《相似》全章復(fù)習(xí)與鞏固--知識(shí)講解（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、了解比例的基本性質(zhì)，線段的比、成比例線段；

2、通過(guò)具體實(shí)例認(rèn)識(shí)圖形的相似，探索相似圖形的性質(zhì)，理解相似多邊形對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例、周長(zhǎng)的比等于相似比、面積的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用這些性質(zhì)和判定方法解決生活中的一些實(shí)際問(wèn)題；

3、了解圖形的位似，能夠利用位似將一個(gè)圖形放大或縮小，在同一直角坐標(biāo)系中，感受位似變換后點(diǎn)的坐標(biāo)的變化；

4、結(jié)合相似圖形性質(zhì)和判定方法的探索和證明，進(jìn)一步培養(yǎng)推理能力，發(fā)展邏輯思維能力和推理論證的表達(dá)能力，以及綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，運(yùn)用學(xué)過(guò)的知識(shí)解決問(wèn)題的能力.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、相似圖形及比例線段1．相似圖形：在數(shù)學(xué)上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形(similarfigures).要點(diǎn)詮釋：

(1)相似圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形；

(2)“全等”是“相似”的一種特殊情況，即當(dāng)“形狀相同”且“大小相同”時(shí)，兩個(gè)圖形全等；2.相似多邊形如果兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，我們就說(shuō)它們是相似多邊形．要點(diǎn)詮釋：（1）相似多邊形的定義既是判定方法，又是它的性質(zhì)．（2）相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比稱為相似比.3.比例線段：對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如a:b=c:d，我們就說(shuō)這四條線段是成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段．要點(diǎn)詮釋：（1）若a:b=c:d，則ad=bc；（d也叫第四比例項(xiàng)）（2）若a:b=b:c，則=ac（b稱為a、c的比例中項(xiàng)）．要點(diǎn)二、相似三角形相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似.判定方法（三）：如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似.要點(diǎn)詮釋：

此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來(lái)判定兩個(gè)三角形相似，應(yīng)用時(shí)必須注意這個(gè)角必須是兩邊的夾角，否則，判斷的結(jié)果可能是錯(cuò)誤的.判定方法（四）：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.

要點(diǎn)詮釋：

要判定兩個(gè)三角形是否相似，只需找到這兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等即可，對(duì)于直角三角形而言，若有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.相似三角形的性質(zhì)：（1）相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等；（2）相似三角形中的重要線段的比等于相似比；相似三角形對(duì)應(yīng)高，對(duì)應(yīng)中線，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.要點(diǎn)詮釋：要特別注意“對(duì)應(yīng)”兩個(gè)字，在應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線段.(3)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方。3.相似多邊形的性質(zhì)：（1）相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等．（2）相似多邊形的周長(zhǎng)比等于相似比．（3）相似多邊形的面積比等于相似比的平方．要點(diǎn)三、位似1.位似圖形定義:如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心．2.位似圖形的性質(zhì):（1）位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一條直線上；

（2)位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比；

（3）位似圖形中不經(jīng)過(guò)位似中心的對(duì)應(yīng)線段平行.要點(diǎn)詮釋：(1）位似圖形與相似圖形的區(qū)別：位似圖形是一種特殊的相似圖形，而相似圖形未必能構(gòu)成位似圖形.（2）位似變換中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律:在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k.

【典型例題】類型一、相似圖形及比例線段1.（2020?嘉興）如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC分別交l1，l2，l3于點(diǎn)A，B，C；直線DF分別交l1，l2，l3于點(diǎn)D，E，F(xiàn)．AC與DF相交于點(diǎn)H，且AH=2，HB=1，BC=5，則的值為（） A． B． 2 C． D．【答案】D．【解析】

解：∵AH=2，HB=1，∴AB=3，∵l1∥l2∥l3，∴==，【總結(jié)升華】本題考查平行線分線段成比例定理，掌握定理的內(nèi)容、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系列出比例式是解題的關(guān)鍵．舉一反三【變式】（2020?眉山）如圖，AD∥BE∥CF，直線l1、l2這與三條平行線分別交于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F．已知AB=1，BC=3，DE=2，則EF的長(zhǎng)為（） A．4 B． 5 C． 6 D．8【答案】C.類型二、相似三角形2.如圖所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的小正方形的頂點(diǎn)上．

(1)∠ABC=________，BC=________；

(2)判斷△ABC與△DEF是否相似，并說(shuō)明理由.【答案與解析】(1)135°，

(2)△ABC和△DEF相似(或△ABC∽△DEF).

因?yàn)?，，所?

又因?yàn)椤螦BC=∠DEF=90°+45°=135°，所以△ABC∽△DEF.

【總結(jié)升華】根據(jù)正方形的性質(zhì)和格點(diǎn)三角形的特點(diǎn)，從邊角方面去探究?jī)扇切斡嘘P(guān)角的度數(shù)和邊的長(zhǎng)度，利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等證明兩三角形相似．舉一反三：【變式】下列4×4的正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則與△ABC相似的三角形所在的網(wǎng)格圖形是（）.A．B．C．D．【答案】B.3.在正方形ABCD中，P是BC上的點(diǎn)，BP=3PC，Q是CD的中點(diǎn)，求證：△ADQ∽△QCP．【答案與解析】∵BP=3PC，Q是CD的中點(diǎn)，∴，又∵∠ADQ=∠QCP=90°，

∴△ADQ∽△QCP.【總結(jié)升華】本題考查了相似三角形對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，以及相似三角形的判定.4.如圖所示，在△ABC和△DBE中，若.

(1)△ABC與△DBE的周長(zhǎng)差為10cm，求△ABC的周長(zhǎng)；

(2)△ABC與△DBE的面積之和為170cm2，求△DBE的面積．【答案與解析】(1)∵，

∴△ABC∽△DBE.

∴，設(shè)△ABC的周長(zhǎng)為5kcm，△DBE的周長(zhǎng)為3kcm，

∴，，，

∴△ABC的周長(zhǎng)為.

(2)∵△ABC∽△DBE，∴.

設(shè)，.

∴，解得k=5，

∴.

【總結(jié)升華】相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，相似三角形的面積比等于相似比的平方．舉一反三

【變式】如圖，在平行四邊形ABCD中，E是CD上的一點(diǎn)，DE：EC=2：3，連接AE、BE、BD，且AE、BD交于點(diǎn)F，則S△DEF：S△EBF：S△ABF=（）A．2：5：25B．4：9：25C．2：3：5D．4：10：25【答案】D.5.如圖所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AD，DC上(點(diǎn)E與點(diǎn)A，D不重合)，且∠BEF=120°，設(shè)，.

(1)求y與x的函數(shù)解析式；

(2)當(dāng)x為何值時(shí)，y有最大值？最大值是多少？【答案與解析】(1)在梯形ABCD中，AD∥BC，

AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，所以∠A=∠D=120°，

所以∠AEB+∠ABE=180°-120°=60°.

因?yàn)椤螧EF=120°，所以∠AEB+∠DEF=180°-120°=60°，

所以∠ABE=∠DEF.

所以△ABE∽△DEF，所以.

因?yàn)?，，所以?/p>

所以y與x的函數(shù)解析式是.

(2)，

所以當(dāng)時(shí)，y有最大值，最大值為.【總結(jié)升華】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，以及二次函數(shù)的最值問(wèn)題.舉一反三

【變式】如圖所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6．若動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BA運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A為止，運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度．過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交AC于點(diǎn)E，設(shè)動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒，AE的長(zhǎng)為y．

(1)求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

(2)當(dāng)x為何值時(shí)，△BDE的面積S有最大值，最大值為多少?

【答案】(1)因?yàn)镈E∥BC，所以△ADE∽△ABC，

所以.

又因?yàn)锳B=8，AC=6，，，

所以，即，

自變量x的取值范圍為.

(2)

.

所以當(dāng)時(shí)，S有最大值，且最大值為6.類型三、位似6.將下圖中的△ABC作下列變換，畫出相應(yīng)的圖形，指出三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)所發(fā)生的變化．

(1)沿y軸負(fù)方向平移1個(gè)單位；

(2)關(guān)于x軸對(duì)稱；

(3)以C點(diǎn)為位似中心，放大到1.5倍．

【答案與解析】變換后的圖形如下圖所示．

(1)將△ABC沿y軸負(fù)方向平移1個(gè)單位后得到△A1B1C1，

A1(-5，-1)，B1(0，2)，C1(0，-1)．

即橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)減?。?/p>

(2)將△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱后，得△A2B2C2，A2(-5，0)，B2(0，-3)，C2(0，0)．

即橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù)．

(3)將△ABC以C點(diǎn)為位似中心