立方程，消去中間變量、后即可得證。例設(shè)閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖，試證其輸出采樣信號的z變換為證明證畢與線性連續(xù)系統(tǒng)分析中的情況一樣，穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差是線性定常離散系統(tǒng)分析的重要內(nèi)容。本節(jié)主要討論如何在z域和w域中分析離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性，同時(shí)給出計(jì)算離散系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的方法。一、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析為了將線性連續(xù)系統(tǒng)在s平面上分析穩(wěn)定性的結(jié)果移植到z平面上分析離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性，首先需要研究s平面與z平面的映射關(guān)系。1．s域到z域的映射在z變換定義中，〔T為采樣周期〕給出了s域到z域的映射關(guān)系。7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差s域中的任意點(diǎn)可表示為映射到z域那么為z的模和幅角分別為s平面上的虛軸在z平面上為上式說明，s平面上的虛軸映射到z平面上為圓心在原點(diǎn)的單位圓，當(dāng)ω從-∞變化至+∞時(shí)，z平面上的軌跡已經(jīng)沿著單位圓轉(zhuǎn)過了無限多圈。由s域到z域的映射關(guān)系可知：①s左半平面映射為z平面單位圓內(nèi)的區(qū)域〔，〕。②s右半平面映射為z平面單位圓外的區(qū)域〔，〕。③s平面上的虛軸，映射為z平面的單位圓周。2．離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件由s域到z域的映射關(guān)系及連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)可以得出離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：當(dāng)且僅當(dāng)離散系統(tǒng)特征方程的全部特征根均分布在z平面上的單位圓內(nèi)，或者系統(tǒng)所有特征根的模均小于1。例設(shè)離散系統(tǒng)如下圖，其中試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解由可求出開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)系統(tǒng)閉環(huán)特征方程解出特征方程的根該離散系統(tǒng)穩(wěn)定3．勞斯穩(wěn)定判據(jù)連續(xù)系統(tǒng)中的勞斯穩(wěn)定判據(jù)，實(shí)質(zhì)上是用來判斷系統(tǒng)特征方程的根是否都在左半s平面。在離散系統(tǒng)中需要判斷系統(tǒng)特征方程的根是否都在z平面的單位圓內(nèi)。

引入z域到w域的線性變換，使z平面單位圓內(nèi)的區(qū)域，映射成w平面上的左半平面，這種新的坐標(biāo)變換，稱為雙線性變換，或也稱為w變換。復(fù)變量z與w互為線性變換，故w變換又稱雙線性變換。令復(fù)變量

顯然由于上式的分母始終為正，因此可得①等價(jià)為，說明w平面的虛軸對應(yīng)于z平面的單位圓周；②等價(jià)為，說明w左半平面對應(yīng)于z平面單位圓內(nèi)的區(qū)域；③等價(jià)為，說明w右半平面對應(yīng)于z平面單位圓外的區(qū)域。例設(shè)離散系統(tǒng)如下圖。其中采樣周期T=0.1s，試求系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K的臨界值。解