2006數(shù)學(xué)三考研試題和答案LtD2006年數(shù)學(xué)三試題分析、詳解和評(píng)注填空題：1－6小題，每小題4分，共24分.把答案填在題中橫線上.（1）（2）設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)可導(dǎo),且，，則（3）設(shè)函數(shù)可微,且,則在點(diǎn)(1,2)處的全微分（4）設(shè)矩陣，為2階單位矩陣，矩陣滿足，則（5）設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間上的均勻分布，則.（6）設(shè)總體的概率密度為為總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其樣本方差為，則二、選擇題：7－14小題，每小題4分，共32分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題[]（13）設(shè)為3階矩陣，將的第2行加到第1行得，再將的第1列的倍加到第2列得，記，則（Ａ）.（Ｂ）.（Ｃ）.（Ｄ）.［］（14）設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布，且則必有(B)(C)(D)[]三、解答題：15－23小題，共94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分7分）設(shè),求(Ⅰ)；(Ⅱ).（16）（本題滿分7分）計(jì)算二重積分，其中是由直線所圍成的平面區(qū)域.（17）（本題滿分10分）證明：當(dāng)時(shí)，.（18）（本題滿分8分）在坐標(biāo)平面上，連續(xù)曲線過點(diǎn)，其上任意點(diǎn)處的切線斜率與直線的斜率之差等于（常數(shù)）.(Ⅰ)求的方程；(Ⅱ)當(dāng)與直線所圍成平面圖形的面積為時(shí)，確定的值.（19）（本題滿分10分）求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù).（20）（本題滿分13分）設(shè)4維向量組，問為何值時(shí)線性相關(guān)?當(dāng)線性相關(guān)時(shí),求其一個(gè)極大線性無關(guān)組,并將其余向量用該極大線性無關(guān)組線性表出.（21）（本題滿分13分）設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣的各行元素之和均為3,向量是線性方程組的兩個(gè)解.(Ⅰ)求的特征值與特征向量；(Ⅱ)求正交矩陣和對(duì)角矩陣,使得；（Ⅲ）求及，其中為3階單位矩陣.（22）（本題滿分13分）設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，令為二維隨機(jī)變量的分布函數(shù).(Ⅰ)求的概率密度；(Ⅱ)；(Ⅲ).（23）（本題滿分13分）設(shè)總體的概率密度為其中是未知參數(shù)，為來自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記為樣本值中小于1的個(gè)數(shù).（Ⅰ）求的矩估計(jì)；（Ⅱ）求的最大似然估計(jì)1……【分析】將其對(duì)數(shù)恒等化求解.【詳解】，而數(shù)列有界，，所以.故.【評(píng)注】對(duì)于冪指函數(shù)的極限，總是將其化為指數(shù)函數(shù)后求解.完全類似例題見文登暑期輔導(dǎo)班《高等數(shù)學(xué)》第1講第2節(jié)【例23】，《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（經(jīng)濟(jì)類）P.30【例1.41】.2….【分析】利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)即可.【詳解】由題設(shè)知，，兩邊對(duì)求導(dǎo)得，兩邊再對(duì)求導(dǎo)得，又，故.【評(píng)注】本題為抽象復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，注意計(jì)算的準(zhǔn)確性.完全類似例題見文登暑期輔導(dǎo)班《高等數(shù)學(xué)》第2講第2節(jié)【例11】，【例12】，《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（經(jīng)濟(jì)類）P.53【例2.18】（幾乎一樣）.3…..【分析】利用二元函數(shù)的全微分公式或微分形式不變性計(jì)算.【詳解】方法一：因?yàn)椋?，所?方法二：對(duì)微分得，故.【評(píng)注】本題為基本題型.完全類似例題見文登暑期輔導(dǎo)班《高等數(shù)學(xué)》第9講第1節(jié)【例12】，《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（經(jīng)濟(jì)類）P.162【例6.13】，《考研數(shù)學(xué)過關(guān)基本題型》（經(jīng)濟(jì)類）P.62【例6，例7】及練習(xí).4…..【分析】將矩陣方程改寫為的形式，再用方陣相乘的行列式性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】由題設(shè)，有于是有，而，所以.【評(píng)注】本題關(guān)鍵是將其轉(zhuǎn)化為用矩陣乘積形式表示.完全類似例題見文登暑期輔導(dǎo)班《線性代數(shù)》第1講【例6】，《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（經(jīng)濟(jì)類）P.287【例2.12】.5……【分析】利用的獨(dú)立性及分布計(jì)算.【詳解】由題設(shè)知，具有相同的概率密度.則.【評(píng)注】本題屬幾何概型，也可如下計(jì)算，如下圖：則.完全類似例題見文登暑期輔導(dǎo)班《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》第3講【例5】，《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（經(jīng)濟(jì)類）P.431【例2.31】Ｐ.442【例2.50】6,………【分析】利用樣本方差的性質(zhì)即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，又因是的無偏估計(jì)量，所以.【評(píng)注】本題利用了樣本方差是總體的方差的無偏估計(jì)量，最好能熟記樣本均值和方差的性質(zhì)和運(yùn)算.完全類似例題見文登暑期輔導(dǎo)班《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》第5講【例1】和【例2】，《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（經(jīng)濟(jì)類）P.487【例5.1】Ｐ.488【例5.2】，《考研數(shù)學(xué)過關(guān)基本題型》（經(jīng)濟(jì)類）P.247【例4】及練習(xí).7…….【分析】題設(shè)條件有明顯的幾何意義，用圖示法求解.【詳解】由知，函數(shù)單調(diào)增加，曲線凹向，作函數(shù)的圖形如右圖所示，顯然當(dāng)時(shí)，，故應(yīng)選(Ａ).【評(píng)注】對(duì)于題設(shè)條件有明顯的幾何意義或所給函數(shù)圖形容易繪出時(shí)，圖示法是求解此題的首選方法.本題還可用拉格朗日中值定理求解：因?yàn)?，所以單調(diào)增加，即，又，則，即.定義一般教科書均有，類似例題見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（經(jīng)濟(jì)類）P.129【例5.1】，P.151【１（３）】.8………【分析】從入手計(jì)算，利用導(dǎo)數(shù)的左右導(dǎo)數(shù)定義判定的存在性.【詳解】由知，.又因?yàn)樵谔庍B續(xù)，則.令，則.所以存在，故本題選（C）.【評(píng)注】本題聯(lián)合考查了函數(shù)的連續(xù)性和左右導(dǎo)數(shù)的定義，屬基本題型.完全類似例題見文登暑期輔導(dǎo)班《高等數(shù)學(xué)》第2講第1節(jié)【例2】，《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（經(jīng)濟(jì)類）P.46【例2.2】.9……【分析】可以通過舉反例及級(jí)數(shù)的性質(zhì)來判定.【詳解】由收斂知收斂，所以級(jí)數(shù)收斂，故應(yīng)選(Ｄ).或利用排除法：取，則可排除選項(xiàng)（Ａ），（Ｂ）；取，則可排除選項(xiàng)（Ｃ）.故（Ｄ）項(xiàng)正確.【評(píng)注】本題主要考查級(jí)數(shù)收斂的性質(zhì)和判別法，屬基本題型.完全類似例題見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（經(jīng)濟(jì)類）Ｐ.232習(xí)題八（2（3）題），《考研數(shù)學(xué)過關(guān)基本題型》（經(jīng)濟(jì)類）P.74【例1，例2】及練習(xí).10…..【分析】利用一階線性非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)即可.【詳解】由于是對(duì)應(yīng)齊次線性微分方程的非零解，所以它的通解是，故原方程的通解為，故應(yīng)選(Ｂ).【評(píng)注】本題屬基本題型，考查一階線性非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)：.其中是所給一階線性微分方程的特解，是對(duì)應(yīng)齊次微分方程的通解.相關(guān)性質(zhì)和定理見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（經(jīng)濟(jì)類）P.219.11……【分析】利用拉格朗日函數(shù)在（是對(duì)應(yīng)的參數(shù)的值）取到極值的必要條件即可.【詳解】作拉格朗日函數(shù)，并記對(duì)應(yīng)的參數(shù)的值為，則，即.消去，得,整理得.（因?yàn)椋?，若，則.故選（Ｄ）.【評(píng)注】本題考查了二元函數(shù)極值的必要條件和拉格朗日乘數(shù)法.本題屬基本題型，相關(guān)定理見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（經(jīng)濟(jì)類）Ｐ.170定理1及Ｐ.171條件極值的求法.12….【分析】本題考查向量組的線性相關(guān)性問題，利用定義或性質(zhì)進(jìn)行判定.【詳解】記，則.所以，若向量組線性相關(guān)，則，從而，向量組也線性相關(guān)，故應(yīng)選(Ａ).【評(píng)注】對(duì)于向量組的線性相關(guān)問題，可用定義，秩，也可轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組有無非零解進(jìn)行討論.完全類似例題及性質(zhì)見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（經(jīng)濟(jì)類）P.309【例3.7】，幾乎相同試題見文登2006最新模擬試卷（數(shù)學(xué)一）Ｐ.２（11）.13………【分析】利用矩陣的初等變換與初等矩陣的關(guān)系以及初等矩陣的性質(zhì)可得.【詳解】由題設(shè)可得，而，則有.故應(yīng)選（Ｂ）.【評(píng)注】（１）每一個(gè)初等變換都對(duì)應(yīng)一個(gè)初等矩陣，并且對(duì)矩陣施行一個(gè)初等行（列）變換，相當(dāng)于左（右）乘相應(yīng)的初等矩陣.（２）牢記三種初等矩陣的轉(zhuǎn)置和逆矩陣與初等矩陣的關(guān)系.完全類似例題及性質(zhì)見文登暑期輔導(dǎo)班《線性代數(shù)》第2講【例12】，《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（經(jīng)濟(jì)類）P.290【例2.19】.14….【分析】利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線的幾何意義可得.【詳解】由題設(shè)可得，則，即.其中是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù).又是單調(diào)不減函數(shù)，則，即.故選(A).【評(píng)注】對(duì)于服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，在考慮它的概率時(shí)，一般先將標(biāo)準(zhǔn)化，即.完全類似例題見文登暑期輔導(dǎo)班《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》第2講【例7】和【例8】，《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（經(jīng)濟(jì)類）P.417【例2.7】.15…….【分析】第(Ⅰ)問求極限時(shí)注意將作為常量求解，此問中含型未定式極限；第(Ⅱ)問需利用第(Ⅰ)問的結(jié)果，含未定式極限.【詳解】(Ⅰ).(Ⅱ)（通分）【評(píng)注】本題為基本題型，注意利用洛必達(dá)法則求未定式極限時(shí)，要充分利用等價(jià)無窮小代換，并及時(shí)整理極限式，以使求解簡(jiǎn)化.完全類似例題見文登暑期輔導(dǎo)班《高等數(shù)學(xué)》第1講第2節(jié)【例21】，《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》經(jīng)濟(jì)類P.32【例1.45（1）】，P.29【例1.35】，【例1.36】，P.30【例1.40】，《考研數(shù)學(xué)過關(guān)基本題型》（經(jīng)濟(jì)類）P.8【例14】，P.9【例16】.16【分析】畫出積分域，將二重積分化為累次積分即可.【詳解】積分區(qū)域如右圖.因?yàn)楦?hào)下的函數(shù)為關(guān)于的一次函數(shù)，“先后”積分較容易，所以.【評(píng)注】計(jì)算二重積分時(shí)，首先畫出積分區(qū)域的圖形，然后結(jié)合積分域的形狀和被積函數(shù)的形式，選擇坐標(biāo)系和積分次序.完全類似例題見文登暑期輔導(dǎo)班《高等數(shù)學(xué)》第10講第2節(jié)【例8】，《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（經(jīng)濟(jì)類）P.181【例7.2】，《考研數(shù)學(xué)過關(guān)基本題型》（經(jīng)濟(jì)類）P.65【例1】，P.66【例3】及練習(xí).17…..【分析】利用“參數(shù)變易法”構(gòu)造輔助函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性證明.【詳解】令，則，且.又，（），故當(dāng)時(shí)，單調(diào)減少，即，則單調(diào)增加，于是，即.【評(píng)注】證明數(shù)值不等式一般需構(gòu)造輔助函數(shù)，輔助函數(shù)一般通過移項(xiàng)，使不等式一端為“0”，另一端即為所作輔助函數(shù)，然后求導(dǎo)驗(yàn)證的增減性，并求出區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值（或極限值），作比較即得所證.本題也可用拉格朗日中值定理結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證明.完全類似例題見文登暑期輔導(dǎo)班《高等數(shù)學(xué)》第8講第2節(jié)【例4】，《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（經(jīng)濟(jì)類）P.242【例10.18】，《考研數(shù)學(xué)過關(guān)基本題型》（經(jīng)濟(jì)類）P.98【例11】，P.99【例13】及練習(xí).18【分析】(Ⅰ)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立微分方程，并求解；(Ⅱ)利用定積分計(jì)算平面圖形的面積，確定參數(shù).【詳解】(Ⅰ)設(shè)曲線的方程為，則由題設(shè)可得，這是一階線性微分方程，其中，代入通解公式得，又，所以.故曲線的方程為.(Ⅱ)與直線（）所圍成平面圖形如右圖所示.所以，故.【評(píng)注】本題涉及了導(dǎo)數(shù)和定積分的幾何意義，一階線性微分方程的求解，屬基本題型.完全類似例題見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（經(jīng)濟(jì)類）P.136【例5.13】，P.149【例5.34】，《考研數(shù)學(xué)過關(guān)基本題型》（經(jīng)濟(jì)類）P.272【例15】及練習(xí)8.2.19….【分析】因?yàn)閮缂?jí)數(shù)缺項(xiàng)，按函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂域的求法計(jì)算；利用逐項(xiàng)求導(dǎo)或積分并結(jié)合已知函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式計(jì)算和函數(shù).【詳解】記，則.所以當(dāng)時(shí)，所給冪級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，所給冪級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，所給冪級(jí)數(shù)為，均收斂，故所給冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)樵趦?nèi)，，而，所以，又，于是.同理，又，所以.故..由于所給冪級(jí)數(shù)在處都收斂，且在處都連續(xù)，所以在成立，即，.【評(píng)注】本題冪級(jí)數(shù)是缺項(xiàng)冪級(jí)數(shù)，則應(yīng)采用函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求收斂域的方法，屬基本題型.完全類似例題見文登暑期輔導(dǎo)班《高等數(shù)學(xué)》第11講第2節(jié)【例12】，【例15】，《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（經(jīng)濟(jì)類）P.204【例8.13】，P.209【例8.18】，《考研數(shù)學(xué)過關(guān)基礎(chǔ)題型》（經(jīng)濟(jì)類）P.78【例6】，P.81【例9】及練習(xí).20……..【分析】因?yàn)橄蛄拷M中的向量個(gè)數(shù)和向量維數(shù)相同，所以用以向量為列向量的矩陣的行列式為零來確定參數(shù)；用初等變換求極大線性無關(guān)組.【詳解】記以為列向量的矩陣為，則.于是當(dāng)時(shí)，線性相關(guān).當(dāng)時(shí)，顯然是一個(gè)極大線性無關(guān)組，且；當(dāng)時(shí)，，由于此時(shí)有三階非零行列式，所以為極大線性無關(guān)組，且.【評(píng)注】本題屬常規(guī)題型.91年，00年和04年均考過.完全類似例題見文登暑期輔導(dǎo)班《線性代數(shù)》第3講【例1,例2】，《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（經(jīng)濟(jì)類）P.306【例3.2】，《考研數(shù)學(xué)過關(guān)基本題型》（經(jīng)濟(jì)類）P.134【例3】.21…….【分析】由矩陣的各行元素之和均為3及矩陣乘法可得矩陣的一個(gè)特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量；由齊次線性方程組有非零解可知必有零特征值，其非零解是0特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量.將的線性無關(guān)的特征向量正交化可得正交矩陣；由可得到和.【詳解】(Ⅰ)因?yàn)榫仃嚨母餍性刂途鶠?，所以，則由特征值和特征向量的定義知，是矩陣的特征值，是對(duì)應(yīng)的特征向量.對(duì)應(yīng)的全部特征向量為，其中為不為零的常數(shù).又由題設(shè)知，即，而且線性無關(guān)，所以是矩陣的二重特征值，是其對(duì)應(yīng)的特征向量，對(duì)應(yīng)的全部特征向量為，其中為不全為零的常數(shù).(Ⅱ)因?yàn)槭菍?shí)對(duì)稱矩陣，所以與正交，所以只需將正交.取，.再將單位化，得，令，則，由是實(shí)對(duì)稱矩陣必可相似對(duì)角化，得.（Ⅲ）由(Ⅱ)知，所以.，則.【評(píng)注】本題主要考查求抽象矩陣的特征值和特征向量及矩陣的對(duì)角化問題，抽象矩陣特征值和特